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偏微分方程
概括性总结
热传导方程
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2024-01-04 21:16
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热传导方程
热传导方程 (或称热方程) 是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。 **物理机制 ** 热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达: $$ \frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{div}(U u)=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)=k\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right) $$ 其中: - $u=u(t, x, y, z)$ 表温度,它是时间变数 $\mathrm{t}$ 与空间变数 $(x, y, z)$ 的函数。 - $\partial u / \partial t$ 是空间中一点的温度对时间的变化率。 - $u_{x x}, u_{y y}$ 与 $u_{z z}$ 温度对三个空间坐标轴的二次导数。 - $k$ 是热扩散率,决定于材料的热导率、密度与热容。 热方程是傅里叶冷却律的一个推论 (详见条目热传导)。 如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程的唯一解,必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。 热方程的解具有将初始温度平滑化的特质,这代表热从高温处向低温处传播。一般而言,许多不同的初始状态会趋向同一个稳态 (热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态,即使对极短的时间间隔也一样。 热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子,热方程可推广为下述形式
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