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单摆及其周期公式

## 单摆及其周期公式
如图所示，将盛有细沙的漏斗吊在支架上，支架下方放一块硬纸板，漏斗静止时恰好位于直线 OO′ 的正上方。沿垂直 OO′ 的方向拉开漏斗，使悬线以较小的角度偏离竖直方向，释放漏斗后其在垂直于 OO′ 的方向上自由摆动。漏斗摆动的同时沿着 OO′ 的方向匀速拉动硬纸板。

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每时每刻都会有细沙从漏斗中漏出落在硬纸板上，硬纸板上细沙的分布反映了各个时刻漏斗的位置。盛有细沙的漏斗相当于单摆的摆球，这条由细沙描绘的曲线显示了摆球的位置随时间变化的关系。将该曲线抽象为如图 所示的 x–t 图像，此图像与余弦函数的图像非常相似，由此可以初步猜想单摆的摆动也是一种简谐运动

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## 单摆振动的原因
如图所示，将质量为 $m$ 的摆球从平衡位置 $O$ 拉到 $B$点。放手后，摆球在重力 $G$ 和拉力 $F_{ T }$ 的作用下在 $O$ 点两侧来回摆动。将重力 $G$ 沿圆弧的切线和半径方向分解，正是在重力沿圆弧切线方向的分力作用下，摆球才能在竖直平面内沿圆弧 $B C$ 往复运动。
 ![图片](/uploads/2025-01/34ce62.svg){width=300px}

摆球在任意位置所受重力沿切线方向分力的大小 $F=F_x=$ $m g \sin \theta, \theta$ 为摆线与坚直方向的夹角。当摆角很小时（如果 θ 很小，且用弧度制表示，θ 与 sinθ 的值近似相等；θ 所对应的弦长和弧长也近似相等。这时可近似认为摆球沿直线在平衡位置两侧振动。），$F$ 的方向近似指向平衡位置，力 $F$ 就是单摆的回复力；此时摆球相对于 $O$ 点的位移 $x$ 的大小，摆角 $\theta$ 对应的弧长和弦长三者几乎相等。因此 $\sin \theta$ 近似等于位移 $x$ 与摆长 $l$ 的比值。单摆的回复力

$$
F=-m g \frac{x}{l}=-k x
$$

在此近似下，单摆受到的回复力与其偏离平衡位置位移的大小成正比，方向始终指向平衡位置，符合简谐运动回复力的特征。由此可见，在摆角很小的情况下，可近似认为单摆的运动是一种简谐运动。

## 单摆做简谐运动的周期

1581 年，伽利略观察了悬挂着的蜡烛架的摆动。他用自己的脉搏计时后发现，虽然蜡烛架摆动的幅度越来越小，但是每次摆动所用的时间却大致相等，摆动的周期与振幅无关，这就是摆的等时性。虽然不少科学家认为，这可能只是一个传说，但伽利略确实对摆进行了深入的研究。他设计了一个脉搏仪，用标准长度的单摆来测量患者的脉搏。
单摆做简谐运动的周期与哪些因素有关？如何验证你的猜想？

通过上述实验我们发现，单摆做简谐运动的周期与摆球的质量无关，周期与摆长的二次方根成正比。

实际上，早在 17 世纪惠更斯就发现单摆做简谐运动的周期与摆长的二次方根成正比，与重力加速度的二次方根成反比，与振幅和摆球的质量无关，确定了单摆振动的周期公式

$$
\boxed{
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
}
$$

单摆的周期仅由摆长与当地的重力加速度大小决定，称为单摆的**固有周期**，相应的频率称为固有频率。

> 通过对弹黄振子做简谐运动的分析可知，其周期 $T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ 。单摆做简谐运动的回复力 $F=-m g \frac{x}{l}=-$ $k x$ ，将 $k=\frac{m g}{l}$ 代入即可得单摆小角度摆动时的周期 $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ 。

## 试验：用单摆测量重力加速度的大小
单摆的振动具有周期性，其周期与重力加速度的大小有关。当单摆做简谐运动时，其周期 $T$ 与重力加速度 $g$ 的关系为 $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ，式中 $l$ 为摆长，则当地的重力加速度

$$
g=\frac{4 \pi^2 l}{T^2}
$$

## 扩展阅读
在由沙摆获得振动图像的实验中，若以速度 $v$ 匀速拉动硬纸板，纸板通过的距离 $L=$ $v t$ ，该距离 $L$ 即表示沙摆摆动所经历的时间 $t$ 。图中从坐标原点开始，横轴方向的线段长反映了摆从初始时刻 $(0 s)$ ，沿纵轴方向摆动的时间 $t$ 。这种以空间表示时间的方法也应用于地震监测仪，心电图仪等技术中。

单摆的摆动不同于弹簧振子的运动，摆球是在坚直平面内沿以悬点为中心的圆弧来回运动，因此，一般研究其角位移随时间的变化。在上面教程里，设单摆的摆球质量为 $m$ ，摆长为 $l$ 。当摆球经过角位移为 $\theta$ 的位置时，其重力沿切线方向的分力充当回复力，表达式为 $F=m g \sin \theta$ ，式中负号表示力的方向与角位移的方向相反。设此时该回复力产生的切向加速度为 $a$ ，则由牛顿第二定律可得，$-m g \sin \theta=m a$ ，代入加速度 $a=l \frac{d^2 \theta}{d t^2}$ ，整理后可得，$\frac{ d ^2 \theta}{d t^2}+\frac{g}{l} \sin \theta=0$ 。

与简谐运动的动力学方程 $\frac{ d ^2 x}{d t^2}+\omega^2 x=0$ 对比，摆球角位移随时间并不按余弦函数规律变化，因此，单摆的摆动并不是简谐运动。只有在小角度摆动的情况下，由于 $\sin \theta \approx \theta$ ，单摆才近似做简谐运动。

单摆的等时性是在小角度摆动时的近似结论。理论计算表明，即使最大摆角达到 $15^{\circ}$ ，摆的实际周期与等时周期相差不超过千分之五。

> 只有在摆角足够小的情况下，单摆的摆动才可以近似看作简谐运动，其周期才满足公式 $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ，与振幅无关，是单摆的固有周期。在任意摆角的情况下，单摆周期 $T$与最大摆角 $\theta$ 的关系为：$T=T_0\left(1+\frac{1}{4} \sin ^2 \theta_{\max }+\frac{9}{64} \sin ^4 \theta_{\max }+\ldots\right)$（得出这一结果的参考文献，可通过＂单摆的周期与摆角的关系＂关键词检索查阅）。

## 本章总结与联系
1.定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆.(如图)
 ![图片](/uploads/2024-12/eca092.jpg)
 
2.简谐运动的条件: $\theta<5^{\circ}$.

3.回复力: $F=m g \sin \theta$.
4.周期公式： $T=$ $2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} .$
(1) 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2) $g$ 为当地重力加速度。
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长 $l$ 和重力加速度 $g$ ，与振幅和摆球质量 无关。

### 判断下面说法是否正确
1.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.（×）
2.单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定. $(\times)$
3.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，所受合力为零.$(\times)$

### 单摆的受力特征
(1)回复力: 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力, $F{ }_{\text {回 }}=m g \sin \theta=-\frac{m g}{l} x=$ $-k x$ ，负号表示回复力 $F_{\text {回}}$ 与位移 $ x $ 的方向相反，故单摆做简谐运动。
(2)向心力: 摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力, $F_{ T }$ $-m g \cos \theta=m \frac{v^2}{l}$ 。
(1)当摆球在最高点时, $v=0, F_{ T }=m g \cos \theta$.
(2)当摆球在最低点时， $F_{ T }$ 最大， $F_{ T }=m g+m \frac{v_{\max }{ }^2}{l}$ 。
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为 $g_{\text {月 }}$；单摆在电梯中处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度.

### 高考练习
`例`(多选)如图所示，房顶上固定一根长2.5 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点).打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球从最左端运动到最右端的时间可能为
 ![图片](/uploads/2024-12/0d3b1a.jpg)
A.0.4π s
B.0.6π s
C.1.2π s
D.2π s
解：小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期 $T_1=2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}=\pi s$ ，摆长为线长减去墙体长时对应的周期 $T_2=2 \pi \sqrt{\frac{l_1-l_2}{g}}=0.6 \pi s$ ，故小球从最左端到最右端所用的最短时间为 $t=\frac{T_1+T_2}{4}=0.4 \pi s$ ，根据运动的周期性得选项 A、C、D 正确.

`例`(多选)学校实验室中有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/4b1b7e.jpg)
A.甲、乙两单摆的摆球质量之比是1∶2
B.甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4
C.t＝1.5 s时，两摆球的加速度方向相同
D.3～4 s内，两摆球的势能均减少
解：单摆的周期和振幅与摆球的质量无关，无法求出甲、乙两单摆摆球的质量关系，A错误；由题图可知甲、乙两单摆的周期之比为 $1: 2$,根据单摆的周期公式 $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ 可知, 周期与摆长的二次方根成正比,所以甲、乙两单摆的摆长之比是 $1: 4$, B 正确;由加速度公式 $a=\frac{F_{\text {回 }}}{m}=\frac{-k x}{m}$ 可知， $t=1.5 s$ 时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，C 正确； $3 \sim 4 s$ 内，由题图可知两摆球均向平衡位置运动，动能均增加，则两摆球的势能均减少，D正确.

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