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Riesz－Fisher 里斯－费舍尔定理

定理 6．9（里斯－费舍尔（Riesz－Fisher））若 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是 $L^2$ 的标准正交系，实数列 $\left\{ \varphi _{ k }\right\}$ 满足

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2<+\infty,
$$

则级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k$ 在 $L^2$ 中收敛到某个 $f \in L^2$ ，且 $a_k$ 是 $f$ 相对于 $\left\{\varphi_k\right\}$ 的坐标：

$$
a_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle, k=1,2, \cdots
$$

证明 令 $f_m(x)=\sum_{k=1}^m a_k \varphi_k(x)$ ，我们来证明它是 $L^2$ 的 Cauchy 列．事实上，设 $m>n$ ，则

$$
\left\|f_m-f_n\right\|_2=\left\langle\sum_{k=n+1}^m a_k \varphi_k, \sum_{k=n+1}^m a_k \varphi_k\right\rangle=\sum_{k=n+1}^m\left|a_k\right|^2,
$$

由于 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2<+\infty$ ，知对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，当 $m>n>N$ 时，$\sum_{k=n+1}^m\left|a_k\right|^2<$ $\varepsilon$ ．因此，$f_m$ 是 $L^2$ 的 Cauchy 列．根据定理 $6.5, L^2$ 是完备的，故存在 $f \in L^2$ ，使得 $f_m \rightarrow f\left(L^2\right)$ ．由级数收敛的定义，便知级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k$ 在 $L^2$ 收敛到 $f$ ，从而根据定理 6.7 ，有 $a_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle, k=1,2, \cdots$ ．
这定理表明，只要 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2<+\infty$ ，就知 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k$ 表示 $L^2$ 中的一个函数．这就回答了问题 $1^{\circ}$ ．这定理证明的基础是 $L^2$ 的完备性，它只有在用 Lebesgue 可积定义的空间才有．用 Riemann 积分定义的类似的空间没有完备性，因此也就没有对应的定理．这是在本书绪论中所讲的历史上第二次完备化所得到的结果．

下面回答问题 $2^{\circ}$ ，即是否每个 $f \in L^2$ ，都有 $f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k\left(L^2\right)$ ，其中 $C_k=\langle f$ ， $\left.\varphi_k\right\rangle$ ．设想 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的标准正交系，如果存在正交系以外的 $\varphi \in L^2,\|\varphi\|_2 \neq$ 0 ，使得 $\left\langle\varphi, \varphi_k\right\rangle=0(k=1,2, \cdots)$ ，则显然问题 $2^{\circ}$ 的回答是否定的，因为对 $\varphi$ 来说，它的所有坐标 $C_k=\left\langle\varphi, \varphi_k\right\rangle=0,(k=1,2, \cdots)$ ，但它本身不对等于 0 ，这是不可能的．这说明要正面回答问题 $2^{\circ}$ ，需要对标准正交系加以一定的限制．

定义6．8 设 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的一组标准正交系．若对任意满足 $\left\langle\varphi, \varphi_k\right\rangle=0$ ， $(k=1,2, \cdots)$ 的 $\varphi \in L^2$ ，必有 $\varphi \sim 0$（即 $\|\varphi\|_2=0$ ），则称 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是完全的标准正交系，完全的标准正交系也称标准正交基。

按定义，标准正交系是完全的，是指不能再添加任何一个 $L^2$ 的非 0 元素进 $\left\{\varphi_k\right\}$ ，使新的集合仍然是 $L^2$ 的正交系．值得注意的是，在 $n$ 维欧氏空间中，一组向量只要互相正交，且数目为 $n$ ，它就是正交基．在 $L^2$ 中却不一样，并不是任意无穷个互相正交的函数都组成正交基，只有完全的正交系才成为基，才能表示任意的 $L^2$ 函数．
定理6．10 设 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的完全标准正交系，$f \in L^2$ ，则

$$
f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k\left(L^2\right)
$$

其中 $C_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle$ 是 $f$ 的坐标．
证明 根据定理 6.8 的 Bessel 不等式，知 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2<+\infty$ ．再用 Riesz－ Fisher 定理，知 $S_m(x)=\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k(x)$ 在 $L^2$ 收敛到一个 $L^2$ 的函数，记为 $g$ 。剩下只要证明 $f \sim g$ 就可以了．根据定理 6．7，则 $g$ 的坐标也是 $C_k$ ，即 $C_k=\left\langle g, \varphi_k\right\rangle$ ， $k=1,2, \cdots$ ．从而

$$
\left\langle f-g, \varphi_k\right\rangle=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle-\left\langle g, \varphi_k\right\rangle=0, k=1,2, \cdots
$$

由 $\left\{\varphi_k\right\}$ 的完全性便得 $f-g \sim 0$ ，故（12）式成立．

## 里斯-费舍尔定理

这个定理是连接“抽象泛函分析”和“具体函数论”的一座重要桥梁，尤其在 $L^2$ 空间和傅里叶分析中扮演着核心角色。

首先，需要澄清一点：里斯-费舍尔定理虽然是函数论中的重要定理，但它更核心的舞台是**实分析**和**泛函分析**，特别是围绕 $L^2$ 空间展开。它并不直接属于**复变函数论**（即研究复平面上解析函数的那部分内容）的核心定理体系。不过，理解它对开阔数学视野非常有帮助。

---

### 一句话概括

**里斯-费舍尔定理告诉我们：一个平方可和的数列（即序列的平方和有限）与一个平方可积的函数（即函数的平方积分有限）是“一一对应”的。数列是函数的“坐标”，函数是数列的“本体”。**

---

### 一个生动的比喻：基因序列与生物体

想象一下：

*   **一个完整的生物体**（比如一个人） = **一个函数 $f(x)$**，存在于 $L^2$ 空间（“所有能量有限的生物”组成的空间）。
*   **生物的基因组** = **一个平方可和的数列 $\{c_n\}$**。

里斯-费舍尔定理描述的就是这两者之间的关系：

1.  **从生物体到基因序列（分析过程）**：给定任何一个生物体（函数 $f$），我们可以通过一种“测序仪”（**标准正交系**，比如傅里叶分析中的正弦余弦函数）来读取它的基因序列（系数 $c_n = \langle f, e_n \rangle$）。这个基因序列有一个关键性质：所有基因片段的“强度”的平方和是有限的（$\sum |c_n|^2 < \infty$）。这其实就是 **贝塞尔不等式** 保证的内容。

2.  **从基因序列到生物体（综合过程）**：这是里斯-费舍尔定理的精髓！**反过来，任意给你一组基因序列 $\{c_n\}$，只要这组序列是“平方可和的”（$\sum |c_n|^2 < \infty$），那么就一定存在一个唯一的、能量有限的生物体（函数 $f \in L^2$），它的基因组恰好就是这组序列。** 而且，用这组基因序列可以完美地“重构”出这个生物体，重构方式就是将这些基因片段按标准方式组合起来（即函数 $f$ 等于级数 $\sum c_n e_n$ 在 $L^2$ 范数意义下收敛）。

### 定理的数学表述

设 $\{e_n\}$ 是 $L^2([a, b])$ 空间上的一个**标准正交系**（例如，傅里叶基）。那么：

*   **第一部分（存在性）**：对任意满足 $\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2 < \infty$ 的复数序列 $\{c_n\}$，存在一个函数 $f \in L^2$，使得该序列恰好是 $f$ 关于此标准正交系的傅里叶系数，即 $c_n = \langle f, e_n \rangle$。
*   **第二部分（收敛性）**：上面的函数 $f$ 可以通过傅里叶级数“恢复”出来，即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n e_n$ 在 $L^2$ 范数意义下收敛到 $f$。并且满足 **帕塞瓦尔等式/定理**：$\|f\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2$。

### 为什么这个定理如此深刻和重要？

1.  **它建立了 $L^2$ 空间与 $l^2$ 空间的同构关系**：这是最核心的一点。
    *   $L^2$ 空间：由所有平方可积的函数构成，是“连续”的对象。
    *   $l^2$ 空间：由所有平方可和的数列构成，是“离散”的对象。
    **里斯-费舍尔定理表明，这两个空间在结构上是完全等价的！** 选择一个标准正交基（比如傅里叶基），就相当于建立了一个双向的、保持结构的字典（即同构映射）：
        *   函数 $f(x)$ ↔ 它的傅里叶系数序列 $\{c_n\}$
        *   函数的范数 $\|f\|_2$ ↔ 序列的范数 $\sqrt{\sum |c_n|^2}$
        *   函数的内积 $\langle f, g \rangle$ ↔ 序列的内积 $\sum c_n \overline{d_n}$

2.  **它保证了傅里叶分析的“完备性”**：定理告诉我们，只要系数序列是平方可和的，那么对应的傅里叶级数就**一定**会收敛到某个 $L^2$ 函数。这解决了“一个给定的级数是否代表某个函数”的问题。

3.  **它是现代信号处理的理论基石**：在数字信号处理中，我们总是将一个连续的模拟信号（函数）进行采样、离散化，得到一个数字序列进行处理。里斯-费舍尔定理从数学上保证了，只要我们的离散序列满足一定的条件（能量有限），它就唯一地对应着一个连续信号。这为模拟世界和数字世界之间的转换提供了严格的数学依据。

### 总结

里斯-费舍尔定理可以形象地总结为：

> **$L^2$ 空间（连续函数的世界）和 $l^2$ 空间（离散序列的世界）是“双胞胎”空间。它们具有完全相同的内在结构。任何一个能量有限的连续信号，都可以毫无信息损失地用一个能量有限的离散序列来完全表示和重构，反之亦然。**

这一定理深刻揭示了连续与离散、函数与序列之间的统一性，是泛函分析中最优美的成果之一。

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