曲线的渐近线

日期: 2022-12-28 14:20 查看: 99 次

在平面上，当曲线伸向无穷远处时，一般很难把它画准确. 但如果曲线伸向无穷 远处，且能渐渐靠近一条直线，那么就可以既快又好地画出趋于无穷远处这条曲 线的走向趋势.
例如，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，当 $x \rightarrow \infty$ 时 就渐渐靠近两条直线 (见图2-54) : $y=\frac{b}{a} x$ 和 $y=-\frac{b}{a} x$.
对于一般的曲线，有时也能找到这样的直线.

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例如，极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 表明当$|x|$无限增大时，对应的函数值 $f(x)$ 与数 值$A$ 无限接近。
几何上描述为: 当曲线 $y=f(x)$ 沿 $x$ 轴正、负向伸展到无穷 远时，曲线上的点与直线 $y=A$ 上的点无限接近，也就是直线 $y=f(x)$ 为曲线 的水平渐近线 (见图2-55).

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同理，若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 或 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A$ ，则直线 $y=A$ 也是曲线 $y=f(x)$ 的 水平渐近线. 与以上不同的是，这时的渐近线仅仅限于曲线 $y=f(x)$ 在 $x \rightarrow+\infty$ 的一侧或 $x \rightarrow-\infty$ 的一侧.
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 表明当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 的绝对值 $|f(x)|$ 无 限增大.
几何上描述为: 当 $x$ 接近 $x_0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 要伸展到无穷远，也就是直 线 $x=x_0$ 为曲线 $y=f(x)$ 的铅直渐近线 (见图2-56).
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如下图 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=-\infty$ 中  $x=0$ 是其铅直渐近线。
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如下图   $\lim _{x \rightarrow-\infty} e^x=0$ 中， $y=0$ 是其水平渐近线。
![图片](/uploads/2022-12/image_202212285e953de.png)

例18 求曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^x}{x^2-1}$ 的渐近线.
解 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^2-1}=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\mathrm{e}^x}{x^2-1}=\infty, \lim _{x \rightarrow-1} \frac{\mathrm{e}^x}{x^2-1}=\infty$
故直线 $y=0$ 是水平渐近线，直线 $x=1$ 及 $x=-1$ 是两条铅直渐近线.

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