最后更新: 2024-01-04 21:08 查看: 431 次反馈刷题

泊松方程

泊松方程（法语：Équation de Poisson）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

## 方程的叙述

泊松方程为

$$
\Delta \varphi=f
$$

在这里 $\Delta$ 代表的是拉普拉斯算子，而 $f$ 和 $\varphi$ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为 $\nabla^2$ ，因此泊松方程通常写成

$$
\nabla^2 \varphi=f
$$

在三维直角坐标系，可以写成

$$
\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \varphi(x, y, z)=f(x, y, z) .
$$

如果有 $f(x, y, z)$ 恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作 “拉普拉斯方程” 。

$$
\Delta \varphi=0 .
$$

泊松方程可以用格林函数来求解; 如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。现在也发展出很多种数值解，如松驰法（一种迭代法)。

## 数学表达

通常泊松方程表示为

$$
-\Delta \varphi=f
$$

这里 $\Delta$ 代表拉普拉斯算子， $f$ 为已知函数，而 $\varphi$ 为未知函数。当 $f=0$ 时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

$$
\begin{cases}-\Delta \varphi=f & \text { in } \Omega \\ \varphi=g & \text { auf } \partial \Omega\end{cases}
$$

其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

$$
\Phi(x)= \begin{cases}-\frac{1}{2 \pi} \ln |x| & n=2 \\ \frac{1}{n(n-2) \omega_n} \frac{1}{|x|^{n-2}} & n \geq 3\end{cases}
$$

其中 $\omega_n$ 为 $\mathrm{n}$ 维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积 $(\Phi * f)$ 得到 $-\Delta \varphi=f$ 的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

$$
G(x, y)=\Phi(y-x)-\phi^x(y)
$$

$\phi^x$ 为一个校正函数，它满足

$$
\begin{cases}\Delta \phi^x=0 & \text { in } \Omega \\ \phi^x=\Phi(y-x) & \text { auf } \partial \Omega\end{cases}
$$

通常情况下 $\phi^x$ 是依赖于 $\Omega$ 。

通过 $G(x, y)$ 可以给出上述边界条件的解

$$
u(x)=-\int_{\partial \Omega} g(y) \frac{\partial G}{\partial \nu}(x, y) \mathrm{d} \sigma(y)+\int_{\Omega} f(y) G(x, y) \mathrm{d} y
$$

其中 $\sigma$ 表示 $\partial \Omega$ 上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。

## 静电学

在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的 $f$ 戈出 $\varphi$ 是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电势的问题。在国际单位制
(SI) 中:

$$
\nabla^2 \Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}
$$

此 $\Phi$ 代表电势 (单位为伏特)， $\rho$ 是体电荷密度 (单位为库仑/立方米)，而 $\epsilon_0$ 是真空电容率（单位为法拉/米）。
如果空间中有某区域没有带电粒子，则

$$
\rho=0,
$$

此方程就变成拉普拉斯方程:

$$
\nabla^2 \Phi=0
$$

## 高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 $\rho(r)$ :

$$
\rho(r)=\frac{Q}{\sigma^3 \sqrt{2 \pi}^3} e^{-r^2 /\left(2 \sigma^2\right)},
$$

此处， $Q$ 代表总电荷
此泊松方程: $\nabla^2 \Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$ 的解 $\Phi($ 㸝为

$$
\Phi(r)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r} \operatorname{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2} \sigma}\right)
$$

$\operatorname{erf}(x)$ 代表的是误差函数.
注意: 如果 $r$ 远大于 $\sigma ， \operatorname{erf}(x)$ 趋近于 1 ，而电场 $\Phi(r)$ 趋近点电荷电场 $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}$ ；正如我们所预期的。

刷题

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