最后更新: 2024-12-15 11:09 查看: 253 次反馈刷题

简谐运动的描述

我们已经知道, 做简谐运动的物体的位移 $x$ 与运动时间 $t$ 之间满足正弦函数关系，因此，位移 $x$ 的一般函数表达式可写为

$$
x=A \sin (\omega t+\varphi)
$$

下面我们根据上述表达式, 结合图 2.2-1 所示情景, 分析简谐运动的特点。

### 振幅

因为 $|\sin (\omega t+\varphi)| \leqslant 1$, 所以 $|x| \leqslant A$, 这说明 $A$ 是物体离开平衡位置的最大距离。
![图片](/uploads/2024-01/image_2024010820918f1.png)

如图2.2-2, 如果用 $M$ 点和 $M^{\prime}$ 点表示水平弹簧振子在平衡位置 $O$ 点右端及左端最远位置, 则 $|O M|=$ $\left|O M^{\prime}\right|=A$, 我们把振动物体离开平衡位置的最大距离,叫作振动的振幅 (amplitude)。振幅是表示振动幅度大小的物理量, 常用字母 $A$ 表示。振幅的单位是米。振动物体运动的范围是振幅的两倍。

### 周期和频率

在图 2.2-2 中, 如果从振动物体向右通过 $O$ 的时刻开始计时, 它将运动到 $M$, 然后向左回到 $O$, 又继续向左运动到达 $M^{\prime}$, 之后又向右回到 $O$ 。这样一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体总是不断地重复着这样的运动过程, 不管以哪里作为开始研究的起点。例如从图中的 $P_0$ 点开始研究, 做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。

做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间, 叫作振动的周期 (period)。周期的倒数叫作振动的频率 (frequency), 数值等于单位时间内完成全振动的次数。用 $T$ 表示周期，用 $f$ 表示频率，则有

$$
f=\frac{1}{T}
$$

在国际单位制中, 周期的单位是秒。频率的单位是赫兹 ( hertz) , 简称赫, 符号是 $\mathrm{Hz} 。 1 \mathrm{~Hz}=1 \mathrm{~s}^{-1}$ 。

周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量, 周期越小, 频率越大, 表示振动越快。

根据正弦函数规律, $(\omega t+\varphi)$ 在每增加 $2 \pi$ 的过程中,函数值循环变化一次。这一变化过程所需要的时间便是简谐运动的周期 $T$ 。
于是有 $\quad[\omega(t+T)+\varphi]-(\omega t+\varphi)=2 \pi$
由此解出 $\quad \omega=\frac{2 \pi}{T}$
根据周期与频率间的关系，则

$$
\omega=2 \pi f
$$

可见, $\omega$ 是一个与周期成反比、与频率成正比的量,叫作简谐运动的 “圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。

### 相位

从 $x=A \sin (\omega t+\varphi)$ 可以发现, 当 $(\omega t+\varphi)$ 确定时, $\sin (\omega t+\varphi)$ 的值也就确定了, 所以 $(\omega t+\varphi)$ 代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理学中把 $(\omega t+\varphi)$ 叫作相位 (phase)。 $\varphi$ 是 $t=0$ 时的相位,称作初相位, 或初相。

实际上, 经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差 (phase difference)。如果两个简谐运动的频率相同, 其初相分别是 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$, 当 $\varphi_1>\varphi_2$ 时, 它们的相位差是

$$
\Delta \varphi=\left(\omega t+\varphi_1\right)-\left(\omega t+\varphi_2\right)=\varphi_1-\varphi_2
$$

此时我们常说 1 的相位比 2 超前 $\Delta \varphi$, 或者说 2 的相位比 1 落后 $\Delta \varphi$ 。

## 梳理
1.简谐运动的表达式
$x= {A \sin \left(\omega t+\varphi_0\right), ~} \omega t+\varphi_0$ 为相位， $\varphi_0$ 为初相位， $\omega$ 为圆频率， $\omega={\frac{2 \pi}{I}}$ 。
2. 简谐运动的振动图像

表示做简谐运动的物体的位移 随时间变化的规律，是一条正弦曲线.
 ![图片](/uploads/2024-12/2c81a4.jpg)
 
 
 ## 判断
 
 1.简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹. $(\times)$
2. 简谐运动的振动图像一定是正弦曲线. ( $\sqrt{ }$ )

## 提升
从振动图像可获取的信息

(1)振幅A、周期T(或频率f )和初相位φ0(如图所示).
 ![图片](/uploads/2024-12/cc8e70.jpg)
 (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小(即此切点的导数)和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定.
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同.
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.

`例`如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动，A、B为分居O点左右两侧的对称点.取水平向右为正方向，物体的位移x随时间t变化的正弦曲线如图乙所示，下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/7ff749.jpg)
A.t＝0.6 s时，物体在O点右侧6 cm处
B.物体在t＝0.2 s和t＝1.0 s时的速度相同
C.t＝1.2 s时，物体的加速度方向水平向右
D.t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，物体的加速度和速度都逐渐增大

解：由题图可知，弹簧振子的振幅为 0.12 m ，周期为 1.6 s ，所以 $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ $=1.25 \pi rad / s$, 结合振动图像得, 振动方程为 $x=0.12 \sin (1.25 \pi t) m$, 在 $t=$ 0.6 s 时，物体的位移 $x_1=0.12 \sin (1.25 \pi \times 0.6) m =6 \sqrt{2} cm$ ，A 错误；由振动图像可知， $t=0.2 s$ 时，物体从平衡位置向右运动， $t=1.0 s$ 时，物体从平衡位置向左运动，速度方向不同， B 错误； $t=1.2 s$ 时，物体到达 $A$ 处，物体的加速度方向水平向右， C 正确；
t＝1.0 s到t＝1.2 s的时间内，物体向负向最大位移处运动，速度减小，加速度增大；t＝1.2 s到t＝1.4 s时间内，物体从负向最大位移处向平衡位置运动，则速度增大，加速度减小，D错误.

`例`(多选)如图所示，水平弹簧振子沿 $x$ 轴在 $M 、 N$ 间做简谐运动，坐标原点 $O$ 为小球的平衡位置，其振动方程为 $x=5 \sin \left(10 \pi t+\frac{\pi}{2}\right) cm$.下列说法正确的是
A. $M N$ 间距离为 5 cm
B.小球的运动周期是 0.2 s
$C . t=0$ 时，小球位于 $N$ 点
D. $t=0.05 s$ 时，小球具有最大加速度
 ![图片](/uploads/2024-12/366d35.jpg)

解：$M N$ 间距离为 $2 A=10 cm$ ，故A错误；
因 $\omega=10 \pi rad / s$, 可知小球的运动周期是 $T=$ $\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{10 \pi} s=0.2 s$, 故 B 正确；
由 $x=5 \sin \left(10 \pi t+\frac{\pi}{2}\right) cm$ 可知, $t=0$ 时, $x_1=5 cm$, 即小球位于 $N$ 点,故 C 正确;
由 $x=5 \sin \left(10 \pi t+\frac{\pi}{2}\right) cm$ 可知, $t=0.05 s$ 时, $x_2=0$, 此时小球位于 $O$点, 小球加速度为零, 故 D 错误.

刷题

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