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函数的奇偶性
日期:
2023-08-25 08:12
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### 函数的奇偶性 **1.定义** ①一般地,如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$ ,都有 $f(-x)=f(x)$ ,那么函数 $f(x)$ 就叫偶函数。 $y=x^2$ 是最简单偶函数。  ②一般地,如果对于函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的定义域内任意一个 $\mathrm{x}$ ,都有 $\mathrm{f}(\mathrm{-} \mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ,那么函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 就叫奇函数。 $y=x$ 是最简单奇函数。  注意:在考察函数的奇偶性时,一定要先观察定义域是否关于原点对称; 经典奇偶性函数(基础函数): ① $f(x)=\sin x$ 是奇函数; ②$f(x)=\cos x$ 是偶函数; ③$f(x)=\tan x$ 是奇函 数; ④$f(x)=x, x^3, x^5, x^{-1}, x^{-3} ... x^{\mathrm{n}}$ ( $\mathrm{n}$ 为奇数) 是奇函数; ⑤$f(x)=1, x^2,x^4,x^{-2},x^{-4} ... x^{\mathrm{n}}$ ( $\mathrm{n}$ 为偶数) 是偶函数; 利用定义,可以在基础函数上推出 ①$f(x)=a^x-a^{-x}$ 是奇函数; ② $f(x)=a^x+a^{-x}$ 是偶函数; ③$f(x)=\log _a \frac{b+c x}{b-c x}$ 是奇函数; ④$f(x)=\log _a\left(\sqrt{\mathrm{b}^2 x^2+1} \pm \mathrm{bx}\right)$ 是奇函数; ⑤$f(x)=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+1}{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}-1}$ 是奇函数 **2.性质** ①函数定义域关于原点(或 $\mathrm{y}$ 轴)对称; ② 函数图像关于原点对称; ③如果定义域内 $x=0$ 有意义,一定有 $f(0)=0$ ; ④函数在对称区间的单调性一致; ⑤在对称点的极值(或最值)是相反 ⑥奇+奇=奇; 偶+偶=偶; 奇·奇=偶; 偶•偶=偶; 奇•偶=奇 对于奇偶性的这些性质,请参考上面图像的进行理解记忆。 利用定义进行判断。 **例1**:设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中为奇函数的是 A. $f(x-1)-1$ B. $f(x-1)+1$ C. $f(x+1)-1$ D. $f(x+1)+1$ 解: 因为 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-(x+1)+2}{1+x}=-1+\frac{2}{x+1}$, 所以函数 $f(x)$ 的对称中心为 $(-1,-1)$, 所以将函数 $f(x)$ 向右平移一个单位, 向上平移一个单位, 得到函数 $y=f(x-1)+1$, 该函数的对称中心为 $(0,0)$, 故函数 $y=f(x-1)+1$ 为奇函数. 故选: $B$. 如果直接判断 $f(x)=f(-x)$ 或 $f(x)=-f(-x)$ 比较复杂时,可用判断 $\frac{f(x)}{f(-x)}=1$ 或 $\frac{f(x)}{f(-x)}=-1$ 来判断,即求商判定法,即: 偶•偶=偶; 奇•偶=奇, 偶÷偶=偶; 奇÷偶=奇 **例2** 判断函数 $f(x)=\frac{2}{2^x-1}+1$ 的奇偶性 解: $\frac{f(x)}{f(-x)}=\frac{\frac{2}{2^x-1}+1}{=\frac{2}{2^{-x}-1}+1}=\frac{\frac{1+2^x}{1-2^x}}{\frac{1-2^x}{1+2^x}}=1$ 所以,$f(x)=f(-x)$,因此为偶函数。 **例3** 下列函数中为偶函数的是 A. $y=x^2 \sin x$ B. $y=x^2 \cos x$ C. $y=|\ln x|$ D. $y=2^{-x}$ $\mathrm{A}$ 选项: $x^2$ 是偶函数, $\sin x$ 是奇函数, 根据奇 $\cdot$ 偶 $=$ 奇, 得到函数是奇函数 $B$ 选项: $x^2$ 是偶函数, $\cos x$ 是偶函数, 根据奇•奇 = 偶, 得到函数是偶函数 $C$ 的定义域不关于原点对称。 $D$ $f(x)=2^{-x}$ ,$f(-x)=2^x$, $-f(x)=-2^{-x}$ 彼此不等。 所以选择B
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