最后更新: 2024-01-08 20:36 查看: 143 次下载编辑本文科数网

单摆

如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装
置就叫作单摆（simple pendulum）。单摆是实际摆的理想化模型。显然，单摆摆动时摆球在做振动，下面我们来研究单摆的运动情况
![图片](/uploads/2024-01/image_202401089f60f26.png)

## 单摆的回复力

如图 2.4-1, 单摆摆长为 $l$ 、摆球质量为 $m$ 。将摆球拉离平衡位置 $O$ 后释放, 摆球沿圆弧做往复运动。当摆球沿圆弧运动到某一位置 $P$ 时，摆线与坚直方向的夹角为 $\theta$ 。此时摆球受到重力 $G$ 和摆线拉力 $F_{\mathrm{T}}$ 的作用。重力 $G$ 沿圆弧切线方向的分力 $F=m g \sin \theta$, 正是这个力充当回复力,
迫使摆球回到平衡位置 $O$ 。
回复力 $F$ 与小球从 $O$ 点到 $P$ 点的位移 $x$ 并不成正比也不反向。但是, 当摆角 $\theta$ 很小时, 摆球运动的圆弧可以看成直线，可认为 $F$ 指向平衡位置 $O$, 与位移 $x$ 反向。圆弧 $\overparen{O P}$ 的长度可认为与摆球的位移 $x$ 大小相等, 即

$$
\sin \theta \approx \theta=\frac{\widehat{O P}}{l} \approx \frac{x}{l}
$$

因此, 单摆振动的回复力 $F$ 可表示为

$$
F=-\frac{m g}{l} x
$$

式中负号表示回复力与位移的方向相反。对一个确定的单摆来说，摆球质量 $m$ 和摆长 $l$ 是一定的, $\frac{m g}{l}$ 可以用一个常量 $k$ 表示, 于是上式可以写成

$$
F=-k x
$$

可见, 单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。

## 单摆周期与摆长之间的关系

实验表明：单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关。单摆周期与摆长之间有什么定量的关系呢
为了找出单摆周期与摆长之间定量的关系，荷兰物理学家惠更斯进行了详尽的研究, 发现单摆做简谐运动的周期 $T$ 与摆长 $l$ 的二次方根成正比，与重力加速度 $g$ 的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。惠更斯确定了计算单摆周期的公式

$$
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
$$

单摆周期公式的发现, 为人类利用简谐运动定量计时提供了可能，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟。

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