最后更新: 2025-05-01 18:05 查看: 321 次反馈刷题

联合分布函数

### 引入
**例①** 联合分布是指一个事件受到多个因素控制，比如判断一个孩子的健康需要考虑：身高和体重两个维度，我们就说“身高”和“体重”这两个参数联合起来共同决定了孩子的健康程度，后面还会有一个边缘分布，他只有一个参数决定。

**例②** 射靶，如果以靶心为原点建立直角坐标系，那么靶点落的位置则是有$(X,Y)$共同决定。
上面这两个引例都告诉我们，现实世界很多事情是由多个参数来决定，因此，引入多维联合分布。

## 二维联合分布

**定义1** 如果 $X=X(\omega), Y=Y(\omega)$ 是定义在同一个样本空间 $\Omega=\{\omega\}$ 上的两个随机变量，则称 $(X(\omega), Y(\omega))=(X, Y)$ 为定义在 $\Omega$ 上的**二维随机变量**。

**定义2** 设 $(X, Y)$ 是二维随机变量, 对任意实数 $x 、 y$, 二元函数

$$
F(x, y)=P(X \leqslant x, Y \leqslant y)
$$

称为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数或随机变量 $X$ 和 $Y$ 的**联合分布函数**.

###  离散型联合分布函数求法

`例`袋中有一个红色球，两个黑色球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以 $X, Y, Z$ 分别表示两次取球的红，黑，白球的个数．
（1）求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
（2）求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布．

解（1）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1 个红球， 2 个黑球有放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以

$$
P\{X=1 \mid Z=0\}=\frac{C_2^1 \times 2}{3^2}=\frac{4}{9} .
$$

（2）$X, Y$ 取值范围为 $0,1,2$ ，故

$$
\begin{aligned}
& P\{X=0, Y=0\}=\frac{C_3^1 \times C_3^2}{6^2}=\frac{1}{4}, \\
& P\{X=1, Y=0\}=\frac{C_2^1 \times C_3^1}{6^2}=\frac{1}{6}, \\
& P\{X=2, Y=0\}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}, \\
& P\{X=0, Y=1\}=\frac{C_2^1 \times C_2^1 \times C_3^1}{6^2}=\frac{1}{3}, \\
& P\{X=1, Y=1\}=\frac{C_2^1 \times C_2^1}{6^2}=\frac{1}{9}, \quad P\{X=2, Y=1\}=0, \\
& P\{X=0, Y=2\}=\frac{C_2^1 \times C_2^1}{6^2}=\frac{1}{9}, \quad P\{X=1, Y=2\}=0, \\
& P\{X=2, Y=2\}=0 .
\end{aligned}
$$

最后列表可得

![图片](/uploads/2025-05/d8a345.jpg)
 
 
### 连续型联合分布的数学定义
联合分布用数学语言可以表示为：

对于二维随机变量 $\xi =(X, Y)$, 如果存在非负函数 $p(x, y)(-\infty<x<\infty,-\infty<y<\infty)$, 使对任意 $a<b, c<d$ 及 $D=\{(x, y): a<x<b, c<y<d\}$ 有

$$
P((X, Y) \in D)=\iint_D p(x, y) d x d y
$$

则称随机变量 $\xi=(X, Y)$ 为连续型的, 并称 $p(x, y)$ 为 $\xi$ 的分布密度, 也称 $p(x, y)$ 为 $(X, Y)$ 的联合分布密度 (简称联合密度)。

续型随机变量属于更一般的平面子集 $D$ 的概率为

$$
P((X, Y) \in D)=\iint_D p(x, y) d x d y
$$

##  联合分布的几何解释

我们容易给出分布函数的几何解释：如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数 $F(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方的无穷矩形域内的概率，如下图3-1所示．
 
  ![图片](/uploads/2025-02/0c7343.jpg)
 
> **对于联合分布，用通俗语言理解是，例如用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布  $F(170,60)=P(X \leqslant 170, Y \leqslant 60)$ 表示的是：身高低于170cm，体重低于60kg的学生的分布。这句话还可以正面解释为求：身高在$(-\infty,170)$ 与 体重在 $(-\infty,60)$ 的学生的分布。**

因此，给出一个点$(X,Y)$，求他的联合分布，其实表示的该点“**左边下边**”所围成的面积（参考图3-1阴影部分面积）。
 
 
根据以上的几何解释，借助于图3-2，我们可以计算出随机点 $(X, Y)$ 落在矩形域 $\left\{(x, y) \mid x_1<x \leqslant x_2, y_1<y \leqslant y_2\right\}$ 内的概率为

![图片](/uploads/2025-02/ce31ce.jpg)
 
$$
P\left\{x_1<X \leqslant x_2, y_1<Y \leqslant y_2\right\}=F\left(x_2, y_2\right)-F\left(x_2, y_1\right)-F\left(x_1, y_2\right)+F\left(x_1, y_1\right) .
$$

> **对于图3-2，也可以用学生身高体重解释。用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布  $P\left\{ 160<X \leqslant 170, 50<Y \leqslant 60\right\}=F\left(170, 60\right)-F\left(170, 50\right)-F\left( 160, 60\right)+F\left( 160, 50\right)$ 等式左边表示的是求学生身高在$160 \sim 170$ 和  体重在$ 50 \sim 60$ 之间的人数，他等于身高体重在 $(170,60)$以下的人数减去 身高$170$以下的人数，再减去体重$60$以下的人数，注意此时对$(160,50)$以下的人数减了两次，所以还要再补上一次，因此最后加上$(160,50)$**

## 看懂联合密度的密度图
我们在一维平面里说过，概率密度$(a,b)$曲线下的面积是事件发生在$(a,b)$间的频率，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=523), 那么如何理解二维概率密度呢？

首先，我们要明白，二维概率事件是由3个参数决定：比如射靶，我们说“射在(1,2)的概率为0.01”，那么这里就有$X=1,Y=2,Z=0.01$三个参数
因此，如果把密度函数画在坐标系里，他需要是三维空间，如下图：
 ![图片](/uploads/2024-11/f3636f.jpg){width=400px}

这个图形很像农民带的草帽，我们通常称呼这个图形为“草帽”图形。因为密度函数必须大于等于零，所以这个草帽可以认为为平底的，又因为所有射靶所有的概率最多为1，因此，这个概率的体积最大只能为1.

**理解二维密度函数图像**
如果我们从俯视图的视角从下看这个草帽，可以发现他的定义域D就是一个二维平面。
 ![图片](/uploads/2024-11/a7e9be.jpg){width=400px}
 
 
想想一下我们用一把刀沿着$X,Y$ 切开草帽，因为分布函数的定义为 $F(x, y)=P(X \leqslant x, Y \leqslant y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} p(x, y) d x d y$ ,所以，我们取的西瓜就是左边下边的那一部分。

如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 视为平面上随机点的坐标, 那么, 分布函数 $F(x, y)$在点 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方以 $(x, y)$ 为顶点的无穷直角区域内的概率, 如图所示.
 ![图片](/uploads/2024-11/6d86ba.jpg)

## 联合分布函数得性质

**性质1：**  $0 \leq F(x, y) \leq 1 $
这个性质很好理解，分布函数反映到是概率，概率总是大于等于0小于等于1.

**单调性2**: $F(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为单调非减函数, 即
对任意固定的 $y$ ，当 $x_2>x_1$ 时， $F\left(x_2, y\right) \geqslant F\left(x_1, y\right)$ ；
对任意固定的 $x$, 当 $y_2>y_1$ 时, $F\left(x, y_2\right) \geqslant F\left(x, y_1\right)$.

**有界性3**：对任意实数 $x 、 y$ ，有 $0 \leqslant F(x, y) \leqslant 1$ ，且
对任意固定的 $y$ ，有 $F(-\infty, y)=0$ ，
对任意固定的 $x$, 有 $F(x,-\infty)=0$,
$F(-\infty,-\infty)=0, \quad F(+\infty,+\infty)=1$.

**右连续性4** $F(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为右连续, 即

$$
F(x, y)=F(x+0, y), \quad F(x, y)=F(x, y+0) .
$$

**非负性5** 对于任意 $x_1<x_2 、 y_1<y_2$ ，下述不等式成立：

$$
F\left(x_2, y_2\right)-F\left(x_2, y_1\right)-F\left(x_1, y_2\right)+F\left(x_1, y_1\right) \geqslant 0 .
$$

注意：对任意的 $ x_1<x_2, y_1<y_2$ ，有矩形公式 
$$
\begin{gathered}
& P\left(x_1<X \leq x_2, y_1<Y \leq y_2\right) \\
&\quad=F\left(x_2, y_2\right)-F\left(x_1, y_2\right)  - F\left(x_2, y_1\right)+F\left(x_1, y_1\right) .
\end{gathered}
$$

参考下图

![图片](/uploads/2024-10/d2c8b0.jpg)
 
  
 
 ## 例题
 `例` (离散型)下图 所示的二维离散型随机向量 $X=\left(X_1, X_2\right)$ 的概率分布为
 
 ![图片](/uploads/2024-11/61b741.jpg){width=300px}
解：
$$
\begin{aligned}
& P\left(X_1=2, X_2=1\right)=1 / 3 \\
& P\left(X_1=2, X_2=2.5\right)=1 / 4 \\
& P\left(X_1=5, X_2=3\right)=5 / 12
\end{aligned}  ...(2.1)
$$

从图上看出, $X_1$ 的可能值为 $2$ 和 $5, X_2$ 的可能值为 $1,2.5$ 和 $3$ . 故形式上看， $X=\left(X_1, X_2\right)$ 应有 $6$组可能值，即 
$(2,1),(2,2.5),(2,3),(5,1),(5,2.5),(5,3)$

$X$的概率分布告诉我们, 实际上只有第 $1,2,6$ 组是真正的可能值, 但这并无关系：对一组不可能的值，只要把它的概率定为 0 就行了.

`例`(连续型)设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
\cos x \cos y, 0<x, y<\frac{\pi}{2} \\
0, \text { else }
\end{array}\right.
$$

(1) 试求 $X, Y$ 联合分布函数.
(2) 试求 $P\left(0 \leq X \leq \frac{\pi}{4} \leq Y \leq \frac{\pi}{2}\right)$.

解（1）根据限制域的特点，我们很显然要做分类讨论。 以下设待求函数为 $F(u, v)$. 但是，这是完全没有必要一个一个情况代的。因为只需要在图上标出积分域, 就自然而然清楚需要怎么积分了。
 ![图片](/uploads/2024-11/7e817e.jpg)
 (a) $u, v$ 中有一个小于 0 (包括均小于 0$)$. 很明显, 只要有这种情况存在, 积分域内就没有非 0 的情况.
(b) $u, v$ 均介于 $0, \frac{\pi}{2}$ 之间. 那么 $F(u, v)=\int_0^u \int_0^v \cos x \cos y d x d y=\sin u \sin v$.
(c) $u, v$ 中有一个大于 $\frac{\pi}{2}$, 另一个介于 $0, \frac{\pi}{2}$ 之间. 那么 $F(u, v)=\int_0^1 \int_0^v \cos x \cos y d x d y=$ $\sin v$ 或同理, $\sin u$.
(d) $u, v$ 均大于 $\frac{\pi}{2}$. 显然 $F(u, v)=1$.

综上, $F(x, y)=\left\{\begin{array}{l}0, x \leq 0 \text { or } y \leq 0 \\ \sin x \sin y, 0<x, y<\frac{\pi}{2} \\ \sin x, 0<x<\frac{\pi}{2}, y \geq \frac{\pi}{2} . \text {.(2) 只需套公式即可. } \\ \sin y, x \geq \frac{\pi}{2}, 0<y<\frac{\pi}{2} \\ 1, x, y \geq \frac{\pi}{2}\end{array}\right.$

## 分布函数和密度函数的转化

**已知分布函数求密度函数**
`例` 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为

$$
F(x, y)= \begin{cases}1-3^{-x}-3^{-y}+3^{-x-y}, & x \geqslant 0, y \geqslant 0 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

则二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度 $\varphi(x, y)$ 为 $\qquad$ ．
解 可以验证这是二维连续型随机变量的分布函数，由公式：

$$
\boxed {
\varphi(x, y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}
}
$$

有

$$
\frac{\partial F}{\partial x}=3^{-x} \ln 3-3^{-x-y} \ln 3 \quad \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}=3^{-x-y}(\ln 3)^2
$$

故 $\varphi(x, y)= \begin{cases}3^{-x-y}(\ln 3)^2, & x \geqslant 0, y \geqslant 0 \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$

**已知密度函数求分布函数**
`例` 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$
f(x, y)= \begin{cases}6 x, & 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

则 $P\{X+Y \leqslant 1\}$  是多少

解 由题意作图 所示

$$
\begin{aligned}
P\{X+Y \leqslant 1\} & =\iint_{x+y \leqslant 1} f(x, y) d x d y \\
& =\int_0^{\frac{1}{2}} d x \int_x^{1-x} 6 x d y \\
& =\int_0^{\frac{1}{2}} 6 x(1-2 x) d x=\frac{1}{4} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-05/7347d8.jpg)

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