最后更新: 2025-02-13 21:32 查看: 460 次反馈刷题

随机变量的定义

## 引言

许多随机试验的结果与**实数**密切联系,  也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系，但是我们可以通过映射让它与实数关联。
比如扔硬币，规定正面向上为1，反面向上为0，那么扔两次的结果就是：
$\Omega=\{00,01,10,11\}$
如果以$X$记正面向上的次数，那么上面样本空间里$00$表示两次反面朝上一共出现了$0$次，$01$和$10$表示一个正面朝上的次数，一共出现了2次可以用$2$表示，$11$表示两次正面朝上，一共出现了1次，可以用$1$表示，这样样本空间就可以写成
$X(\omega)=\{0,2,1\}$ 通过简单的“映射”，我们把试验的结果转换为了实数轴$R$上的函数。

再如公交车每隔5分钟来一次，那么一个人到公交车站台等车的时间就是
$\Omega=\{ 0 \leq x \leq 5 \}$
可以直接把上面的等车时间映射为实数轴$R$上的函数
$X(\omega)=\{ 0 \leq x \leq 5 \}$

在上面这两种映射里，这仅是映射的一种方式，就像扔硬币，你也可以映射“扔两次结果一样”的记做1，”扔两次结果不一样”的记做0，都是可以的，这不重要，**重要的是他都可以映射为定义域为实数的函数**。

>为什么要做映射？因为数学喜欢研究抽象的。就像小时候学习，2个苹果加3个梨等于5个水果，我们抽象出$2+3=5$, 这样再遇到 2个橘子加3个香蕉就知道等于5个水果。

再如在一次民意调查中，我们调查 50 个人对某个事情的态度是支持（1）还是反对（0）。那么按照古典概型的处理方式，所有可能的结果有 $2^{50}$ 个，这是非常大的一个数字。但是如果我们用 $X=\{1$ 的个数 $\}$ ，则 $X$ 的可能取值为 $\{0,1, \cdots, 50\}$ ，这样处理起来就比原来的概率结构要方便多了．

下面我们在通过一个例子来引入随机变量的概念.

## 例题
`例`抛郑一颗均匀的股子，出现的点数$X$的取值样本空间 $=\{$ 正面朝上，反面朝上\}, 样本空间不是一个数字集. 但是我们可以人为地把试验结果和实数对应起来.令
 ![图片](/uploads/2024-11/f5eaf0.jpg)
 这样，就可以把试验结果和实数集映射起来了，即
 $\{X=1\}=\{$ 正面向上 $\},\{X=0\}=\{$ 反面向上 $\}$
  
这里也表明：一个随机变量是从样本空间 $\Omega$ 到实数轴的一个（映射）函数

### 随机变量的定义
在随机试验E中， $\Omega$ 是相应的样本空间，如果对 $\Omega$ 中的每一个样本点 $\omega$ ，有唯一一个实数 $X(\omega)$ 与它对应，那么就把这个定义域为 $\Omega$ 的单值实值函数$X=X(\omega)$ 称为是 (一维) 随机变量.

随机变量一般用大写字母 $X, Y, Z$ 表示.
引进随机变量后，随机事件及其概率可以通过随机变量来表达.

- 如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值，则称其为**离散型随机变量**。
- 如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间（或某几个区间的并），则称其为**连续型随机变量**。

离散型随机变量：可能取值是可数有限个或可列无穷多个。
例如：火灾发生的次数、120电台电话被呼叫次数、骰子点数等

连续型随机变量：是指可能值可以连续的充满某个空间。
例如：灯泡的寿命、等车的时间等等。

如果从函数的角度看，简单的说，**离散型的取值是整数，而连续型的取值是实数。**

## 随机变量举例
随机变量$X$是样本点的函数，这个函数的自变量是样本点，可以是数，也可以不是数，定义域是样本空间，而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数，也可以让多个样本点对应于一个实数。

`例`检查三个产品看看每个产品是否合格，每个产品有合格和不合格两种可能，这样三个产品就有8种可能，即有 8 个样本点, 若记 $X$ 为 “三个产品中的不合格品数”, 则 $X$的取值与样本点之间有如下对应关系:

![图片](/uploads/2024-11/379f82.jpg)

这样 $X$ 取各种值就是如下的的事件：
$\{X=0\}=\left\{\omega_1\right\}$
$\{X=1\}=\left\{\omega_2, \omega_3, \omega_4\right\},$
$\{X=2\}=\left\{\omega_5, \omega_6, \omega_7\right\}$
$\{X=3\}=\left\{\omega_8\right\}$

有了随机变量，我们就可以知道，不合格超过1次的概率就是$P(X>1)$。

`例`在数轴上的有界区间 $[a, b]$ 上等可能地投点, 记 $X$ 为落点的位置（数轴上的坐标）， 因为等可能的投点在$[a,b]$区间，如果用$X$表示落点的位置，那么就可以直接把$X$映射为实数上的点。

> 注意：在概率论里通常是“约定大于配置”，比如我们常用大写字母如 $X, Y, Z, W, \cdots$ 表示随机变量, 而用小写字母如 $x, y, z, w, \cdots$ 表示其取值.当描述一个随机变量时, 不仅要说明它能够取哪些值, 而且还要指出它取这些值的概率。只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量。

## 再论为什么引入随机变量的概念
 
关于随机变量（及向量）的研究，是概率论的中心内容。这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量。当然，有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件。

例如，在特定一群人中，年收入十万元以上的高收入者, 年收入在 3000 元以下的低收入者，各自的比率如何，这看上去像是两个孤立的事件。可是，若我们引进一个随机变量的
$X=$ {随机抽出一个人其年收入} 
则 $X$ 是我们关心的随机变量.

上述两个事件可分别表为 $\{X > 100000\}$ 和 $\{X<3000\}$. 这就看出: 随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念之内. 也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象, 而随机变量则是一种动态的观点, 一如数学分析中的常量与变量的区分那样。变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念. 同样, 概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系,其基础概念是随机变量.

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