最后更新: 2025-03-21 09:53 查看: 619 次反馈刷题

Riesz－Fisher 里斯－费舍尔定理

定理 6．9（里斯－费舍尔（Riesz－Fisher））若 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是 $L^2$ 的标准正交系，实数列 $\left\{ \varphi _{ k }\right\}$ 满足

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2<+\infty,
$$

则级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k$ 在 $L^2$ 中收敛到某个 $f \in L^2$ ，且 $a_k$ 是 $f$ 相对于 $\left\{\varphi_k\right\}$ 的坐标：

$$
a_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle, k=1,2, \cdots
$$

证明 令 $f_m(x)=\sum_{k=1}^m a_k \varphi_k(x)$ ，我们来证明它是 $L^2$ 的 Cauchy 列．事实上，设 $m>n$ ，则

$$
\left\|f_m-f_n\right\|_2=\left\langle\sum_{k=n+1}^m a_k \varphi_k, \sum_{k=n+1}^m a_k \varphi_k\right\rangle=\sum_{k=n+1}^m\left|a_k\right|^2,
$$

由于 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2<+\infty$ ，知对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，当 $m>n>N$ 时，$\sum_{k=n+1}^m\left|a_k\right|^2<$ $\varepsilon$ ．因此，$f_m$ 是 $L^2$ 的 Cauchy 列．根据定理 $6.5, L^2$ 是完备的，故存在 $f \in L^2$ ，使得 $f_m \rightarrow f\left(L^2\right)$ ．由级数收玫的定义，便知级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k$ 在 $L^2$ 收敛到 $f$ ，从而根据定理 6.7 ，有 $a_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle, k=1,2, \cdots$ ．
这定理表明，只要 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|^2<+\infty$ ，就知 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k$ 表示 $L^2$ 中的一个函数．这就回答了问题 $1^{\circ}$ ．这定理证明的基础是 $L^2$ 的完备性，它只有在用 Lebesgue 可积定义的空间才有．用 Riemann 积分定义的类似的空间没有完备性，因此也就没有对应的定理．这是在本书绪论中所讲的历史上第二次完备化所得到的结果．

下面回答问题 $2^{\circ}$ ，即是否每个 $f \in L^2$ ，都有 $f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k\left(L^2\right)$ ，其中 $C_k=\langle f$ ， $\left.\varphi_k\right\rangle$ ．设想 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的标准正交系，如果存在正交系以外的 $\varphi \in L^2,\|\varphi\|_2 \neq$ 0 ，使得 $\left\langle\varphi, \varphi_k\right\rangle=0(k=1,2, \cdots)$ ，则显然问题 $2^{\circ}$ 的回答是否定的，因为对 $\varphi$ 来说，它的所有坐标 $C_k=\left\langle\varphi, \varphi_k\right\rangle=0,(k=1,2, \cdots)$ ，但它本身不对等于 0 ，这是不可能的．这说明要正面回答问题 $2^{\circ}$ ，需要对标准正交系加以一定的限制．

定义6．8 设 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的一组标准正交系．若对任意满足 $\left\langle\varphi, \varphi_k\right\rangle=0$ ， $(k=1,2, \cdots)$ 的 $\varphi \in L^2$ ，必有 $\varphi \sim 0$（即 $\|\varphi\|_2=0$ ），则称 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是完全的标准正交系，完全的标准正交系也称标准正交基。

按定义，标准正交系是完全的，是指不能再添加任何一个 $L^2$ 的非 0 元素进 $\left\{\varphi_k\right\}$ ，使新的集合仍然是 $L^2$ 的正交系．值得注意的是，在 $n$ 维欧氏空间中，一组向量只要互相正交，且数目为 $n$ ，它就是正交基．在 $L^2$ 中却不一样，并不是任意无穷个互相正交的函数都组成正交基，只有完全的正交系才成为基，才能表示任意的 $L^2$ 函数．
定理6．10 设 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的完全标准正交系，$f \in L^2$ ，则

$$
f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k\left(L^2\right)
$$

其中 $C_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle$ 是 $f$ 的坐标．
证明 根据定理 6.8 的 Bessel 不等式，知 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2<+\infty$ ．再用 Riesz－ Fisher 定理，知 $S_m(x)=\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k(x)$ 在 $L^2$ 收敛到一个 $L^2$ 的函数，记为 $g$ 。剩下只要证明 $f \sim g$ 就可以了．根据定理 6．7，则 $g$ 的坐标也是 $C_k$ ，即 $C_k=\left\langle g, \varphi_k\right\rangle$ ， $k=1,2, \cdots$ ．从而

$$
\left\langle f-g, \varphi_k\right\rangle=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle-\left\langle g, \varphi_k\right\rangle=0, k=1,2, \cdots
$$

由 $\left\{\varphi_k\right\}$ 的完全性便得 $f-g \sim 0$ ，故（12）式成立．

## 通俗解释
Riesz-Fisher定理的通俗解释可以理解为**“数学中的‘能量守恒定律’，确保测量结果既不会凭空消失，也不会无限制增长”**。以下是结合生活场景和数学逻辑的类比说明：

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### 一、**核心思想**
想象你有一台**多功能测量仪**（函数或数据集），可以测量不同物体的“波动幅度”（如音频信号强度、经济数据波动）。Riesz-Fisher定理就像一个**“安全评估指南”**，规定如何确保测量结果的“合理性”：  
• **测量结果必须存在**：无论测量仪如何波动（柯西列），最终结果必须是一个真实存在的数值（平方可积函数）。  
• **波动幅度可控**：测量结果的总能量（平方和）不能无限大，否则系统无法处理。

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### 二、**关键特性**
1. **完备性的哲学**  
   • Riesz-Fisher定理证明了$L^2$空间是“无洞的地图”：任何“合理波动”的函数序列都有极限点（如测量数据不会突然失效）。  
   • 类比：如果一个人每天消费的金额波动太大（如某天突然花光所有积蓄），他的财务状态就不符合$L^2$空间的要求（总波动不可控）。

2. **与傅里叶级数的关系**  
   • 若一组数值（傅里叶系数）满足“总能量有限”，则存在一个真实波动（平方可积函数），其傅里叶级数收敛于它。  
   • 类比：通过有限次数的抽样（傅里叶系数），就能准确还原完整的波动规律（如用有限个音符还原整首音乐）。

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### 三、**生活类比**
1. **经济预算管理**  
   • **测量结果存在**：无论月度开支如何波动，年度总预算必须是一个真实数值（不能是无穷大）。  
   • **波动幅度可控**：总开支的平方和（如各月消费的平方和）不能超过安全阈值，避免财务崩溃。

2. **信号处理**  
   • **测量结果存在**：无论音频信号如何噪声干扰，总能量必须有限，否则无法还原原始声音。  
   • **波动幅度可控**：通过限制高频噪声（如傅里叶级数的高次项），保留有效信息。

3. **运动数据分析**  
   • **测量结果存在**：无论运动员瞬时速度如何波动，总跑动距离必须是一个真实数值。  
   • **波动幅度可控**：通过平均速度（平方可积函数）评估运动效率，忽略瞬时异常。

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### 四、**数学本质**
1. **从局部到全局**  
   • 传统方法要求函数连续可导，而Riesz-Fisher定理允许有限“裂缝”（如阶梯函数），只要总波动可控。  
   • 例如：狄利克雷函数虽不连续，但其平方和仍可通过全局平均估算。

2. **与Bessel不等式的对比**  
   | **特性**         | **Riesz-Fisher定理**          | **Bessel不等式**          |  
   |------------------|-----------------------------|--------------------------|  
   | **核心结论**     | 存在性（柯西列收敛）          | 有界性（投影平方和有界）  |  
   | **适用范围**     | $L^2$空间完备性              | 傅里叶级数有界性          |

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### 五、**实际应用场景**
1. **量子力学**：描述量子态的“总能量”，确保计算结果符合物理规律。  
2. **机器学习**：优化算法中，通过$L^2$范数限制模型参数波动幅度，防止过拟合。  
3. **金融风控**：分析投资组合风险，通过总能量限制组合波动。

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### 总结
Riesz-Fisher定理的本质是**“用数学范数量化测量结果的合理性”**。它通过确保“存在性”和“可控性”，成为工程、物理、金融等领域的核心工具。其灵活性尤其体现在处理非光滑、非连续问题时，突破了传统方法的局限。

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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