最后更新: 2025-05-01 22:00 查看: 495 次反馈刷题

二维连续型联合分布举例

## 二维连续型随机变量的边缘密度函数

设 $(X, Y)$ 是二维连续型随机变量, 其概率密度为 $f(x, y)$, 由定义可得 $X$ 的边缘分布函数

$$
\begin{aligned}
F_X(x) & =P(X \leqslant x)=P(X \leqslant x, y<+\infty) \\
& =\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^{+\infty} f(s, t) d s d t=\int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(s, t) d t\right] d s .
\end{aligned}
$$

进而可得 $X$ 的边缘密度函数为

$$
f_X(x)=\frac{d F_X(x)}{d x}=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y .
$$

同理, $Y$ 是连续型随机变量, 且其边缘密度函数为

$$
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x .
$$

分别称 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布密度或边缘概率密度.

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 具有联合概率密度

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
6, & x^2 \leqslant y \leqslant x \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$

`例`求边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$.
解

$$
\begin{aligned}
& f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y=\left\{\begin{array}{ll}
\int_{x^2}^x 6 d y=6\left(x-x^2\right), & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array},\right. \\
& f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x=\left\{\begin{array}{ll}
\int_y^{\sqrt{y}} 6 d x=6(\sqrt{y}-y), & 0 \leqslant y \leqslant 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103746017f.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103b301e3f.png)

## 定理1
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，则 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$.
证明 $\Omega_X=\Omega_Y=(-\infty,+\infty)$ ， 由边缘密度函数的定义得

$$
\begin{aligned}
& f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^2\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} d y \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{(v-\rho u)^2}{2\left(1-\rho^2\right)}\right\} d v=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \\
&
\end{aligned}
$$

> 上面例子说明，如果$X,Y$服从正态分布，那么$X$和$Y$都服从正态分布。

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