最后更新: 2025-01-21 10:13 ● 参与者查看: 272 次纠错分享参与项目词条搜索

帕塞瓦尔等式

定理 6.11 （帕塞瓦尔（Parseval）等式）若 $\left\{\left.\varphi_k\right|_{k=1} ^{\infty}\right.$ 是 $L^2$ 的完全标准正交系，$f \in L^2, C_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle$ 是它的坐标，则

$$
\|f\|_2^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2
$$

证明 由 Bessel 不等式，知

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2 \leqslant\|f\|_2^2
$$

因此级数 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2$ 是收敛的，由定理 6．10 知 $S_m(x)=\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k(x)$ 在 $L^2$ 收玫到 $f$ ，而由范数的三角不等式又有

便知 $\left\|S_m\right\|_2 \rightarrow\|f\|_2$ ．计算

$$
\begin{aligned}
\left\|S_m\right\|_2^2 & =\left\langle\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k, \sum_{k=1}^m C_k \varphi_k\right\rangle \\
& =\sum_{k=1}^m\left|C_k\right|^2 \rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2 \quad(\text { 当 } m \rightarrow \infty),
\end{aligned}
$$

这就得到了等式（13）。
下面我们用 $\alpha, \beta$ 表示实数序列 $\left\{C_k\right\},\left\{d_k\right\}$ ，并写成

$$
\begin{aligned}
& \alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right), \\
& \beta=\left(d_1, d_2, \cdots, d_k, \cdots\right)
\end{aligned}
$$

定义6．9 称全体满足 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2<+\infty$ 的实数列 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)$组成的空间为 $l^2$ ，即
$$
l^2=\left\{\left.\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)\left|\sum_{k=1}^{\infty}\right| C_k\right|^2<+\infty, C_k \in R \right\},
$$

其中对 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right), \beta=\left(d_1, d_2, \cdots, d_k, \cdots\right)$ ，定义它们的内积

$$
\langle\alpha, \beta\rangle=\sum_{k=1}^{\infty} C_k d_k .
$$

容易证明，$\langle\alpha, \beta\rangle$ 满足通常的内积公理（见定义 6.4 后的 $1^{\circ} \sim 4^{\circ}$ ），因此 $l^2$是一个实内积空间。

由内积便可引人 $l^2$ 的范数

$$
\|\alpha\|_{p^2}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|c_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

从而可以定义 $\alpha$ 与 $\beta$ 的距离：$\rho(\alpha, \beta)=\|\alpha-\beta\|_{i^2}$ ，并进一步在 $l^2$ 定义极限。可以证明 $l^2$ 是完备的，即 $l^2$ 是完备的实内积空间．

由此可知，$l^2$ 是 $R ^n$ 把有限维向量空间的维数 $n$ 直接推广到无穷，而得到的完备的内积空间，形式上同 $R ^n$ 更为相似，可以称为无穷维的向量空间．

综合本节的结果，便有：在 $L^2$ 中取定一组标准正交基（完全的标准正交系） $\left\{\varphi_k\right\}$ ，则每一个 $l^2$ 中的元 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)$ 都对应于 $L^2$ 中的惟一一个元 $f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k$ ，其中 $C_k$ 是 $f$ 的坐标，满足 $\|f\|_2=\|\alpha\|_{ l }$ ．反过来，每个 $f \in L^2$ ，都可以表示成 $f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k\left(L^2\right)$ ，其中 $C_k$ 是它的坐标，使得 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots\right.$ ， $\left.C_k, \cdots\right) \in l^2$ ，并且 $\|f\|_2=\|\alpha\|_{l^2}$ ．也就是说，通过一组标准正交基，在 $L^2$ 与 $l^2$之间建立了一个一一对应的关系（函数与它的坐标组成的数列相对应），而且 $L^2$函数的范数，等于它的坐标平方和的平方根，即对应元的范数相等．我们称这样的一种对应为同构对应，从而可以把它们看成一样的完备的实内积空间．因此，我们可以说，$L^2$ 是最近似于欧氏空间 $R ^n$ 的无穷维空间了．

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