最后更新: 2024-01-04 21:14 查看: 602 次反馈同步训练

波动方程

波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种二阶线性偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象—正如它们出现在经典物理学中—例如机械波，包括声波、光波、引力波、无线电波、水波、和地震波。波动方程抽象自声学、波动光学、电磁学、电动力学、流体力学、广义相对论等领域。

历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。[1][2][3][4] 1746年，达朗贝尔发现了一维波动方程，欧拉在其后10年之内发现了三维波动方程。

## 简介

波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为: 关于位置 $x$ 和时间 $t$ 的标量函数 $u$ (代表各点偏离平衡位置的距离) 满足:

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 u
$$

这里 $c$ 通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的空气中 $c$ 为 343 米/秒 (参见音速) 。在弦振动问题中， $c$ 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧 (一种玩具，英文商标为Slinky) 上，波速可以慢到1米/秒。

其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。

## 推导

一维波动方程可用如下的方式推导: 一列质量为 $m$ 的小质点，相邻质点间用长度 $h$ 的弹簧连接。弹簧的弹性系数 (又称 "倔强系数") 为 $k$ :

![xx.gif](/uploads/2024-01/6a6b80.gif)

其中 $u(x)$ 表示位于 $x$ 的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于 $x+h$ 处的质点 $m$ 上的力为:

$$
\begin{aligned}
& F_{\text {Newton }}=m \cdot a(t)=m \cdot \frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x+h, t) \\
& F_{\text {Hooke }}=F_{x+2 h}+F_x=k[u(x+2 h, t)-u(x+h, t)]+k[u(x, t)-u(x+h, t)]
\end{aligned}
$$

其中 $F_{\text {Newton }}$ 代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力， $F_{\text {Hooke }}$ 代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于 $x+h$ 处质点的运动方程为:

$$
m \frac{\partial^2 u(x+h, t)}{\partial t^2}=k[u(x+2 h, t)-u(x+h, t)-u(x+h, t)+u(x, t)]
$$

式中已注明 $u(x)$ 是时间 $t$ 的显函数。
若 $N$ 个质点间隔均匀地固定在长度 $L=N h$ 的弹簧链上，总质量 $M=N m$ ，链的总体劲度系数为 $K=k / N$ ，我们可以将上面的方程写为:

$$
\frac{\partial^2 u(x+h, t)}{\partial t^2}=\frac{K L^2}{M} \frac{u(x+2 h, t)-2 u(x+h, t)+u(x, t)}{h^2}
$$

取极限 $N \rightarrow \infty, h \rightarrow 0$ 就得到这个系统的波动方程:

$$
\frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2}=\frac{K L^2}{M} \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2}
$$

在这个例子中，波速 $c=\sqrt{\frac{K L^2}{M}}$ 。

## 一般解

代数方法
一维标量形式波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的。原方程可以写成如下的算子作用形式:

$$
\left[\frac{\partial}{\partial t}-c \frac{\partial}{\partial x}\right]\left[\frac{\partial}{\partial t}+c \frac{\partial}{\partial x}\right] u=0 .
$$

从上面的形式可以看出，若 $F$ 和 $G$ 为任意函数，那么它们以下形式的组合

$$
u(x, t)=F(x-c t)+G(x+c t)
$$

必然满足原方程。上面两项分别对应两列行波——表示经过该点 ( $x$ 点) 的右行波，G表示经过该点的左行波。为完全确定 $F$ 和 $G$ 的最终形式还需考虑如下初始条件:

$$
\begin{aligned}
& u(x, 0)=f(x) \\
& u_t(x, 0)=g(x)
\end{aligned}
$$

经带入运算，就得到了波动方程著名的达朗贝尔行波解，又称达朗贝尔公式:

$$
u(x, t)=\frac{f(x-c t)+f(x+c t)}{2}+\frac{1}{2 c} \int_{x-c t}^{x+c t} g(s) d s
$$

在经典的意义下，如果 $f(x) \in C^k$ 并且 $g(x) \in C^{k-1}$ 则 $u(t, x) \in C^k$ 。但是，行波函数 $F$ 和 $G$ 也可以是广义函数，比如狄拉克 $\delta$ 函数。在这种情况下，行波解应被视作左行或右行的一个脉冲。

基本波动方程是一个线性微分方程，并且将会遵循蛋加原理，也就是说同时受到两列波作用的点的振幅就是两列波振幅的相加。这意味着可以通过把一列波分解成它的许求解中很有效。此外，可以通过将波分离出各个分量来分析，例如傅里叶变换可以把波分解成正弦分量。

## 标量形式的三维波动方程

三维波动方程初值问题的解可以通过求解球面波波动方程得到。求解结果可用于推导二维情况的解。

球面波 [ 编辑]
球面波方程的形式不随空间坐标系统的转动而变化，所以可以将它写成仅与距源点距离/相关的函数。方程的三维形式为:

$$
u_{t t}-c^2\left(u_{r r}+\frac{2}{r} u_r\right)=0 .
$$

将方程变形为:

$$
(r u)_{t t}-c^2(r u)_{r r}=0 ;
$$

此时，因变量 $r u$ 满足一维波动方程，于是可以利用达朗贝尔行波法将解写成:

$$
u(t, r)=\frac{1}{r} F(r-c t)+\frac{1}{r} G(r+c t),
$$

其中 $F$ 和 $G$ 为任意函数，可以理解为以速度 $c$ 从中心向外传播的波和从外面向中心传播的波。这类从点源传
出的波强度随距点源距离/衰减，并且属于无后效波，可以清晰地搭载信号。这种波仅在奇数维空间中存在 (原因将在下一小节中详细解释)。
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