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高斯公式

## 高斯公式
格林公式表达出平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系，而高斯公式表达出空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分的关 系.

>通俗解释高斯公司。在[牛顿一莱布尼兹公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=328)里：他把曲线围成的面积转换为了曲线两头端点的计算，而与曲线中间形状无关，这就像高中学的重力作用，一个小球受到重力从$a$点下降到$b$,不管小球是自由落体下滑，还是沿着斜面下滑，甚至弯弯曲曲下滑，中间过程不重要，重力做的功仅与小球的始末位置有关，而且中间怎么走无关。
如果说牛顿一莱布尼兹是把二维面积的计算降维打击为一维曲线的计算，[高斯公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=433)则是把三维得体积的计算降维打击为二维的曲面的计算。

**定理**
设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的曲面 $\Sigma$ 围成，函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z)$ 、 $R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$
\boxed{
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S
}
$$

其中 $\Sigma$ 取外侧， $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向量 $n$ 的方向余弦.

证 如图 7-96，设 $\Sigma_1: z=z_1(x, y) ，(x, y) \in D_{x y}$ ，取下侧; 设 $\Sigma_2: z=z_2(x, y)$ $(x, y) \in D_{x y}$ ， 取上侧， $\Sigma_3$ : 以 $D_{x y}$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面的 一部分，取外侧.
一方面，由三重积分计算法，有

$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} v=\iint_{D_{y y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{D_{x y}}\left[R\left(x, y, z_2(x, y)\right)-R\left(x, y, z_1(x, y)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101b116d49.png){width=300px}

另一方面，由第二类曲面积分公式，有 $\iint_{\Sigma} R \mathrm{dxd} y=\left(\iint_{\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_2}+\iint_{\Sigma_3}\right) R \mathrm{dxdy}$

$$
\begin{aligned}
& =-\iint_{D_{y y}} R\left(x, y, z_1(x, y)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{N y}} R\left(x, y, z_2(x, y)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+0 \\
& \left.=\iint_{D_{w y}} R\left(x, y, z_2(x, y)\right)-R\left(x, y, z_1(x, y)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

故得到 $\iint_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial z} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ；同理可得， $\iiint_{\Omega} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x ， \iiint_{\Omega} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ， 因此 $\quad \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
在上面的证明中，我们有这样的条件假设，即穿过 $\Omega$ 内部且平行于坐标轴 的直线与 $\Omega$ 的边界曲面 $\Sigma$ 的交点恰好是两点，如果 $\Omega$ 不满足这样的条件，则可引 进若干个辅助曲面，将 $\Omega$ 分成有限个区域，使得每个区域满足这样的条件，并 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反，相加时其 和为零，就不难证明上述高斯公式仍然正确.

> 通过高斯公式，可以把复杂的三重积分转换为二重积分进行计算，当然也可以把二重积分转换为三重积分计算。通俗的说就是“从左到右”或“从右到左”进行变换。

## 格林公式的回顾
在高中学习过万有引力、静电场力等，这些力都是保守力，详见[麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879) ,而保守力做功最大的好处是与路径无关。

功的计算方式是：$W=\vec{F} \cdot \vec{r}$，力和位移都是矢量，有大小有方向，物体做了 $W$ 的功为

$$
\boxed{
\int_r \boldsymbol{F}(x,y) \cdot d \boldsymbol{r}
   }
$$

一般我们把力分解为沿坐标轴的方向， 设$i , j$ 分别是 $x , y $ 的二维坐标系单位，把他变换为标量形式
$\boldsymbol{F}(x,y)={P(x,y)i}+{Q(x,y)j}$

这样在二维空间里，如果物体因为力$F$从$a$运动到 $b$ ，位移了 $r$ ， 物体做了 $W$ 的功为：

$$
W=\int_r \boldsymbol{P}(x,y)dx +\boldsymbol{P}(x,y)dy +\boldsymbol{Q}(x,y)dx +\boldsymbol{Q}(x,y)dy
$$

但是，水平力在垂直方向上做功为零，所以$\boldsymbol{P}(x,y)dy=0$, 垂直力在水平方向上做功为零，所以$\boldsymbol{Q}(x,y)dx=0$,因此上式就又变成
$$
\boxed{
W=\int_L \boldsymbol{P}(x,y)dx +\boldsymbol{Q}(x,y)dy
}
$$

但是，这玩意计算太复杂了，

### 曲线积分的基本定理
若曲线积分 $\int_L F \cdot d r$ 在区域 $G$ 内与积分路径无关，则称向量场 $F$ 为**保守场**．
下面的定理给出了平面曲线积分与路径无关的另一种形式的条件，并为计算保守场中的曲线积分提供了一种简便的方法．

**曲线积分的基本定理** 设 $F (x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j$ 是平面区域 $G$ 内的一个向量场，若 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 都在 $G$ 内连续，且存在一个数量函数 $f(x, y)$ ，使得 $F=\nabla f$ ，则曲线积分 $\int_L F \cdot d r$ 在 $G$ 内与路径无关，且

$$
\boxed{
\int_L F \cdot d r =f(B)-f(A)
}
$$

其中 $L$ 是位于 $G$ 内起点为 $A$ ，终点为 $B$ 的任一分段光滑曲线．

证 设 $L$ 的向量方程为

$$
r=\varphi(t) i+\psi(t) j, \quad t \in[\alpha, \beta],
$$

起点 $A$ 对应参数 $t=\alpha$ ，终点 $B$ 对应参数 $t=\beta$ ．
由假设，$f_x=P, f_y=Q, P, Q$ 连续，从而 $f$ 可微，且

$$
 
\frac{d f}{d t}=f_x \frac{d x}{d t}+f_y \frac{d y}{d t}=\nabla f \cdot\left(\frac{d x}{d t} i+\frac{d y}{d t} j\right)=F \cdot \frac{d r}{d t}
 
$$

于是

$$
\int_L F \cdot d r =\int_\alpha^\beta F \cdot \frac{d r }{d t} d t=\int_\alpha^\beta \frac{d f}{d t} d t=\left.f[\varphi(t), \psi(t)]\right|_\alpha ^\beta=f(B)-f(A), ...(3.9)
$$

证毕．

> 这个定理表明，对于势场 $F$ ，曲线积分 $\int_L F \cdot d r$ 的值仅依赖于它的势函数 $f$ 在路径 $L$ 的两端点的值，而不依赖于两点间的路径，即积分 $\int_L F \cdot d r$ 在 $G$ 内与路径无关．也就是说：势场是保守场．

上面公式是与微积分基本公式

$$
\int_a^b f(x) d x=F(b)-F(a)
$$

（其中 $\left.F^{\prime}(x)=f(x)\right)$ 完全类似的向量微积分的相应公式，称为曲线积分的基本公式．
下图显示定积分公式和曲线积分公式的对比
 ![图片](/uploads/2025-01/4a28d5.jpg)

有了上面这个结论，最经典的，一个小球从A下落到B，不论是自由落体下落，还是沿着斜面下落，或者沿着曲面下落，中间怎么走的不重要，重力做功的大小只与A,B的起始位置有关，这样计算小球的速度就非常简单了，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=432)

## 高斯公式的物理意义
格林公式相当于从平面的角度研究做功问题，而高斯公式相当于从空间角度研究保守力问题。

> 本文从流体力学的角度进行简单介绍，详细了解本文可以参考[附录2：麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879)

①有一个长方体的游泳池，处于满水状态。泳池底部有一个注水孔。打开开关后，水会从泳池的顶部向外溢出来。根据直觉和经验，我们可以下一个结论：每秒钟，从加水孔流入的水的体积，一定等于每秒钟从顶部溢出去的水的体积。
 ![图片](/uploads/2025-01/7260b5.jpg){width=200px}

②有一段输水管，管中的水从左向右流动。取两个截面A，B。我们可以知道，每秒钟通过 $A$ 截面流入的水的体积，必定等于通过 $B$ 截面流出的水体积
 ![图片](/uploads/2025-01/8a3134.jpg){width=300px}

以上两个简单的例子，本质上来说，都在表达一种守恒：对于一个固定区域，每秒钟流入的水量，必定等于每秒流出的水量。高斯公式看似复杂难懂，但却朴素地表达着这种守恒的观点。

### 高斯公式各项的物理意义
高斯公式其实就是高斯把这两个例子所表达的那种守恒翻译成了数学语言。
我们以前文两个例子作为应用场景，话说有一个封闭区域（比如泳池，比如A，B截面以及管道围城的区域）的体积为 $\Omega$ ，这个区域内充满了水。围成这块区域的边界为 $\Sigma$（泳池的底，和四面墙以及顶部构成了边界 $\Sigma$ ），那么我们可以得出：

![图片](/uploads/2025-01/5a672c.jpg)

这便是高斯公式本式了，有体积分，有偏导，有曲面积分，乍一看很复杂。所以一部分一部分地研究。
第一部分表示把游泳池分成无数个无限小的区域，每个区域向外释放出的水的体积。
第二部分是一个体积分，对象为 $\Omega$ ，即整个游泳池，表示的意义就是把泳池中无数个无限小的区域向外释放的水的体积给全部加起来。
综上，等号左边表示的意义就是：泳池内部总的进水量。
第三部分是一个封闭曲面积分 ，对象为 $\Sigma$ ，即泳池的六个边界。表示的物理意义是，泳池通过边界向外泄露的水量。
所以，高斯公式就是在表达，泳池通过进水口的进水体积，等于通过泳池边界排出去的水的体积。
从这个角度来看，高斯公式很容易理解。

### 物理意义很简单，但为什么要这么写。
下面解释一下，上文中，高斯公式的三部分为什么那么写。
1.先从等号右边说起。
等号右边所代表的物理意义叫通量。通量是一个物理学上的概念，是强度与有效面积的乘积。

比如，高中所学的磁通量 $+\Phi=B \bullet S$ ， $B$就是磁感应强度， S 表示正对面积。
在日常生活以及流体力学中，我们通常把通量叫做流量。单位为L／S，也就是单位时间内流过的体积。
现在的问题是，如何计算水穿过复杂的边界 $\Sigma$ 流出去的体积。
先考虑简单的一维情况：
 ![图片](/uploads/2025-01/c776ef.jpg){width=250px}
 水的流速为 U ，单位时间内通过截面积 S 的体积为 $U \bullet S$ ，写成微分形式为 $U d S$ ，其中， S 表示正对的有效面积，也就是说，$S$ 与 $D$ 垂直。

一维情况很容易理解。如果考虑真实的三维情况，我们需要借助向量这个有利工具。
在三维情况下，水的流速并不是只朝着一个方向，而是沿着 $x, y, z$ 三个方向上都有分量，这三个分量可以设为 $U , V , W$ 。

上段说到，截面积为与速度垂直的有效面积，既然速度有三个方向的分量，那么速度垂直穿过的面积就有三个方向，分别为 $y z$ 平面，$x z$ 平面，$x y$ 平面。
 ![图片](/uploads/2025-01/73d936.jpg){width=300px}
 
在这三个平面上分别取微元 $S 1, S 2, S 3$ 。写成微分形式分别为 $dydz , dxdz , dxdy$ 。
所以，三维情况下，流量计算公式变为

$$
(U, V, W) \cdot(dydz, dxdz, dxdy)=Udydz+Vdxdz+Wdxdy
$$

积分后，便可得到通过边界 $\Sigma$ 的总流量：

$$
\oiint_{\Sigma} U d y d z+V d x d z+W d x d y
$$

再说说等号左边。

等号左边是一个体积积分，意思是说，把泳池分成了无数多份无限小的区域。对于每一个无限小区域，我们只需要求出其体积的相对变化量即可。
我们取一个正方体的无限小微团，其边长分别为 $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ ，三者相等。为了简化作图，我只考虑x轴方向上的一条边 $AB $，经过时间 $\Delta t$ 变为 $A ^{\prime} B ^{\prime}$ 。

![图片](/uploads/2025-01/ad1a26.jpg){width=300px}

水平速度 U 对 x 轴求偏导，得到速度沿水平方向上的变化率：$\frac{\partial U}{\partial x}$
上述变化率再乘以 AB 的原长 $\Delta x$ ，便可得到 B 相对于 A 的速度：$\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x$
上述速度乘以时间 $\Delta t$ ，便得到 B 相对于 A 的位移：$\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x \Delta t$
上述位移加上原长 $\Delta x$ ，便得到新的微团的长度：$\Delta x+\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x \Delta t$
同理，新的微团的宽度为：$\Delta y+\frac{\partial V}{\partial y} \Delta y \Delta t$
新的微团的厚度为：$\Delta z+\frac{\partial W}{\partial z} \Delta z \Delta t$
所以，新微团的体积变为

$$
\left(\Delta x+\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x \Delta t\right)\left(\Delta y+\frac{\partial V}{\partial y} \Delta y \Delta t\right)\left(\Delta z+\frac{\partial W}{\partial z} \Delta z \Delta t\right)
$$

减去原微团的体积，得到相对体积变化量：

上述相对体积变化量除以原微团体积，得到相对体积变化率：

$$
\frac{\left(\Delta x+\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x \Delta t\right)\left(\Delta y+\frac{\partial V}{\partial y} \Delta y \Delta t\right)\left(\Delta z+\frac{\partial W}{\partial z} \Delta z \Delta t\right)-\Delta x \Delta y \Delta z}{\Delta x \Delta y \Delta z}
$$

这个变化率还要除以时间 $\Delta t$ ，便得到单位时间内的相对体积变化率：

上述结果化简后便得到 $\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}$
所以，对于每一个无限小的微团，单位时间内，其体积的相对变化为：

$$
\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}
$$

对上述结果进行体积分，便得到单位时间内整个泳池内部所有微团产生的体积之和，即为高斯公式左边部分。

上述是高斯公式左半部分的详细推导过程，看看即可，并不要求推导。
因为，有一个现成的概念：散度

微积分课程上提到过三个类似的概念，分别为梯度，散度，旋度 。这三个概念中都含有哈密顿算 $子  \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ ，是一个矢量。

对一个向量 $(u, v, w)$ ，取散度，应该为 $\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \bullet(U, V, W)$ ，
两个向量点乘，应该得一标量，上式结果为：

$$
\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}
$$

这坨东西就叫做散度 。
散度所表达的意思就是：对一个无限小的微团，内部通过微团的边界向外界释放，流出的流量。
这就是散度的最基本的定义。
对上述散度求体积分，便得到高斯公式等号左边的内容。
综上：高斯公式等号左边表达的意思就是：把泳池分成无数多个无限小的区域。把每个区域向外释放的水的体积加起来，得到的总量，就是通过进水口向泳池进水的体积。

结合本节1，2两部分，可以知道，高斯公式在阐述：
通过泳池的进水口流进泳池的水，等于通过泳池边界漏出去的水。

注：上面的解释改编自[知乎答复](https://www.zhihu.com/question/326568092/answer/860302644)

`例` 计算曲面积分

$$
I=\iint_{\Sigma}(x-y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ，
$$

其中 $\Sigma$ 是由三个坐标面及平行于坐标面的平面 $x=a 、 y=a 、 z=a(a>0)$ 所围成 的正方体的外表面.
解：（根据高斯公式，从右到左进行计算，也就是把二重积分转换为三重积分） 令 $P(x, y, z)=(x-y z), Q(x, y, z)=(y-x z), R(x, y, z)=(z-x y)$,
则 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=3$ ，由高斯公式，得

$$
I=\iiint_{\Omega}^{-} 3 \mathrm{~d} v=3 \iiint_{\Omega}^{-} \mathrm{d} v=3 a^3 .
$$

`例`计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, 其中 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 及 平面 $z=0, z=3$ 所围成的空间闭区域 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧 (见图 7-97).
解 $P=(y-z) x, Q=0, R=x-y, \frac{\partial P}{\partial x}=y-z, \frac{\partial Q}{\partial y}=0, \frac{\partial R}{\partial z}=0$,
利用高斯公式，得

$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{\Omega}(y-z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega}(r \sin \theta-z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{d} z \\
& =\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 \mathrm{~d} r \int_0^3(r \sin \theta-z) r \mathrm{~d} z=-\frac{9 \pi}{2} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/e3ad3a.jpg){width=300px}

`例`求 $\iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma: z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ ， 取上侧.
解 取 $\Sigma_1: z=0\left(x^2+y^2 \leq a^2\right)$ 的下侧， $\Sigma$ 及 $\Sigma_1$ 所围区域为 $\Omega ， \Omega$ 在 $x O y$ 面 上的投影区域为 $D: x^2+y^2 \leq a^2$ ，

$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&= \iint_{\Sigma+\Sigma_1}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y- \\
& \iint_{\Sigma_1}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&=\left.\iiint_{\Omega} 2(x-z) \overline{\mathrm{d} v-(-)} \bar{\int} \int_D(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)=-2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{zd} v+\iint_D \overline{\mathrm{d}} \overline{\mathrm{d}} \mathrm{d} \mathrm{d} y
\end{aligned}
$$

$$
\begin{gathered}
\iint_{\Sigma}\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^2-2 y z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-2 x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v+\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
=-2 \int_0^a z \mathrm{~d} z \iint_{D=} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\pi a^2=-2 \int_0^a \pi\left(a^2-z^2\right) z \mathrm{~d} z+\pi a^2=-\frac{\pi}{2} a^4+\pi a^2=\frac{\pi a^2}{2}\left(2-a^2\right) .
\end{gathered}
$$

`例`计算 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ， 其中 $\Sigma: z=\sqrt{x^2+y^2}$ $(0 \leq z \leq h)$ 取下侧， $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向量 $n$ 的方向余弦 解 引入平面 $\Sigma_1: z=h\left(x^2+y^2 \leq h^2\right)$ ，取上侧.

解：
$$
\begin{aligned}
I & =\iint_{\Sigma}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\
& =\iint_{\Sigma+\Sigma_1}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S-\iint_{\Sigma_1}\left(x^2 \cos \alpha+y^2 \cos \beta+z^2 \cos \gamma\right) \mathrm{d} S \\
& =2 \iiint_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v-\iint_{D_w} h^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v-h^2 \cdot \pi h^2 \\
& =2 \int_0^h z \pi z^2 \mathrm{~d} z-\pi h^4=\frac{\pi h^4}{2}-\pi h^4=-\frac{\pi h^4}{2} .
\end{aligned}

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