最后更新: 2024-10-26 16:20 查看: 518 次反馈刷题

随机事件之间的关系与运算

## 随机事件之间的关系与运算

### （1）事件的包含
若事件 $A$ 的发生必然导致事件 $B$ 的发生，则称事件 $A$ 包含在事件 $B$ 中.
记作 $A \subset B$.

> $A \subset B$ 我们把 “$\subset$” 看成代数式里的小于号 “$ < $” 更容易记忆。

例如，掷两粒軗子. 记

$$
\begin{aligned}
& A=\{\text { 掷出的点数之和大于或等于 } 11\} \\
& B=\{\text { 至少有一粒股子郑出 } 6\}
\end{aligned}
$$

若事件 $A$ 发生, 易见 $B$ 非发生不可, 故 $A$ 包含于 $B$.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103e4157ec.png)

### (2) 事件的相等
若事件 $A$ 的发生必然导致事件 $B$ 的发生，且事件 $B$ 的发生必然导致事件 $A$ 的发生， 则称事件 $A$ 与事件 $B$ 相等。
记作 $A=B$.

例如 掷两颗骰子, 以 $A$ 记事件 "两颗骰子的点数之和为奇数", 以 $B$ 记事件 "两颗骰子的点数为一奇一偶"，很容易证明： $A$ 发生必
然导致 $B$ 发生，而且 $B$ 发生也必然导致 $A$ 发生, 所以 $A=B$.

### (3) 互不相容事件
如果事件 $A$ 与 $B$ 不可能同时发生，即没有相同的样本点，则称事件 $A$ 与 $B$ 互不相容 (互斥).
如在电灯泡的寿命试验中, "寿命小于 1 万小时" 与 "寿命大于 5 万小时" 是两个互不相容的事件, 因为它们不可能同时发生.

## 事件的运算

### 事件的并
事件 $A$ 或 $B$ 至少有一个发生时，称事件 $A$ 与事件 $B$ 的并事件发生，记为 $A \cup B$ 或 $A+B$.

例如在掷一颗骰子的试验中, 记事件 $A=$ "出现奇数点" $=\{1,3,5\}$, 记事 件 $B=$ "出现的点数不超过3" $=\{1,2,3\}$, 则 $A$ 与 $B$ 的并为 $A \cup B=\{1,2,3,5\}$.

![图片](/uploads/2024-10/59c0e2.jpg)

###  事件的交（积）
事件 $A$ 及事件 $B$ 同时发生时，称事件 $A$ 与事件 $B$ 的交事件发生，记为 $A \cap B$ 或$AB$.

如在掷一颗骰子的试验中, 记事件 $A=$ "出现奇数点" $=\{1,3,5\}$, 记事件 $B=$ "出现的点数不超过 $3^{\prime \prime}=\{1,2,3\}$, 则 $A$ 与 $B$ 的交为 $A B=\{1,3\}$.

若事件 $A$ 与 $B$ 互不相容, 则其交必为不可能事件, 即 $A B=\varnothing$, 反之亦然. 这表明: $A B=\varnothing$ 就意味着 $A$ 与 $B$ 是互不相容事件.

事件的并与交运算可推广到有限个或可列个事件，譬如有事件 $A_1, A_2, \cdots$ ，则 $\bigcup_{i=1}^n A_i$称为有限并, $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 称为可列并, $\bigcap_{i=1}^n A_i$ 称为有限交, $\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i$ 称为可列交.

![图片](/uploads/2024-10/7dd88c.jpg)
 
 
###  事件的差
事件 $A$ 发生且事件 $B$ 不发生，称事件 $A$ 与事件 $B$ 的差事件 发生，记为 $A-B$.

例如在掷一颗骰子的试验中, 记事件 $A=$ "出现奇数点" $=\{1,3,5\}$, 记事件 $B=$ "出现的点数不超过 $3^{\prime \prime}=\{1,2,3\}$, 则 $A$ 对 $B$ 的差为 $A-B=\{5\}$.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301030fb889e.png)

### 对立事件
事件 $\Omega-A$ 称为事件 $A$ 的对立事件 (逆、余)，记为 $\bar{A}$.

如在掷一颗骰子的试验中, 事件 $A=$ "出现奇数点" = $\{1,3,5\}$ 的对立事件是 $\dot{A}=\{2,4,6\}$, 事件 $B=$ "出现的点数不超过 $3^{\prime \prime}=\{1,2,3\}$ 的对立事件是 $\bar{B}=\{4,5,6\}$.
$A$ 与 $B$ 互为对立事件的充要条件是: $A \cap B=\varnothing$, 且 $A \cup$ $B=\Omega$.

此性质也可作为对立事件的另一种定义, 即如果事件 $A$ 与 $B$ 满足: $A \cap B=\varnothing$, 且 $A \cup B=\Omega$, 则称 $A$ 与 $B$ 互为对立事件, 记为 $\bar{A}=B, \bar{B}=A$.需要注意的是：
(1) 对立事件一定是互不相容的事件, 即 $A \cap \bar{A}=\varnothing$. 但互不相容的事件不一定是对立事件.
(2) $A-B$ 可以记为 $A \bar{B}$.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103be22f40.png)

> 对立事件是生活中常见的一种重要的事件，比如产品的“合格”与“不合格”，考试得“通过”与“不通过”，投保时，“中标”与“未中标”等等都是二元的对立事件。

![图片](/uploads/2023-01/image_202301038f65a8a.png)

## 事件的运算性质
从集合角度看，这些性质与高中学的集合是一样的，此处不再证明，具体可以参见[高中集合](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=94)。

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