最后更新: 2025-05-13 08:47 查看: 1002 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

单摆及其周期公式

## 单摆及其周期公式
如图所示，将盛有细沙的漏斗吊在支架上，支架下方放一块硬纸板，漏斗静止时恰好位于直线 OO′ 的正上方。沿垂直 OO′ 的方向拉开漏斗，使悬线以较小的角度偏离竖直方向，释放漏斗后其在垂直于 OO′ 的方向上自由摆动。漏斗摆动的同时沿着 OO′ 的方向匀速拉动硬纸板。

![图片](/uploads/2025-01/c9f7dc.svg){width=300px}

每时每刻都会有细沙从漏斗中漏出落在硬纸板上，硬纸板上细沙的分布反映了各个时刻漏斗的位置。盛有细沙的漏斗相当于单摆的摆球，这条由细沙描绘的曲线显示了摆球的位置随时间变化的关系。将该曲线抽象为如图 所示的 x–t 图像，此图像与余弦函数的图像非常相似，由此可以初步猜想单摆的摆动也是一种简谐运动

![图片](/uploads/2025-01/506e3c.svg){width=400px}

## 单摆振动的原因
如图所示，将质量为 $m$ 的摆球从平衡位置 $O$ 拉到 $B$点。放手后，摆球在重力 $G$ 和拉力 $F_{ T }$ 的作用下在 $O$ 点两侧来回摆动。将重力 $G$ 沿圆弧的切线和半径方向分解，正是在重力沿圆弧切线方向的分力作用下，摆球才能在竖直平面内沿圆弧 $B C$ 往复运动。
 ![图片](/uploads/2025-01/34ce62.svg){width=300px}

摆球在任意位置所受重力沿切线方向分力的大小 $F=F_x=$ $m g \sin \theta, \theta$ 为摆线与坚直方向的夹角。当摆角很小时（如果 θ 很小，且用弧度制表示，θ 与 sinθ 的值近似相等；θ 所对应的弦长和弧长也近似相等。这时可近似认为摆球沿直线在平衡位置两侧振动。），$F$ 的方向近似指向平衡位置，力 $F$ 就是单摆的回复力；此时摆球相对于 $O$ 点的位移 $x$ 的大小，摆角 $\theta$ 对应的弧长和弦长三者几乎相等。因此 $\sin \theta$ 近似等于位移 $x$ 与摆长 $l$ 的比值。单摆的回复力

$$
F=-m g \frac{x}{l}=-k x
$$

在此近似下，单摆受到的回复力与其偏离平衡位置位移的大小成正比，方向始终指向平衡位置，符合简谐运动回复力的特征。由此可见，在摆角很小的情况下，可近似认为单摆的运动是一种简谐运动。

## 单摆做简谐运动的周期

1581 年，伽利略观察了悬挂着的蜡烛架的摆动。他用自己的脉搏计时后发现，虽然蜡烛架摆动的幅度越来越小，但是每次摆动所用的时间却大致相等，摆动的周期与振幅无关，这就是摆的等时性。虽然不少科学家认为，这可能只是一个传说，但伽利略确实对摆进行了深入的研究。他设计了一个脉搏仪，用标准长度的单摆来测量患者的脉搏。
单摆做简谐运动的周期与哪些因素有关？如何验证你的猜想？

通过上述实验我们发现，单摆做简谐运动的周期与摆球的质量无关，周期与摆长的二次方根成正比。

实际上，早在 17 世纪惠更斯就发现单摆做简谐运动的周期与摆长的二次方根成正比，与重力加速度的二次方根成反比，与振幅和摆球的质量无关，确定了单摆振动的周期公式

$$
\boxed{
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
}
$$

单摆的周期仅由摆长与当地的重力加速度大小决定，称为单摆的**固有周期**，相应的频率称

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