最后更新: 2025-04-11 09:25 查看: 694 次反馈刷题

角度制，弧度制

一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向．

习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为**正角**；按照顺时针方向旋转而成的角称为**负角**；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为**零角**．

这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．

因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角．也就是说，角的大小是任意的．

由此，我们把角的概念推广到了任意角． 作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．

如图，角 $\alpha$ 是 $O A$ 沿逆时针方向绕 $O$ 点转动形成的角，所以 $\alpha=420^{\circ}$ ；角 $\beta$ 是 $O A$ 沿顺时针方向绕 $O$ 点转动形成的角，所以 $\beta=-150^{\circ}$ ．

![图片](/uploads/2025-04/d24e62.jpg){width=300px}

## 角度的定义

度是平面角的单位，符号为°，英文为 degree 。一周角分为360等份，每份定义为1度（1°）。之所以采用360°这数值，是因为它容易被整除。360除了1和自己，还有21个真因子， 所以很多特殊的角的角度都是整数。

![pic](../uploads/2022-09/957cd0.jpg){width=250px}

## 弧度

在科学计算中经常使用弧度作为平面角的单位，弧度记做 rad 。**把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度**。根据弧度定义可以得到圆一周的弧度为:

$\dfrac{\text{圆周长}}{\text{半径}}= \dfrac{2\pi r}{r} =2\pi $

![pic](../uploads/2022-09/a36b79.jpg){width=250px}

事实上, 设 $ \angle A=\alpha^{\circ}$, 弧 $A B$ 的长为 $l$, 半径 $O A=r$, 则 $l=\frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r$,因此

$\frac{l}{r}=\alpha \cdot \frac{2 \pi}{360} $ 即 $\frac{l}{r}= \frac{\alpha \pi}{180} $

这个等式右端不包含半径, 这表示弧长比半径的值不依赖于半径, 而只与 $\alpha$的大小有关. 我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 因此,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为 1 弧度的角,记作 $1   \mathrm{rad}$.

由弧度制的定义可知, 在半径为 $r$ 的圆中, 若弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha \mathrm{rad}$, 则

$$
\alpha=\frac{l}{r} \text {. }
$$

## 角度和弧度换算

根据角度和弧度的定义，很容易得出角度和弧度的换算关系。因为圆的一周是 $360 \degree $ ，而采用弧度是 $  2\pi  $ rad    所以有

$ 360 \degree  = 2 \pi $ rad
意即：

$ 1 \degree  = \dfrac{\pi}{180}  rad   \approx 0.01745 rad  $
或者说  $ 1 rad= (\dfrac{180}{\pi}) \degree   \approx 57.30 \degree  $

类似“1米等于3尺”，一般的，我们只要简记：

$ \boxed{180 \degree  =  \pi \quad \text{弧度}} $

就可以了，使用时，进行转换。

> 对于初学者最迷惑的地方是，弧度和角度之间转换出现了小数。比如，我们学过“千米”和“米”，知道 1千米=1000米， 这就是“千米~米”之间转换公式，而且很容易得到 2.5km=2500m ，从本质上说，“弧度和角度”转换和“千米和米”转换并没有不同。

不是每个转换都是整数的，例如过去常说的“1米等于3尺”，一个人身高2米，可以说他的身高是6尺。因此“1米~3尺”就是一个常见的转换。

在实际题目中，当给定一个角度，到底是弧度还是角度，可以有两个方式判断，一个是上下文语义：一种表示是AB和BC之间的夹角$\frac{\pi}{2}$ 这里 $\frac{\pi}{2}$ 就是弧度。 一个是看单位，比如直线AB和BC之间的夹角为$90^{\circ}$。这就是角度表示，因为带了“度”这个测量单位。

## 角度的正负

我们定义角度沿着逆时针方向旋转为正，沿着逆时针方向旋转为负。如果逆时针旋转$ \theta$ 大小会有一条终边，那么通过旋转得到的角的大小就是$ \theta $ ；如果顺时针旋转$ \theta $ 大小，那么这个角就是$ - \theta $

参考下图
 ![图片](/uploads/2025-02/b72e7b.jpg)
 
 从角的形成过程可以看到，与某一个角 $\alpha$ 的始边相同且终边相同的角有无数个，它们的大小与角 $\alpha$ 都相差 $360^{\circ}$ 的整数倍．在图 5．1－2 中， $405^{\circ}$ 角与 $45^{\circ}$ 角的终边重合，这两个角的大小之差为 $360^{\circ}$ ；而 $-240^{\circ}$ 角与 $120^{\circ}$ 角的终边重合，这两个角的大小之差为 $-360^{\circ}$ 。

我们可以把所有与角 $\alpha$ 终边相同的角用集合表示出来，即

$$
\left\{\beta \mid \beta=\alpha+k \cdot 360^{\circ}, k \in Z \right\},
$$

当 $k=0$ 时，角 $\beta$ 就是角 $\alpha$ 本身．

例如 $-80^{\circ}$ ，因为 $-80^{\circ}=280^{\circ}-360^{\circ}$ ，所以在 $0^{\circ} \sim 360^{\circ}$ 内，与 $-80^{\circ}$ 角终边相同的角是 $280^{\circ}$ ，它是第四象限角．

`例`把下列各角从度化为弧度：
（1） $120^{\circ}$ ；
（2） $25^{\circ} 30^{\prime}$ ．
解（1） $120^{\circ}=120 \times \frac{\pi}{180} rad =\frac{2 \pi}{3} rad$ ；
（2） $25^{\circ} 30^{\prime}=25.5^{\circ}=25.5 \times \frac{\pi}{180} rad =\frac{17 \pi}{120} rad$ ．

`例`把下列各角从弧度化为角度：
（1）$\frac{3 \pi}{4} rad$ ；
（2） 5 rad ．
解（1）$\frac{3 \pi}{4} rad =\frac{3 \pi}{4} \times\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=135^{\circ}$ ；
（2） $5 rad =5 \times\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx 286.5^{\circ}$ ．

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