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解析几何
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直线与圆的位置
直线与圆的位置
日期:
2023-11-04 07:12
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直线与圆有两个公共点时, 称直线与圆相交, 且称直线为圆的割线; 直线与圆只有一个公共点时, 称直线与圆相切, 且称直线为圆的切线, 称公共点为切点; 直线与圆没有公共点时, 称直线与圆相离.  ## 求法 **(1) 根据 $d$ 与 $r$ 的关系判断 ( $d$ 为圆心到直线的距离， $r$ 为圆的半径).** 相离 $\Leftrightarrow$ 没有公共点 $\Leftrightarrow d>r$; 相切 $\Leftrightarrow$ 只有一个公共点 $\Leftrightarrow d=r$; 相交 $\Leftrightarrow$ 有两个公共点 $\Leftrightarrow d<r$. **(2)联立方程求判别式的方法** 联立直线方程与圆的方程 $\left\{\begin{array}{c}A x+B y+C=0 \\ x^2+y^2+D x+E y+F=0\end{array}\right.$ 求解，通过解的个数来判断: ①当 $\Delta>0$ 时，直线与圆有 2 个交点，直线与圆相交； ②当 $\Delta=0$ 时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切; ③当 $\Delta<0$ 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. **例1：** 判断直线 $x+y-1=0$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 的位置关系. 方法 1 圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心为 $(0,0)$ ，半径为 1 ， 圆心为 $(0,0)$ 到直线的距离 $d=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$, 即直线与圆的位置关系是相交. 方法 2 联立方程 $\left\{\begin{array}{c}x+y-1=0 \\ x^2+y^2=1\end{array}\right.$ ，得 $x^2-x=0$ ，其方程显然有两个实数解，则直线与圆的位置关系是相交.
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