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实变函数论
第六章 勒贝格空LP
三角函数系标准正交
最后
更新:
2025-11-29 16:35
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三角函数系标准正交
## 三角函数系标准正交 定理6.12 在 $L^2(-\pi, \pi)$ 中,三角函数系 $$ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x, \cdots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos k x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin k x, \cdots $$ 是完全的(标准正交系)。 这定理说明,$L^2$ 的标准正交基是确实存在的,它的证明我们就不叙述了.读者可以在别的书中看到对不同的 $[a, b]$ ,在 $L^2(a, b)$ 还可以建立各种不同的标准正交基,并且在这些标准正交基的基础上,建立 $L^2$ 空间的丰富理论,以及它们在各个学科中起着多么巨大的作用. ## 三角函数系为什么是“标准正交”的** 这是理解傅里叶级数最关键的一步。 ### 一句话概括 **三角函数系(比如 sin(nx), cos(nx))就像一组“完美配合的齿轮”,它们形状不同、转速(频率)不同,但组合在一起工作时,彼此之间“互不干扰”,规则非常简单清晰。这种“互不干扰”的特性,就是标准正交性。** --- ### 一个生动的比喻:合唱团里的声部 想象一个专业的合唱团,里面有四种歌手: 1. **“直流分量”歌手**:他只发出一个恒定不变的音高,类似于函数 $ \frac{1}{\sqrt{2}} $(为了标准化)。 2. **“余弦”声部家族**:他们唱波浪形的旋律,频率是基础频率的整数倍。成员有 $ \cos(x), \cos(2x), \cos(3x), ... $ 3. **“正弦”声部家族**:他们也唱波浪形的旋律,频率同样也是整数倍,但他们的起唱时机和余弦声部错开了四分之一
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