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双曲线
日期:
2023-05-25 20:46
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### 双曲线历史 双曲线的定义为两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹（Hyperbola）。 “双曲线”一词源于希腊用语，意为“过度抛出”，英语术语由此而派生。 双曲线这个术语被认为是由阿波罗尼奥斯在他的权威著作《圆锥截面的圆锥曲线论》提出，另外两个圆锥截面的名称是椭圆和抛物线，其本意为“不足”和“应用”； 这三个名字都是从早期的毕达哥拉斯术语中借用的，毕达哥拉斯术语指的是固定面积的矩形边与给定线段的比较。矩形可以“应用于”该段(即，具有相等的长度)，比该段短或超过该段 ### 双曲线的标准方程 在解析几何里，双曲线的定义是：对于平面内的一个点 $P$，它距离两个定点$F_1, F_2$的差为固定值（2a）的集合。 用公式表示就是，参考下图 $$ S=\left\{P:|| P F_2|-| P F_1 \|=2 a\right\} $$  下面来推导双曲线的方程： 如下图建立$xOy$坐标系，  设 $P(x, y)$ 是双曲线上一点, 则 ||$P F_1 \mid-$ $\left|P F_2\right| \mid=2 a$, 因为 $\left|P F_1\right|=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\left|P F_2\right|=1$ , 所以 $$ \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}= \pm 2 a . $$ 得 $$ \frac{(x+c)^2+y^2-\left[(x-c)^2+y^2\right]}{\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}}= \pm 2 a, $$ 整理得 $$ \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}= \pm \frac{2 c}{a} x . $$ 两式相加整理得 $$ \sqrt{(x+c)^2+y^2}= \pm\left(a+\frac{c}{a} x\right), $$ 将上式平方, 再整理得 $$ \frac{c^2-a^2}{a^2} x^2-y^2=c^2-a^2 . $$ 因为 $c>a>0$, 所以 $c^2-a^2>0$, 设 $$ c^2-a^2=b^2 $$ 且 $b>0$, 则上式可化为 $$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0) . $$ 这就是双曲线的标准方程。 ### 离心率 同椭圆的情形一样, 双曲线的半焦距与半实轴长之比 $$ e=\frac{c}{a} $$ 称为双曲线的离心率. 因为 $c>a>0$, 所以可以看出 $e>1$. 另外, 注意到 $$ \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{a}=\sqrt{\frac{c^2-a^2}{a^2}}=\sqrt{e^2-1}, $$ 这说明 $e$ 越趋近于 1 , 则 $\frac{b}{a}$ 的值越小, 因此双曲 线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.  ### 渐近线 对于标准双曲线，其渐近线方程为 $y=\frac{b}{a} x$ 与直线 $y=-\frac{b}{a} x$  ### 圆形准线 如果$c_2$其半径为$2a$,那么一个点的距离$P$到圆的分支$c_2$等于到焦点$F_1$ ，即 $|PF_1|=|Pc_2|=a$ $c_2$被称作圆形准线。（请不要和椭圆准线混淆）  ### 形如y=1/x 的双曲线 如果将反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图形逆时针旋转$45^\circ$,则可以得到 $$ x=\frac{\xi+\eta}{\sqrt{2}}, y=\frac{-\xi+\eta}{\sqrt{2}} $$  ### 双曲线的准线 定义 $d=\frac{a^2}{c}$ 为双曲线的准线。 对于双曲线来说，焦点的距离和到相应准线的距离的商等于偏心率e，参考下图 $$ \frac{\left|P F_1\right|}{\left|P l_1\right|}=\frac{\left|P F_2\right|}{\left|P l_2\right|}=e=\frac{c}{a} . $$  这一特性源于这样一个事实 $\left|P F_1\right|^2=(x-c)^2+y^2,\left|P l_1\right|^2=\left(x-\frac{a^2}{c}\right)^2$ 和 $y^2=\frac{b^2}{a^2} x^2-b^2$ 满足等式 $$ \left|P F_1\right|^2-\frac{c^2}{a^2}\left|P l_1\right|^2=0 . $$ 这个公式反向也是正确的， 这也让我们可以这样定义双曲线：对于任何一点 $F$ (焦点)，任何一行 $l$ (准线) 不通过 $F$ 和任何实数 $e$ 随着 $e>1$ 点到点和点到直线的距离 的商为的点集$e$的集合，既 $$ H=\left\{P \mid \frac{|P F|}{|P l|}=e\right\} $$ 是一条双曲线。 (如果 $e=1$ 则是拋物线，如果 $e<1$是一个椭圆.)，参考下图  ### 圆锥曲线方程 $$ \rho=\frac{e p}{1+e \cos \theta} $$ 当 $e>1$ 时，表示双曲线。其中 $p$ 为焦点到准线距离， $\theta$ 为弦与 $x$ 轴夹角。 ### 双曲线的参数方程 如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。左右开口的双曲线: $$ \left\{\begin{array}{l} x=a \sec t+h \\ y=b \tan t+k \end{array}\right. $$ 或 $$ \left\{\begin{array}{l} x=a \cosh t+h \\ y=b \sinh t+k \end{array}\right. $$ 上下开口的双曲线: $$ \left\{\begin{array}{l} x=b \tan t+h \\ y=a \sec t+k \end{array}\right. $$ 或 $$ \left\{\begin{array}{l} x=b \sinh t+h \\ y=a \cosh t+k \end{array}\right. $$ 在所有公式中， $(h, k)$ 是双曲线的中点， $a$ 是半实轴而 $b$ 是半虚轴。 ### 极坐标 左右开口的双曲线: $$ r^2=a^2 \sec 2 \theta $$ 上下开口的双曲线: $$ r^2=-a^2 \sec 2 \theta $$ 上右下左开口的双曲线: $$ r^2=a^2 \csc 2 \theta $$ 上左下右开口的双曲线: $$ r^2=-a^2 \csc 2 \theta $$ 在所有公式中，中心在极点，而 $a$ 是半实轴和半虚轴。
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