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偏微分方程
知识点介绍
简介
日期:
2024-01-04 20:59
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简介
偏微分方程（英语：partial differential equation，缩写作PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。 偏微分方程分为线性偏微分方程式与非线性偏微分方程式，常常有几个解而且涉及额外的边界条件。 记号及例子 方程式中常以 $\omega^{\circ} 未$ 知数及偏微分，如下: $$ u_{x y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} $$ 用于空间偏微分的梯度运算子 $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial_x}, \frac{\partial}{\partial_y}, \frac{\partial}{\partial_z}\right)$ 时间偏微分 $\dot{u}=\frac{\partial u}{\partial t}$ ，线性偏微分方程式的例子如下: 拉普拉斯方程 $$ u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0 $$ 适用于重力场问题的求解 泊松方程 $$ u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=f(x, y, z) $$ 适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。 波动方程式 未知函数 $u(x, y, z, t)$ : $$ \begin{aligned} & u_{t t}=c^2\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right) \\ & \ddot{u}=c^2 \nabla^2 u \end{aligned} $$ 热传导方程式 $$ u_t=k\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right) $$ 其中 $k$ 代表该材料.
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