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拉普拉斯方程

拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、热力学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质

## 定义

三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量 $x 、 y 、 z$ 二阶可微的实函数 $\varphi$ :

使用笛卡尔坐标，

$$
\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}=0 。
$$

使用柱坐标，

$$
\Delta f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}=0
$$

使用球面坐标，

$$
\Delta f=\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho^2 \frac{\partial f}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\rho^2 \sin ^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}=0 。
$$

使用曲线坐标，

$$
\Delta f=\frac{\partial}{\partial \xi^j}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi^k} g^{k i}\right)+\frac{\partial f}{\partial \xi^j} g^{j m} \Gamma_{m n}^n=0,
$$

或

$$
\Delta f=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial \xi^i}\left(\sqrt{|g|} g^{i j} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right)=0, \quad\left(g=\operatorname{det}\left\{g_{i j}\right\}\right) 。
$$

这组方程又经常写为

$$
\nabla^2 \varphi=0
$$

或者

$$
\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi=0 ;
$$

其中， $\operatorname{div}$ 表示矢量场的散度 (结果是一个标量场)，grad表示标量场的梯度 (结果是一个矢量场) 。
这方程又可写为

$$
\Delta \varphi=0 ;
$$

其中， $\Delta$ 称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。[1]:671-672 如果等号右边是一个给定的函数 $f(x, y, z)$ ，即

$$
\Delta \varphi=f ，
$$

则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型微分方程。偏微分算子 $\nabla^2$ 或 $\Delta$ (可以在任意维空间中定义这样的算子) 称为拉普拉斯算子。

## 边界条件

拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域 $D$ 内定义的函数 $\varphi$ ，使得 $\varphi$ 在 $D$ 的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。[2]:37-38

拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域 $D$ 边界处的温度函数 $\varphi$ 本身，而是 $\varphi$ 沿 $D$ 的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果 (对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度) 。[2]:37-38

拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数的任意线性组合同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为薹加原理。可以根据该原理将各种通解线性组合起来，以满足所有边界条件。[1]:124-130

## 二维拉普拉斯方程

两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式:

$$
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \equiv \psi_{x x}+\psi_{y y}=0 .
$$

解析函数 [ 编辑]
解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若 $z=x+i y$ ，并且

$$
f(z)=u(x, y)+i v(x, y),
$$

那么 $f(z)$ 是解析函数的充要条件是 $u(x, y) ， v(x, y)$ 可微，且满足下列柯西-黎曼方程: [1]:671-672

$$
u_x=v_y, \quad v_x=-u_y
$$

上述方程继续求导就得到

$$
u_{y y}=\left(-v_x\right)_y=-\left(v_y\right)_x=-\left(u_x\right)_x 。
$$

所以 $u$ 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得 $v$ 同样满足拉普拉斯方程。
反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数） $f(z)$ 的实部确定的调和函数，若写成下列形式:

$$
f(z)=\varphi(x, y)+i \psi(x, y),
$$

则等式

$$
\psi_x=-\varphi_y, \quad \psi_y=\varphi_x 。
$$

成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定 $\psi$ ，只能得到它的微增量表达式:

$$
d \psi=-\varphi_y d x+\varphi_x d y
$$

$\varphi$ 满足拉普拉斯方程意味着 $\psi$ 满足可积条件:

$$
\psi_{x y}=\psi_{y x} \text { 。 }
$$

所以可以通过一个线积分来定义 $\psi$ 。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了 $\varphi$ 和 $\psi$ 这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部 (复变函数 $f(z)$ ) 的解析域内) 有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有 $f(z)$ 的奇点。譬如，在极坐标平面 $(r, \theta)$ 上定义函数

$$
\varphi=\log r,
$$

那么相应的解析函数为

$$
f(z)=\log z=\log r+i \theta 。
$$

在这里需要注意的是，极角 $\theta$ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。

幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数 $f$ 在复平面上以原点为中心， $R$ 为半径的圆域内展开成幕级数，即

$$
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n,
$$

将每一项系数适当地分离出实部和虚部

$$
c_n=a_n+i b_n \text { 。 }
$$

那么

$$
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[a_n r^n \cos n \theta-b_n r^n \sin n \theta\right]+i \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n r^n \sin n \theta+b_n r^n \cos n \theta\right],
$$

这便是 $f$ 的傅里叶级数。这些三角函数自身也可以用倍角公式展开。

## 流体动力学

设 $u 、 v$ 分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的 $x$ 和 $y$ 方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为: [3]:99-101

$$
u_x+v_y=0,
$$

无旋条件为:

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