最后更新: 2025-02-07 16:13 查看: 352 次反馈刷题

圆的标准方程

## 圆的方程
已知定点$C(a,b)$, 定长$r$, 我们来求以$C$为圆心，$r$为半径的圆的方程（图5.37）.

设$P(x,y)$是一动点，由圆的定义可知，点$P$在圆上当且仅当$|CP|=r$ 由平面上[两点距离公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=159)可知
$$
\boxed{
\begin{equation}\label{circle1}
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
\end{equation}  ...(1)
}
$$

这就是说，以$C$为圆心，$r$为半径的圆上的任一点$P$, 它的坐标都满足方程 ; 反过来，一个点的坐标如果满足方程 , 那么它必在以$C$为圆心$r$为半径的圆上，方程叫做以$C$为圆心，$r$为半径的圆的方程，如果圆心在原点（图3.38），那么圆的方程为
$$
\boxed{
    x^2+y^2=r^2 ...(2)
    }
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/d39d59.jpg)
 
 
把圆一般方程展开得
 $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0 $
由此可见，任一圆的方程都可写为下面的形式
$$
 \boxed{
    x^2+y^2+2Dx+2Ey+F=0. ...(3)
     }
$$
由于$\lambda(x^2+y^2+2Dx+2Ey+F)=0$和表示了同一个圆，于是圆的方程是一般二次方程

Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0, \quad (A=C)

的一种特殊形式，它具有两个特点：
 ①$x^2$与$y^2$项的系数相同且不等于0;
 ②不含$xy$项．
 
现在要问，是否任一个形如上面的方程的图象都是一个圆呢？

将(3)左边配方，得
$$
    (x+D)^2+(y+E)^2=D^2+E^2-F
$$
  当$D^2+E^2-F>0$时，方程表示以$(-D,-E)$为圆心，以$\sqrt{D^2+E^2-F}$为半径的圆；

当$D^2+E^2-F=0$时，方程的图象只有一个点$(-D,-E)$;

当$D^2+E^2-F<0$时，没有实数偶$(x,y)$满足方程, 因此方程 没有图象．
  
为统一叙述，我们常把情况2的轨迹叫做**点圆** ，情况3 的轨迹叫做**虚圆**．

综上所述，我们把形如$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 叫做**圆的一般方程**。
 
表示圆（包括点圆虚圆）的充要条件是 $A=C\ne 0,\quad B=0 $ 
 
## 例题
`例`已知$C(3,4)$, 求以$C$为圆心，半径等于5的圆的方程．
解：设$P(x,y)$在以$C$为圆心，半径等于5的圆上，则以$C$为圆心，半径等于5的圆的方程为
 $(x-3)^2+(y-4)^2=5^2 $
即
 $x^2+y^2-6x-8y=0 $

`例`求圆$x^2+y^2-6x+2y+6=0$的圆心和半径．
  解： 将原方程配方得 $(x-3)^2+(y+1)^2=4 $
所以所求圆的圆心的坐标是$(3,-1)$, 半径是2.

`例`已知$A(9,-3)$, $B(3,-1)$, 求以$\overline{AB}$为直径
圆的方程（图5.39）.
解1：设$\overline{AB}$的中点为$C$, 则$C$点的坐标
 $x=\frac{9+3}{2}=6,\qquad y=\frac{-3-1}{2}=-2 $
依题意$C(6,-2)$为所求圆的圆心，由距离公式得
 $r^2=(9-6)^2+(-3+2)^2=10 $
因此，所求圆的方程为
 $(x-6)^2+(y+2)^2=10 $
或
 $x^2+y^2-12x+4y+30=0 $
 ![图片](/uploads/2024-05/4cde82.jpg)
 
 解2：设$P(x,y)$为所求圆上任一点，依平面几何
定理可知，$P$点在以$\overline{AB}$为直径的圆上的充要条件是
$\angle APB=\frac{\pi}{2}$, 或 $ \vec{AP}\cdot  \vec{BP}=0$.
用坐标表达，则为
 $(x-9)(x-3)+(y+3)(y+1)=0 $
展开整理得
 $x^2+y^2-12x+4y+30=0 $
这就是所求圆的方程，

`例`已知$A(2,2)$, $B(5,3)$, $C(3,-1)$, 求通过$A$、$B$、$C$三点圆的方程．
解：设所求圆的方程为
 $x^2+y^2+2Dx+2Ey+F=0 $
因为$A$、$B$、$C$ 三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方
程，故得
 $$
 \begin{cases}
    4D+4E+F+8=0\\
10D+6E+F+34=0\\
6D-2E+F+10=0
\end{cases} 
$$
解这个方程组，得
 $D=-4,\qquad E=-1,\qquad F=12 $
于是所求圆的方程为
 $x^2+y^2-8x-2y+12=0 $

`例`求与$x$轴相交于$A(1,0)$, $B(5,0)$两点且半径为$\sqrt{5}$的圆的方程．
解：设所求圆的方程为
 $x^2+y^2+2Dx+2Ey+F=0 $
因$A$、$B$两点在圆上，所以$A$、$B$的坐标满足所设方程．
即
 $$
 \begin{cases}
    1+2D+F=0\\
25+10D+F=0
\end{cases} 
$$
解之得：$D=-3,\quad F=5$.
但因为
 $r^2=D^2+E^2-F $
所以：
 $5=(-3)^2+E^2-5 $
即：$E=\pm 1$，
因此所求圆的方程有两个
 $x^2+y^2-6x+2y+5=0 $
或
 $x^2+y^2-6x-2y+5=0 $
 
 
 `例`求到两定点$A$和$B$的距离之比等于常数$k\; (k\ne 1)$
的点的轨迹．
 解：
 ![图片](/uploads/2024-05/58ca52.jpg)
 
 建立坐标系，取$A$为坐标原点，取射线$AB$为$X$轴的正半轴，设点$B$的坐标是$(a,0)$, 点$P(x,y)$是一动点，
依题意可知点$P(x,y)$是轨迹上的点的充分必要条件
是
 $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}=k $
或
 $\frac{{x^2+y^2}}{{(x-a)^2+y^2}}=k^2 $

经过变形、配方，这方程可化为
 $\left(x-\frac{ak^2}{k^2-1}\right)^2+y^2=\left(\frac{ak}{k^2-1}\right)^2 $
因此，所求轨迹是一个圆心在$\left(\frac{ak^2}{k^2-1},0\right)$, 半径为$\frac{ak}{|k^2-1|}$的圆．

`例`求通过圆$C_1:\; x^2+y^2-4x-1=0$和圆$C_2: x^2+y^2-8x+11=0$的交点和点$(-2,2)$的圆的方程．

解：类似于用[直线束](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1341)的解题方法，我们考虑圆族
 $$
  \lambda_1(x^2+y^2-4x-1)+\lambda_2(x^2+y^2-8x+11)=0
 $$
当$\lambda_1,\lambda_2$不同时为零，方程表示的圆都通过两圆$C_1$, $C_2$的两个交点，如果方程是所求圆的方程，那么点$(-2,2)$的坐标应满足方程, 由此，我们可定$\lambda_1:\lambda_2$, 把$x=-2$, $y=2$代入 得
 $\lambda_1[(-2)^2+2^2-4(-2)-1]+\lambda_2[(-2)^2+2^2-8(-2)+11]=0 $
由此，得
 $\lambda_1=-\frac{3}{7}\lambda_2 $
所以，所求圆的方程为
 $-7\lambda_2(x^2+y^2-4x-1)+3\lambda_2(x^2+y^2-8x+11)=0 $
消去$\lambda_2$, 整理最后得所求圆的方程为
 $x^2+y^2-x-10=0 $

其他版本
【高中数学】圆的第二定义-阿波罗尼斯圆【高中数学】椭圆极坐标方程

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