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帕塞瓦尔等式

定理 6.11 （帕塞瓦尔（Parseval）等式）若 $\left\{\left.\varphi_k\right|_{k=1} ^{\infty}\right.$ 是 $L^2$ 的完全标准正交系，$f \in L^2, C_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle$ 是它的坐标，则

$$
\|f\|_2^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2
$$

证明 由 Bessel 不等式，知

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2 \leqslant\|f\|_2^2
$$

因此级数 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2$ 是收敛的，由定理 6．10 知 $S_m(x)=\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k(x)$ 在 $L^2$ 收玫到 $f$ ，而由范数的三角不等式又有

便知 $\left\|S_m\right\|_2 \rightarrow\|f\|_2$ ．计算

$$
\begin{aligned}
\left\|S_m\right\|_2^2 & =\left\langle\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k, \sum_{k=1}^m C_k \varphi_k\right\rangle \\
& =\sum_{k=1}^m\left|C_k\right|^2 \rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2 \quad(\text { 当 } m \rightarrow \infty),
\end{aligned}
$$

这就得到了等式（13）。
下面我们用 $\alpha, \beta$ 表示实数序列 $\left\{C_k\right\},\left\{d_k\right\}$ ，并写成

$$
\begin{aligned}
& \alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right), \\
& \beta=\left(d_1, d_2, \cdots, d_k, \cdots\right)
\end{aligned}
$$

定义6．9 称全体满足 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|C_k\right|^2<+\infty$ 的实数列 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)$组成的空间为 $l^2$ ，即
$$
l^2=\left\{\left.\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)\left|\sum_{k=1}^{\infty}\right| C_k\right|^2<+\infty, C_k \in R \right\},
$$

其中对 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right), \beta=\left(d_1, d_2, \cdots, d_k, \cdots\right)$ ，定义它们的内积

$$
\langle\alpha, \beta\rangle=\sum_{k=1}^{\infty} C_k d_k .
$$

容易证明，$\langle\alpha, \beta\rangle$ 满足通常的内积公理（见定义 6.4 后的 $1^{\circ} \sim 4^{\circ}$ ），因此 $l^2$是一个实内积空间。

由内积便可引人 $l^2$ 的范数

$$
\|\alpha\|_{p^2}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|c_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

从而可以定义 $\alpha$ 与 $\beta$ 的距离：$\rho(\alpha, \beta)=\|\alpha-\beta\|_{i^2}$ ，并进一步在 $l^2$ 定义极限。可以证明 $l^2$ 是完备的，即 $l^2$ 是完备的实内积空间．

由此可知，$l^2$ 是 $R ^n$ 把有限维向量空间的维数 $n$ 直接推广到无穷，而得到的完备的内积空间，形式上同 $R ^n$ 更为相似，可以称为无穷维的向量空间．

综合本节的结果，便有：在 $L^2$ 中取定一组标准正交基（完全的标准正交系） $\left\{\varphi_k\right\}$ ，则每一个 $l^2$ 中的元 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots, C_k, \cdots\right)$ 都对应于 $L^2$ 中的惟一一个元 $f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k$ ，其中 $C_k$ 是 $f$ 的坐标，满足 $\|f\|_2=\|\alpha\|_{ l }$ ．反过来，每个 $f \in L^2$ ，都可以表示成 $f=\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k\left(L^2\right)$ ，其中 $C_k$ 是它的坐标，使得 $\alpha=\left(C_1, C_2, \cdots\right.$ ， $\left.C_k, \cdots\right) \in l^2$ ，并且 $\|f\|_2=\|\alpha\|_{l^2}$ ．也就是说，通过一组标准正交基，在 $L^2$ 与 $l^2$之间建立了一个一一对应的关系（函数与它的坐标组成的数列相对应），而且 $L^2$函数的范数，等于它的坐标平方和的平方根，即对应元的范数相等．我们称这样的一种对应为同构对应，从而可以把它们看成一样的完备的实内积空间．因此，我们可以说，$L^2$ 是最近似于欧氏空间 $R ^n$ 的无穷维空间了．

## 通俗解释
帕塞瓦尔等式的通俗解释可以理解为**“数学中的能量守恒定律”，它揭示了函数在时域（时间）和频域（频率）上的能量是相等的**。以下是结合生活场景和数学逻辑的类比说明：

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### 一、**核心思想**
想象你有一台**双模式测量仪**（函数或信号），可以同时测量“波动幅度”（如音频信号强度）和“波动频率分布”（如不同音高的能量）。帕塞瓦尔等式就像一个**“能量守恒指南”**，规定时域和频域的测量结果必须一致：  
• **时域能量**：直接计算信号平方后的积分（如音频信号的总能量）。  
• **频域能量**：计算信号傅里叶变换后各频率分量的平方和（如不同音高的能量总和）。  
• **等式关系**：两者数值相等，除非信号本身不符合要求。

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### 二、**几何类比：毕达哥拉斯定理的推广**
1. **直角三角形的边长关系**  
   毕达哥拉斯定理指出，直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方。类似地，帕塞瓦尔等式将函数视为“向量”，其时域和频域表现分别对应“直角边”和“斜边”：  
   • **时域**：函数自身的平方积分（如总路程的平方）。  
   • **频域**：傅里叶系数平方和（如各段路程的平方和）。  
   • **等式**：两者相等，说明能量在不同维度上的分解与重组是守恒的。

2. **信号处理的实例**  
   • 若音频信号的总能量为100单位，其傅里叶变换后各频率分量的能量总和也必为100单位。即使你拆分了不同音高的能量，总和不会改变。

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### 三、**生活场景应用**
1. **音乐制作**  
   • **时域**：录制一段音乐的总响度（平方积分）。  
   • **频域**：分析各音符的频率和振幅（傅里叶系数平方和）。  
   • **意义**：帕塞瓦尔等式确保无论怎么拆分频率成分，总能量不变，帮助工程师优化音效。

2. **金融风控**  
   • **时域**：计算某时间段内投资组合的总波动（平方积分）。  
   • **频域**：分析不同周期（如日波动、月波动）的波动贡献（傅里叶系数平方和）。  
   • **意义**：通过等式验证数据合理性，防止模型误差。

3. **量子力学**  
   • **时域**：粒子状态的能量描述。  
   • **频域**：通过傅里叶变换分析不同频率的波动。  
   • **意义**：等式确保物理规律在不同数学表示下的一致性。

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### 四、**数学本质**
1. **从局部到全局**  
   • 传统方法要求函数连续可导，而帕塞瓦尔等式允许有限“裂缝”（如阶梯函数），只要总能量可控。  
   • 例如：狄利克雷函数虽不连续，但其傅里叶系数平方和仍可通过全局平均计算。

2. **与傅里叶变换的关系**  
   • 帕塞瓦尔等式是傅里叶变换的**核心性质**，表明变换前后信号的总能量不变，是信号处理的基础。

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### 五、**实际应用场景**
1. **信号压缩**  
   • 通过保留频域中的关键分量（如人耳敏感的频率范围），压缩数据量，同时保证总能量损失极小。

2. **机器学习**  
   • 特征提取时，将时域数据转换为频域表示，通过帕塞瓦尔等式验证特征有效性。

3. **数学证明**  
   • 如巴塞尔问题中，通过将π²/6表示为傅里叶级数系数平方和，快速求解无穷级数。

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### 总结
帕塞瓦尔等式的本质是**“用数学范数量化能量守恒”**。它通过连接时域与频域，成为信号处理、量子力学、金融分析等领域的核心工具。其灵活性尤其体现在处理非光滑、非连续问题时，突破了传统方法的局限。

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