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帕塞瓦尔等式

## 帕塞瓦尔等式
定理 6.11 （帕塞瓦尔（Parseval）等式）若 $\left\{\left.\varphi_k\right|_{k=1} ^{\infty}\right.$ 是 $L^2$ 的完全标准正交系，$f \in L^2, C_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle$ 是它的坐标，则

$$
\|f\|_2^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2
$$

证明 由 Bessel 不等式，知

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2 \leqslant\|f\|_2^2
$$

因此级数 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2$ 是收敛的，由定理 6．10 知 $S_m(x)=\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k(x)$ 在 $L^2$ 收敛到 $f$ ，而由范数的三角不等式又有

便知 $\left\|S_m\right\|_2 \rightarrow\|f\|_2$ ．计算

$$
\begin{aligned}
\left\|S_m\right\|_2^2 & =\left\langle\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k, \sum_{k=1}^m C_k \varphi_k\right\rangle \\
& =\sum_{k=1}^m\left|C_k\right|^2 \rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2 \quad(\text { 当 } m \rightarrow \infty),
\end{aligned}
$$

这就得到了等式（13）。
下面我们用 $\alpha, \beta$ 表示实数序列 $\left\{C_k\right\},\left\{d_k\right\}$ ，并写成

$$
\begin{aligned}
& \alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right), \\
& \beta=\left(d_1, d_2, \cdots, d_k, \cdots\right)
\end{aligned}
$$

定义6．9 称全体满足 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2<+\infty$ 的实数列 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)$组成的空间为 $l^2$ ，即
$$
l^2=\left\{\left.\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)\left|\sum_{k=1}^{\infty}\right| C_k\right|^2<+\infty, C_k \in R \right\},
$$

其中对 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right), \beta=\left(d_1, d_2, \cdots, d_k, \cdots\right)$ ，定义它们的内积

$$
\langle\alpha, \beta\rangle=\sum_{k=1}^{\infty} C_k d_k .
$$

容易证明，$\langle\alpha, \beta\rangle$ 满足通常的内积公理（见定义 6.4 后的 $1^{\circ} \sim 4^{\circ}$ ），因此 $l^2$是一个实内积空间。

由内积便可引人 $l^2$ 的范数

$$
\|\alpha\|_{p^2}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|c_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

从而可以定义 $\alpha$ 与 $\beta$ 的距离：$\rho(\alpha, \beta)=\|\alpha-\beta\|_{i^2}$ ，并进一步在 $l^2$ 定义极限。可以证明 $l^2$ 是完备的，即 $l^2$ 是完备的实内积空间．

由此可知，$l^2$ 是 $R ^n$ 把有限维向量空间的维数 $n$ 直接推广到无穷，而得到的完备的内积空间，形式上同 $R ^n$ 更为相似，可以称为无穷维的向量空间．

综合本节的结果，便有：在 $L^2$ 中取定一组标准正交基（完全的标准正交系） $\left\{\varphi_k\right\}$ ，则每一个 $l^2$ 中的元 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)$ 都对应于 $L^2$ 中的惟一一个元 $f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k$ ，其中 $C_k$ 是 $f$ 的坐标，满足 $\|f\|_2=\|\alpha\|_{ l }$ ．反过来，每个 $f \in L^2$ ，都可以表示成 $f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k\left(L^2\right)$ ，其中 $C_k$ 是它的坐标，使得 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots\right.$ ， $\left.C_k, \cdots\right) \in l^2$ ，并且 $\|f\|_2=\|\alpha\|_{l^2}$ ．也就是说，通过一组标准正交基，在 $L^2$ 与 $l^2$之间建立了一个一一对应的关系（函数与它的坐标组成的数列相对应），而且 $L^2$函数的范数，等于它的坐标平方和的平方根，即对应元的范数相等．我们称这样的一种对应为同构对应，从而可以把它们看成一样的完备的实内积空间．因此，我们可以说，$L^2$ 是最近似于欧氏空间 $R ^n$ 的无穷维空间了．

## 视频教程
物理理解可以参考 [复变函数与积分变换-傅里叶变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4078)  
视频来自B站，详见 [此处](https://www.bilibili.com/video/BV1ey4y1K7Yg?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=ce36ec6d3df912c631a78d26e9e63ed8&p=36)

## 帕塞瓦尔等式

这个等式是实变函数和傅里叶分析中一个非常优美且强大的工具。

### 一句话概括

**帕塞瓦尔等式是“能量守恒定律”在函数世界的体现：一个函数本身的“总能量”，等于将它分解后各频率分量的“能量之和”。**

---

### 一个生动的比喻：鸡尾酒的成本分析

想象一杯复杂的鸡尾酒（比如“新加坡司令”）。

*   **这杯鸡尾酒本身** = 你要研究的**函数 f(x)**。
*   **鸡尾酒的总成本** = 函数的**总能量**，用其 L² 范数的平方表示：$\|f\|_2^2 = \int |f(x)|^2 dx$。

现在，一位顶级的调酒师告诉你，这杯酒是由几种**基础基酒和配料**按特定比例调制而成的：
*   **金酒 30毫升**
*   **樱桃利口酒 15毫升**
*   **柠檬汁 10毫升**
*   **苏打水 适量**
*   ...

这些**基础配料**就相当于一个**标准正交基**中的函数，比如傅里叶分析中的 $\sin(nx), \cos(nx)$。每一种配料都是一个“纯”的成分。

**帕塞瓦尔等式说的就是：**

> **这杯鸡尾酒的总成本，恰好等于所有所用配料成本的总和。**

用数学公式写出来就是：
如果函数 $f(x)$ 可以表示为标准正交基 $\{e_n(x)\}$ 的线性组合：$f(x) = \sum c_n e_n(x)$，那么有：
$$
\int |f(x)|^2 dx = \sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2
$$
或者更简洁地：
$$
\|f\|_2^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2
$$

**左边**：$\int |f(x)|^2 dx$ 是**合成品**（鸡尾酒）的总能量（总成本）。
**右边**：$\sum |c_n|^2$ 是**所有成分**（各种基酒和配料）的能量（成本）之和。

### 为什么这个等式如此重要？

1.  **它揭示了“能量守恒”**：这是最核心的物理意义。在信号处理中，一个信号在时域（随时间变化）的总功率，等于其在频域（各频率成分）的功率之和。这意味着，从时域变换到频域（比如进行傅里叶变换），信号的能量没有任何损失。

2.  **它是“勾股定理”的无限维推广**：在三维空间中，一个向量长度的平方等于它在三个垂直坐标轴上投影的平方和（$v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$）。帕塞瓦尔定理将这个结论推广到了无限维的函数空间：函数（可以看作一个无限维向量）的“长度”平方，等于它在无数个互相“垂直”（正交）的基本函数上投影的平方和。

3.  **它是判断标准正交基是否“完备”的最终标准**：还记得**贝塞尔不等式**吗？它说 $\sum |c_n|^2 \leq \|f\|^2$。帕塞瓦尔等式就是贝塞尔不等式取等号的情况。
    *   **取等号（帕塞瓦尔等式成立）**：意味着你的那套“基础配料”（标准正交系）是**完备的**，可以完美地还原出原函数，没有任何能量损失。傅里叶级数所用的正弦余弦函数就是完备的。
    *   **只能取小于号**：意味着你的基础配料不全，无法完美表示原函数，有一部分“能量”或“信息”丢失了。

### 一个具体的例子：傅里叶级数

对于一个周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$，它可以展开成傅里叶级数：
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]
$$
那么，帕塞瓦尔等式（在这种情况下也称为雷利恒等式）就表示为：
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx = \frac{|a_0|^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (|a_n|^2 + |b_n|^2)
$$
这清晰地表明，信号的总功率等于其直流分量（$a_0$）的功率加上所有交流谐波（$a_n, b_n$）的功率之和。

### 总结

帕塞瓦尔等式的精髓可以总结为：

因此，帕塞瓦尔等式不仅仅是数学上的恒等式，它深刻地联系了物理世界的守恒律、几何的直观和信息的完整性，是分析数学中一个基石般的概念。

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