最后更新: 2025-02-24 10:20 查看: 522 次反馈同步训练

密度函数与分布函数

> 初学概率的人，遇到的第一个抽象概念就是密度函数和分布函数，对于初学者来讲，“概率密度”可能是最不友好的一个概念，直接谈概率不行吗，好好的为什么要搞出一个“密度函数”？的确，没有太多数理基础，这个概念着实不太好理解，我们先从两个引例来引入：

## 密度函数

### 均匀分布的密度函数
均匀分布应该是比较容易理解的一种分布，比如数轴上有一段起点为$a$终点为$b$的线段，那么他的长度就为$(b-a)$,我们随机抛一个点在数轴上，落在ab之间的概率就是$\frac{1}{b-a}$, 我们可以写出他的密度函数，如下就是均匀分布的密度函数：

$$
p(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

既然是函数，我们就可以把初高中所学的那套知识拿来用了。既然是函数他就必须有**定义域**和**值域**，显然定义域是$a<x<b$,值域为$\frac{1}{b-a}$,有了定义域和值域就可以画出他的函数图像，如下图

![图片](/uploads/2024-11/6f1507.jpg){width=300px}

这张图是一个常值的分段函数，因此，通过密度函数，就可以知道$x$在个点的概率都相同且为$\frac{1}{b-a}$。

**到这里，你也许能明白，数学是一个抽象的学科，他把现实世界对应的物理现象转换为了数学问题进行研究。**， 而**密度函数**可以认为是概率问题和数学问题之间连接的桥梁。

### 正态分布的密度函数
不是每个函数的密度都很容易写出，比如正态分布的密度函数，我们在高中学过很多事物呈现正态分布，比如初中生的身高，很多都集中在 $170-175$之间，低于160或者高于180的都比较少。

正态分布的概率密度函数的定义为：
$$
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, \quad-\infty<x<\infty,
$$

他是一条中间高、两边低的“钟形曲线”，这条曲线就是正态分布的概率密度曲线。通过概率密度曲线，可以很容易看出随机事件出现的概率密度趋势，比如从正态分布图可以看到中间的概率容易发生，两侧的概率发生率较低。
 ![图片](/uploads/2024-11/722b38.jpg){width=300px}

这里你也可以通过**区间**的角度来理解概率密度曲线：曲线越高，也就代表着这个区间的概率越密集，简单理解成在同样大小的房子里，这个房间的人数更多、更挤。

总之，通过密度函数，我们把社会现实问题数学好，通过数学知识研究概率，这是高等数学和初等数学主要的区别。

### 离散型密度函数
离散型概率密度函数，其实不叫概率密度函数，离散型的就叫概率函数，一般也叫：概率质量函数，这个函数是用来求离散型随机变量，他通常使用列表求出。

`例`扔一枚质地均匀的硬币，正面、反面朝上的概率均为： $1 / 2$
设：朝上的面为随机变量$X$  则 $X$ 的结果有：正面、反面
设: $X$ (正面) $=0, X$ (正面) $=1$
则 $X$ 的取值为: $X\{0,1\}$
所以，求 $(X=$ 正面)的概率，写成: $P(X=0)=1 / 2$
所以，求 $(X=$ 反面)的概率，写成: $P(X=1)=1 / 2$
于是，可以得到一个概率分布表如下
 ![图片](/uploads/2024-11/9e6e2b.jpg)

### 连续性密度函数
连续型概率函数才叫：概率密度函数。为什么叫密度？由于连续型变量的取值是一个实数区间，如果把这个区间均分成多少份，则可无限细分下去 比如[0,1]，如果按每段0.1，分成10段; 如果按每段0.01，则可分成100段; 如果按每段0.001，则可分成1000段;再往小了分，则每段越细，就像头发一样，越来越密,可以无限制的细分下去，于是叫密度函数

`例` 比如某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一班车, 即 7:00、7:15、7:30、7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站的时间 $X$ 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于 5 分钟的概率，这就是一个连续概率问题。

> 我们认为概率论很多概念比较难懂，就是因为他把离散型和连续型两种类型的研究糅合在了一起。事实上离散型和连续性本身研究方法有很大差别。

## 分布函数 
**定义**：给一个随机变量 $X$ ，对任意实数 $x \in(-\infty,+\infty)$ 称函数 $F(x)=P(X \leq x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数.

根据定义可以知道，对于$a<b$ 的实数，有

$$
\boxed{
P(a<X \leq b)=P\left(X \leqslant b\right)-P\left(X \leqslant a\right)=F(b)-F(a) ...(1)
} 
$$

因此，若已知 $X$ 的分布函数，则能知道 $X$ 落在任一区间 $\left(a, b\right]$ 上的概率。从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

如果将 $X$ 视为数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数 $F(x)$ 在 $x$ 处的函数值就表示 $X$ 落在区间 $(-\infty, x]$ 上的概率。

由分布函数的定义可知，既然是函数，就要有定义域与值域。分布函数具有如下基本性质.
### 分布函数的性质

**(1) 单调性** $F(x)$ 是定义在整个实数轴 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调非降函数, 即对任意的 $x_1<x_2$,有 $F\left(x_1\right) \leqslant F\left(x_2\right)$ ；
**（2）有界性** 对任意的 $x$, 有 $0 \leqslant F(x) \leqslant 1$, 且

$$
\begin{aligned}
& F(-\infty)=\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)=0 \\
& F(+\infty)=\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=1
\end{aligned}
$$

几何解释：当区间端点 $x$ 沿数轴无限向左移动 $(x \rightarrow-\infty)$ 时，" $X$ 落在 $x$ 左边" 这一事件趋于不可能事件，故其概率 $P(X \leqslant x)=F(x)$ 趋于 0 ；又若 $x$ 无限向右移动（ $x \rightarrow+\infty$ ）时，事件" $X$ 落在 $x$ 右边"趋于必然事件，从而其概率 $P(X \leqslant x)=F(x)$ 趋于 1 。
**（3）右连续性** $F(x)$ 是 $x$ 的右连续函数, 即对任意的 $x_0$, 有

$$
\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} F(x)=F\left(x_0\right) .
$$

证略。
以上三条基本性质是分布函数必须具有的性质，反过来可以证明，任一满足这三个性质的函数, 一定可以作为某个随机变量的分布函数.

`例` 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数.
(1) $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x<-2 \\ \frac{1}{2}, & -2 \leqslant x<0 \text { ； } \\ 1, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ ；
(2) $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x<0 \\ \sin x, & 0 \leqslant x<\pi \\ 1, & x \geqslant \pi\end{array}\right.$;
(3) $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x<0 \\ x+\frac{1}{2}, & 0 \leqslant x<\frac{1}{2} \\ 1, & x \geqslant \frac{1}{2}\end{array}\right.$.

解 (1) 由题设, $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调不减, 右连续, 并有

$$
F(-\infty)=\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)=0, \quad F(+\infty)=\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=1,
$$

所以 $F(x)$ 是某一随机变量 $X$ 的分布函数.
（2）因为 $F(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调下降, 所以 $F(x)$ 不可能是分布函数.
(3) 因为 $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调不减, 右连续, 且有

$$
F(-\infty)=\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)=0, \quad F(+\infty)=\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=1,
$$

所以 $F(x)$ 是某一随机变量 $X$ 的分布函数.

上面主要讨论了随机变量的概念及分布函数, 利用随机变量可以描述和研究随机现象,而利用分布函数能很好地表示各事件的概率. 并且可以推导下面几个有用的公式

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& P\{X>a\}=1-P\{X \leqslant a\}=1-F(a), \\
& P\{X<a\}=F(a-0), \\
& P\{X=a\}=F(a)-F(a-0) .
\end{aligned} ...(2)
}
$$

在引进了随机变量和分布函数后，就能利用高等数学的许多结果和方法来研究各种随机现象, 它们是概率论的两个重要而基本的概念.

> 请注意：分布函数的定义对离散型和连续型都适用。

## 再论为啥引入分布函

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