日期: 2024-01-08 20:34 查看: 130 次编辑

简谐运动的描述

我们已经知道, 做简谐运动的物体的位移 $x$ 与运动时间 $t$ 之间满足正弦函数关系，因此，位移 $x$ 的一般函数表达式可写为

$$
x=A \sin (\omega t+\varphi)
$$

下面我们根据上述表达式, 结合图 2.2-1 所示情景, 分析简谐运动的特点。

### 振幅

因为 $|\sin (\omega t+\varphi)| \leqslant 1$, 所以 $|x| \leqslant A$, 这说明 $A$ 是物体离开平衡位置的最大距离。
![图片](/uploads/2024-01/image_2024010820918f1.png)

如图2.2-2, 如果用 $M$ 点和 $M^{\prime}$ 点表示水平弹簧振子在平衡位置 $O$ 点右端及左端最远位置, 则 $|O M|=$ $\left|O M^{\prime}\right|=A$, 我们把振动物体离开平衡位置的最大距离,叫作振动的振幅 (amplitude)。振幅是表示振动幅度大小的物理量, 常用字母 $A$ 表示。振幅的单位是米。振动物体运动的范围是振幅的两倍。

### 周期和频率

在图 2.2-2 中, 如果从振动物体向右通过 $O$ 的时刻开始计时, 它将运动到 $M$, 然后向左回到 $O$, 又继续向左运动到达 $M^{\prime}$, 之后又向右回到 $O$ 。这样一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体总是不断地重复着这样的运动过程, 不管以哪里作为开始研究的起点。例如从图中的 $P_0$ 点开始研究, 做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。

做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间, 叫作振动的周期 (period)。周期的倒数叫作振动的频率 (frequency), 数值等于单位时间内完成全振动的次数。用 $T$ 表示周期，用 $f$ 表示频率，则有

$$
f=\frac{1}{T}
$$

在国际单位制中, 周期的单位是秒。频率的单位是赫兹 ( hertz) , 简称赫, 符号是 $\mathrm{Hz} 。 1 \mathrm{~Hz}=1 \mathrm{~s}^{-1}$ 。

周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量, 周期越小, 频率越大, 表示振动越快。

根据正弦函数规律, $(\omega t+\varphi)$ 在每增加 $2 \pi$ 的过程中,函数值循环变化一次。这一变化过程所需要的时间便是简谐运动的周期 $T$ 。
于是有 $\quad[\omega(t+T)+\varphi]-(\omega t+\varphi)=2 \pi$
由此解出 $\quad \omega=\frac{2 \pi}{T}$
根据周期与频率间的关系，则

$$
\omega=2 \pi f
$$

可见, $\omega$ 是一个与周期成反比、与频率成正比的量,叫作简谐运动的 “圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。

### 相位

从 $x=A \sin (\omega t+\varphi)$ 可以发现, 当 $(\omega t+\varphi)$ 确定时, $\sin (\omega t+\varphi)$ 的值也就确定了, 所以 $(\omega t+\varphi)$ 代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理学中把 $(\omega t+\varphi)$ 叫作相位 (phase)。 $\varphi$ 是 $t=0$ 时的相位,称作初相位, 或初相。

实际上, 经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差 (phase difference)。如果两个简谐运动的频率相同, 其初相分别是 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$, 当 $\varphi_1>\varphi_2$ 时, 它们的相位差是

$$
\Delta \varphi=\left(\omega t+\varphi_1\right)-\left(\omega t+\varphi_2\right)=\varphi_1-\varphi_2
$$

此时我们常说 1 的相位比 2 超前 $\Delta \varphi$, 或者说 2 的相位比 1 落后 $\Delta \varphi$ 。

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