最后更新: 2024-01-04 21:16 ● 参与者查看: 286 次纠错分享参与项目词条搜索

热传导方程

热传导方程 (或称热方程) 是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
**物理机制 **
热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达:

$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{div}(U u)=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)=k\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)
$$

其中:

- $u=u(t, x, y, z)$ 表温度，它是时间变数 $\mathrm{t}$ 与空间变数 $(x, y, z)$ 的函数。
- $\partial u / \partial t$ 是空间中一点的温度对时间的变化率。
- $u_{x x}, u_{y y}$ 与 $u_{z z}$ 温度对三个空间坐标轴的二次导数。
- $k$ 是热扩散率，决定于材料的热导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论 (详见条目热传导)。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态 (热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

$$
u_t=k \Delta u,
$$

其中的 $\Delta$ 是对空间变数的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电势。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与奥恩斯坦一乌伦贝克过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式 (但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达一个 “扰动可以在瞬间传播至空间各处”的情况。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

以傅里叶级数解热方程 [编辑]
以下解法首先由约瑟夫.傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur
(中译: 解析热学) 给出。先考虑只有一个空间变数的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下:
(1) $u_t=k u_{x x}$

其中 $u=u(t, x)$ 是 $t$ 和 $x$ 的双变数函数。

- $x$ 是空间变数，所以 $x \in[0, L]$ ，其中 $L$ 表示棍子长度。
- $t$ 是时间变数, 所以 $t \geq 0$ 。

假设下述初始条件
(2) $u(0, x)=f(x) \quad \forall x \in[0, L]$

其中函数提给定的。再配合下述边界条件
(3) $u(t, 0)=0=u(t, L) \quad \forall t>0$.

让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式:
(4) $u(t, x)=X(x) T(t)$.

这套技术称作分离变数法。现在将 $u$ 代回方程(1)，

$$
\frac{T^{\prime}(t)}{k T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} .
$$

由于等式右边只依赖 $x$ ，而左边只依赖 $t$ ，两边都等于某个常数 $-\lambda$ ，于是:

(5) $T^{\prime}(t)=-\lambda k T(t)$
(6) $X^{\prime \prime}(x)=-\lambda X(x)$.

以下将证明(6)没有 $\lambda \leq 0$ 的解:
假设 $\lambda<0$ ，则存在实数 $B 、 C$ 使得

$$
X(x)=B e^{\sqrt{-\lambda} x}+C e^{-\sqrt{-\lambda} x} 。
$$

从(3)得到

$$
X(0)=0=X(L) .
$$

于是有 $B=0=C$ ，这蕴含 $U$ 恒等于零。
假设 $\lambda=0$ ，则存在实数 $B 、 C$ 使得

$$
X(x)=B x+C .
$$

仿上述办法可从等式(3)推出恒等于零。
因此必然有 $\lambda>0$ ，此时存在实数 $A 、 B 、 C$ 使得

$$
\begin{aligned}
& T(t)=A e^{-\lambda k t} \\
& X(x)=B \sin (\sqrt{\lambda} x)+C \cos (\sqrt{\lambda} x) 。
\end{aligned}
$$

从等式(3)可知 $C=0$ ，因此存在正整数 $n$ 吏得

$$
\sqrt{\lambda}=n \frac{\pi}{L} 。
$$

由此得到热方程形如(4)的解。
一般而言，满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出:

$$
u(t, x)=\sum_{n=1}^{+\infty} D_n\left(\sin \frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 k t}{L^2}}
$$

其中

$$
D_n=\frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} d x \text { 。 }

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