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波动方程

波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种二阶线性偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象—正如它们出现在经典物理学中—例如机械波，包括声波、光波、引力波、无线电波、水波、和地震波。波动方程抽象自声学、波动光学、电磁学、电动力学、流体力学、广义相对论等领域。

历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。[1][2][3][4] 1746年，达朗贝尔发现了一维波动方程，欧拉在其后10年之内发现了三维波动方程。

## 简介

波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为: 关于位置 $x$ 和时间 $t$ 的标量函数 $u$ (代表各点偏离平衡位置的距离) 满足:

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 u
$$

这里 $c$ 通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的空气中 $c$ 为 343 米/秒 (参见音速) 。在弦振动问题中， $c$ 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧 (一种玩具，英文商标为Slinky) 上，波速可以慢到1米/秒。

其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。

## 推导

一维波动方程可用如下的方式推导: 一列质量为 $m$ 的小质点，相邻质点间用长度 $h$ 的弹簧连接。弹簧的弹性系数 (又称 "倔强系数") 为 $k$ :

![xx.gif](/uploads/2024-01/6a6b80.gif)

其中 $u(x)$ 表示位于 $x$ 的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于 $x+h$ 处的质点 $m$ 上的力为:

$$
\begin{aligned}
& F_{\text {Newton }}=m \cdot a(t)=m \cdot \frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x+h, t) \\
& F_{\text {Hooke }}=F_{x+2 h}+F_x=k[u(x+2 h, t)-u(x+h, t)]+k[u(x, t)-u(x+h, t)]
\end{aligned}
$$

其中 $F_{\text {Newton }}$ 代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力， $F_{\text {Hooke }}$ 代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于 $x+h$ 处质点的运动方程为:

$$
m \frac{\partial^2 u(x+h, t)}{\partial t^2}=k[u(x+2 h, t)-u(x+h, t)-u(x+h, t)+u(x, t)]
$$

式中已注明 $u(x)$ 是时间 $t$ 的显函数。
若 $N$ 个质点间隔均匀地固定在长度 $L=N h$ 的弹簧链上，总质量 $M=N m$ ，链的总体劲度系数为 $K=k / N$ ，我们可以将上面的方程写为:

$$
\frac{\partial^2 u(x+h, t)}{\partial t^2}=\frac{K L^2}{M} \frac{u(x+2 h, t)-2 u(x+h, t)+u(x, t)}{h^2}
$$

取极限 $N \rightarrow \infty, h \rightarrow 0$ 就得到这个系统的波动方程:

$$
\frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2}=\frac{K L^2}{M} \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2}
$$

在这个例子中，波速 $c=\sqrt{\frac{K L^2}{M}}$ 。

## 一般解

代数方法
一维标量形式波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的。原方程可以写成如下的算子作用形式:

$$
\left[\frac{\partial}{\partial t}-c \frac{\partial}{\partial x}\right]\left[\frac{\partial}{\partial t}+c \frac{\partial}{\partial x}\right] u=0 .
$$

从上面的形式可以看出，若 $F$ 和 $G$ 为任意函数，那么它们以下形式的组合

$$
u(x, t)=F(x-c t)+G(x+c t)
$$

必然满足原方程。上面两项分别对应两列行波——表示经过该点 ( $x$ 点) 的右行波，G表示经过该点的左行波。为完全确定 $F$ 和 $G$ 的最终形式还需考虑如下初始条件:

$$
\begin{aligned}
& u(x, 0)=f(x) \\
& u_t(x, 0)=g(x)
\end{aligned}
$$

经带入运算，就得到了波动方程著名的达朗贝尔行波解，又称达朗贝尔公式:

$$
u(x, t)=\frac{f(x-c t)+f(x+c t)}{2}+\frac{1}{2 c} \int_{x-c t}^{x+c t} g(s) d s
$$

在经典的意义下，如果 $f(x) \in C^k$ 并且 $g(x) \in C^{k-1}$ 则 $u(t, x) \in C^k$ 。但是，行波函数 $F$ 和 $G$ 也可以是广义函数，比如狄拉克 $\delta$ 函数。在这种情况下，行波解应被视作左行或右行的一个脉冲。

基本波动方程是一个线性微分方程，并且将会遵循蛋加原理，也就是说同时受到两列波作用的点的振幅就是两列波振幅的相加。这意味着可以通过把一列波分解成它的许求解中很有效。此外，可以通过将波分离出各个分量来分析，例如傅里叶变换可以把波分解成正弦分量。

## 标量形式的三维波动方程

三维波动方程初值问题的解可以通过求解球面波波动方程得到。求解结果可用于推导二维情况的解。

球面波 [ 编辑]
球面波方程的形式不随空间坐标系统的转动而变化，所以可以将它写成仅与距源点距离/相关的函数。方程的三维形式为:

$$
u_{t t}-c^2\left(u_{r r}+\frac{2}{r} u_r\right)=0 .
$$

将方程变形为:

$$
(r u)_{t t}-c^2(r u)_{r r}=0 ;
$$

此时，因变量 $r u$ 满足一维波动方程，于是可以利用达朗贝尔行波法将解写成:

$$
u(t, r)=\frac{1}{r} F(r-c t)+\frac{1}{r} G(r+c t),
$$

其中 $F$ 和 $G$ 为任意函数，可以理解为以速度 $c$ 从中心向外传播的波和从外面向中心传播的波。这类从点源传
出的波强度随距点源距离/衰减，并且属于无后效波，可以清晰地搭载信号。这种波仅在奇数维空间中存在 (原因将在下一小节中详细解释)。
幸运的是，我们生活的空间是三维的，所以我们可以清晰地通过声波和电磁波 (都属于球面波) 来互相交流。

****时间箭头的讨论
上面方程的解里面，分成了两部分，一部分表示向外传播的波，一部分则是向内。很明显，只要将t换成-t，就可以在这两部分之间转换。这体现了原始方程对于时间是对称的，任意的一个解在时间轴上倒过来看仍然是一个解。

然而，我们所观察到的实际的波，都是属于向外传播的。除非精心地加以调整，我们无法在自然界观察到向内的波，尽管它们也是波动方程的合法的解。

关于这个现象，引起了不少讨论。有人认为，实际上它们即使存在，也无法加以观察。想想如果四周的光向一个物体集中，则因为没有光到达我们的眼睛，我们不可能看见这个物体或者发现这个现象 (见参考文献[2])。

广义初值问题的解  
波动方程中 $u$ 是线性函数，并且不随时间和空间坐标的平移而改变。所以我们可以通过平移与鲁加球面波获得方程各种类型的解。令 $\varphi(\xi, \eta, \zeta)$ 为任意具有三个自变量的函数，球面波形 $F$ 为狄拉克 $\delta$ 函数（数学语言是： $F$ 是一个在全空间积分等于1且非零区间收缩至原点的连续函数的弱极限)。设 $(\xi, \eta, \zeta)$ 位一族球面波的源点， $r$ 为距源点的径向距离，即:

$$
r^2=(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2 .
$$

可定义

$$
U(t, x, y, z ; \xi, \eta, \zeta)=\frac{\delta(r-c t)}{4 \pi c r}
$$

称为三维波动方程的影响函数，其意义为 $(\xi, \eta, \zeta)$ 点在 $t=0$ 时刻受到短促脉冲 $\delta$ 函数作用后向空间中传出的波的影响，系数分母 $4 \pi c$ 是为方便后续处理而加上的。

若 $u$ 是这一族波函数的加权趄加，且权函数为 $\varphi$ ，则

$$
u(t, x, y, z)=\frac{1}{4 \pi c} \iiint \varphi(\xi, \eta, \zeta) \frac{\delta(r-c t)}{r} d \xi d \eta d \zeta ;
$$

从 $\delta$ 函数的定义可知， $i$ 还能写成

$$
u(t, x, y, z)=\frac{t}{4 \pi} \iint_S \varphi(x+c t \alpha, y+c t \beta, z+c t \gamma) d \omega,
$$

式中 $\alpha 、 \beta$ 和 $\gamma$ 是单位球面 $S$ 上点的坐标， $\mathrm{d} \omega$ 为 $S$ 上的面积微元。该结果的意义为: $u(t, x, y, z)$ 是以 $(x, y, z)$ 为圆心， $c t$ 为半径的球面上 $\varphi$ 的平均值的 $t$倍:

$$
u(t, x, y, z)=t M_{c t}[\phi] .
$$

从上式易得

$$
u(0, x, y, z)=0, \quad u_t(0, x, y, z)=\phi(x, y, z) .
$$

平均值是关于 $t$ 的偶函数，所以若

$$
v(t, x, y, z)=\frac{\partial}{\partial t}\left(t M_{c t}[\psi]\right),
$$

那么

$$
v(0, x, y, z)=\psi(x, y, z), \quad v_t(0, x, y, z)=0 .
$$

以上得出的便是波动方程初值问题的解。从中可以看出，任意点 $P$ 在时刻受到的波扰动只来自以 $P$ 为圆心， $c t$ 为半径的球面上，而这个球的内部点在这一时刻对 $P$ 点的状态完全没有影响 (因为它们的影响之前就已经传过 $P$ 点了)。换一个角度分析，假设三维空间中任意点 $P^{\prime}$ 在 $t=0$ 时刻受到一个脉冲扰动 $\delta$ ，那么由此发出的球面波在传过空间中的任意其它点 $Q$ 后，便再也不会对 $Q$ 的运动状态产生影响，这就是在物理学中也非常著名的惠更斯原理 (Huygens' principle)，也称为无后效现象，表示传过的球面波不会留下任何后续效应。

下面我们便可以解释上一小节中留下的问题了。事实上，前面所得到的球面波解仅在奇数维空间中存在。偶数维空间中波动方程的解是弥散的，也就是说波阵面掠过区域仍然会受其影响。以下面的二维波动方程 (极坐标形式，注意和上一小节三维形式的差别) 为例:

$$
u_{t t}-c^2\left(u_{r r}+\frac{1}{r} u_r\right)=0
$$

可以从三维形式的解通过降维法得到二维波动方程的影响函数:

$$
U(t, x-\xi, y-\eta)= \begin{cases}\frac{1}{2 \pi c} \frac{1}{\sqrt{c^2 t^2-r^2}}, & r \leq c t \\ 0, & r>c t\end{cases}
$$

其中

$$
r=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}
$$

设点 $M(x, y)$ 到点 $(\xi, \eta)$ 距离为 $d$ ，那么从影响函数中可以看出，当 $t>d / c$ 即初始扰动已传过 $M$ 点后， $M$ 仍在受到它的影响。二维球面波（柱面波）的这一性质决定了它不能作为传递信号的工具，因为这种波 (事实上包括所有偶数维空间中的球面波) 经过的点受到的是交织在一起的各个不同时刻的扰动。

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