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电磁辐射

2．6．2 电磁辐射
最后，我们简单讨论一下电磁辐射，它与我们后面将要学习的引力辐射有很多相似之处。从麦克斯韦方程（2．134），我们得到

$$
\partial_\mu\left(\partial^\nu A^\mu-\partial^\mu A^\nu\right)=4 \pi J^\nu
$$

对于 $\mathrm{U}(1)$ 规范场，存在规范变换 $A^\mu \rightarrow A^\mu+\partial^\mu \psi$ ．在此规范变换下，电磁场强张量保持不变，也就是说规范势的选择有自由度，为方便讨论问题可以取不同的规范．在讨论电磁辐射时，一个方便的规范选择是所谓的协变规范，也即洛伦茨规范，即要求

$$
\partial_\mu A^\mu=0 .
$$
在此规范下，规范势满足的方程为

$$
\square A^\mu=-4 \pi J^\mu .
$$

这里的＂□＂是平直时空中的达朗贝尔（d＇Alembert）算子，$\square=\partial_\mu \partial^\mu$ 。在真空中，规范势满足的方程与电、磁场满足的方程（2．128）一样．

首先，我们来看看真空中的电磁波．此时，上面的方程无源，它的解为

$$
A^\mu=C^\mu \mathrm{e}^{\mathrm{i} \hat{k} \cdot \widehat{x}}=C^\mu \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\nu x^\nu},
$$

其中 $C^\mu$ 是分量为常数的振幅矢量，而波 4－矢量 $\widehat{k}$ 是一个零矢量，$\widehat{k} \cdot \widehat{k}=0$ ，这意味着电磁波以光速传播。由洛伦茨规范条件知

$$
\widehat{C} \cdot \widehat{k}=0,
$$

也就是说振幅矢量与波矢正交，因此振幅矢量的独立分量是 3 个．如果我们假定电磁波沿 $x^3$ 方向传播，

$$
k^\mu=(k, 0,0, k),
$$

则振幅矢量可以是 $C^\mu=\left(C^0, C^1, C^2, C^0\right)$ ，其中 $C^1, C^2$ 任意．此外，我们选择洛伦茨规范时并没有完全固定规范．在规范变换中 $A_\mu \rightarrow A_\mu+\partial \lambda$ ，所有满足 $\square \lambda=0$ 的规范参数 $\lambda$ 都保持洛伦茨规范，因此我们在保持洛伦茨规范的前提下可以选择满足 $\square \lambda=0$的 $\lambda$ 让规范势变化．这样的规范参数可以是

$$
\lambda=\varepsilon \mathrm{e}^{\mathrm{i} \hat{k} \cdot \widehat{x}},
$$

它导致的规范势的变化是让振幅矢量变化

$$
C^\mu \rightarrow C^{\prime \mu}=C^\mu+\mathrm{i} \varepsilon k^\mu
$$

如果波矢取以上沿 $x^3$ 方向传播的形式，则

$$
C^{\prime 0}=C^0+\mathrm{i} \varepsilon k, \quad C^{\prime 1}=C^1, \quad C^{\prime 2}=C^2 .
$$

通过取 $\varepsilon=\mathrm{i} C^0 / k$ ，我们得到 $C^{\prime 0}=0$ ．也就是说，我们总可以通过选择规范参数使振幅矢量与波的传播方向垂直，即为横波．最终我们得到的振幅矢量只有两个独立的分量．我们可以选择如下线性极化（偏振）矢量

$$
\begin{aligned}
& \widehat{e}_1=(0,1,0,0), \\
& \widehat{e}_2=(0,0,1,0),
\end{aligned}
$$

而振幅矢量的一般形式为

$$
C^\mu=c_1 e_1^\mu+c_2 e_2^\mu
$$

其中 $c_1, c_2$ 是复常数．
我们可以考虑电磁波的物理效应。如果在真空中有一个带正电荷的试探粒子，它与电磁波的相互作用是（协变形式的）洛伦兹力．电磁波经过试探粒子时，粒子将由于相互作用而产生运动。当 $c_2$ 为零时，粒子的运动是沿 $x^1$ 方向振荡，而当 $c_1$ 为零时，粒子的运动是沿 $x^2$ 方向振荡．如果 $c_2= \pm \mathrm{i} c_1$ ，我们可以得到圆偏振波，而试探粒子在此波的影响下将做圆周运动。

那么什么样的源可以产生电磁辐射呢？对于有源的电磁波方程，我们可以利用格林（Green）函数方法并利用多极矩展开来讨论．具体的方法在后面讨论引力辐射时将有所涉及。这里我们列出几个重要的结论：
（1）由于电荷守恒，因此单极矩不会产生电磁辐射；
（2）领头阶的电磁辐射来自电偶极矩；
（3）次领头阶的电磁辐射来自磁偶极矩，但由于磁场可以看作相对论性效应，因此它相比于电偶极矩有一个相对论性的 $v / c$ 的压低．

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