函数的单调性

日期: 2023-08-23 14:41 查看: 33 次

### 函数的单调性

**①定义法**

给定一个函数人们有时候关心的是，函数值会随着自变量变化而变化，在很多情况下，我们不需要求具体的值，而需要定性了解函数的变化趋势。

一般地, 设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$, 且 $I \subseteq D$ :
(1) 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$, 当 $x_1<x_2$ 时, 都有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, 则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是增函数（也称在 $I$ 上单调递增), 如图  (1) 所示;
(2) 如果对任意 $x_1, x_2 \in I$, 当 $x_1<x_2$ 时, 都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, 则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是减函数（也称在 $I$ 上单调递减）, 如图 (2) 所示.

![图片](/uploads/2023-08/image_20230823d73b14d.png)

**例1**： 求证 $f(x)=x+\sqrt{2-x}$ 在 $\left(-\infty, \frac{7}{4}\right)$ 上是增函数

证明 :
设 $x_1 ， x_2 \in\left(-\infty, \frac{7}{4}\right)$ ，且 $x_1<x_2$
则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(x_1+\sqrt{2-x_1}\right)-\left(x_2+\sqrt{2-x_2}\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{X}_2\right)+\left(\sqrt{2-\mathrm{x}_1}-\sqrt{2-\mathrm{x}_2}\right) \\
& =\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{X}_2\right)+\frac{\left(\sqrt{2-\mathrm{x}_1}-\sqrt{2-\mathrm{x}_2}\right)\left(\sqrt{2-\mathrm{x}_1}+\sqrt{2-\mathrm{x}_2}\right)}{\sqrt{2-\mathrm{x}_1}+\sqrt{2-\mathrm{x}_2}} \\
& =\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{X}_2\right)+\frac{\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1}{\sqrt{2-\mathrm{x}_1}+\sqrt{2-\mathrm{x}_2}} \\
& =\left(\mathrm{x}_1-\mathrm{X}_2\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2-\mathrm{x}_1}+\sqrt{2-\mathrm{x}_2}}\right)
\end{aligned}
$$

又 $\mathrm{x}_1<\mathrm{x}_2<\frac{7}{4}$ ，
则有: $\sqrt{2-\mathrm{x}_1}>\frac{1}{2} ， \sqrt{2-\mathrm{x}_2}>\frac{1}{2}$ ，

$$
\therefore \sqrt{2-\mathrm{x}_1}+\sqrt{2-\mathrm{x}_2}>1
$$

$$
\begin{aligned}
& \therefore 1-\frac{1}{\sqrt{2-\mathrm{x}_1}+\sqrt{2-\mathrm{x}_2}}>0 \text {, 又 } \mathrm{x}_1<\mathrm{x}_2 \\
& \therefore \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_1\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_2\right)<0 \\
& \therefore \mathrm{f}(\mathrm{x}) \text { 在在 }\left(-\infty, \frac{7}{4}\right) \text { 上是增函数 }
\end{aligned}
$$

**②导数法**

我们通常使用导数来求解函数的单调性。为此，我们进行如下理论分析：

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 从 $x_0$ 变化到 $x_0+\Delta x$ 时，相应的函数 $f(x)$ 也发生变化: $f\left(x_0\right) \rightarrow f\left(x_0+\Delta x\right)$ ，此时函数 $y$ 的对应增量（见图1-55) 为 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271451.png)

仔细看 $\Delta x$ 与 $ \Delta y $ 围成的一个三角形，可以得到曲线的切线斜率为：

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
$$

因为 $x-x_0 >0$ ,所以， 切线斜率的正负是由 $ {f(x)-f\left(x_0\right)}$ 决定。

因此，知道了$x$ 的范围，就可以判断曲线是增加还是减小。

如果斜率大于0，就是增函数，如果小于0就是减函数。 如果等于0，如果函数值等于0，通常是 函数增和减的分界点。 而这个分界点也被成为函数的极值点。

如图2-16所示，连续曲线弧 $A B$ 是函数 $y=f(x)(x \in[a, b])$ 的图形.  在导数里，我们知道，所谓导数就是曲线的切换斜率，搜易，可以发现，在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的切线. 如果记 $C$ 点的横坐标为 $\xi$ ，那么就有 $f^{\prime}(\xi)=0$.
换句话说，当求函数最值时（最大值或者最小值），可以令其导数等于0。

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228a5c8a46.png)

**例1**： 求 $y=x^2$ 在 $x \in (2,3)$ 时，判断$y$是递增还是递减。

解：对于 $y=x^2$ 求导，可得 $y'=2x$ , 当$x=2$时， $y'=4$,  当 $x=3$时， $y'=6$ 因为 $y' >0 $ ， 所以在 $x \in (2,3)$ ，$ y$ 随 $x$ 的增大而增大。

**例2** ： 写出函数 $y=3x^2+2x+1$ 的单调区间，并求其最值。
解： 对y求导得  $y'=6x+2$, 令 y'=0, 即 $6x+2=0$ 可以求得  $ x=-\frac{1}{3} $ ,又易知此函数为抛物线，所以， $(- \infty , -\frac{1}{3} )$ 递减， $( -\frac{1}{3}, +\infty )$ 递增

**例3** 已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x+a \ln x$ ，讨论 $f(x)$ 的单调 性。
解：根据题意可知， $f(x)$ 的定义域为 : $(0,+\infty)$

$$
f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^2}-1+\frac{a}{x}=\frac{-x^2+a x-1}{x^2}
$$

(1) 当 $a \leq 2$ 时，
$f^{\prime}(x) \leq 0$ ，且当且仅当 $a=2 ， x=1$ 时，才有 $f^{\prime}(x)=0$
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减；

(2) 当 $a>2$ 时，
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，即 $-x^2+a x-1=0$ ，
解得 : $x_1=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2} ， x_2=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$
可知 :当 $x \in\left(0 ， \frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\right) \cup\left(\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} ，+\infty\right), f^{\prime}(x)<0$ ，
当 $x \in\left(\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2} ， \frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}\right) ， f^{\prime}(x)>0$
即 $f(x)$ 在 $x \in\left(0, \frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\right) ，\left(\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} ，+\infty\right)$ 单调递 减；
综上(1)(2)可得 :
当 $a \leq 2$ 时， $f(x)$ 在 $(0 ，+\infty)$ 单调递减；
当 $a>2$ 时，

$f(x)$ 在 $x \in\left(0 ， \frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\right) ，\left(\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} ，+\infty\right)$ 单调递减 在 $x \in\left(\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2} ， \frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}\right)$ 上单调递增

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