科数网
学习
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
人工智能
赞助本站
在线教程
高中数学
解析几何(圆锥曲线)
圆与圆的切线
日期:
2024-05-13 20:35
查看:
217
次
编辑
圆与圆的切线
## 圆的方程 已知定点$C(a,b)$, 定长$r$, 我们来求以$C$为圆心,$r$为 半径的圆的方程(图5.37). 设$P(x,y)$是一动点,由圆的定义可知,点$P$在圆上当 且仅当$|CP|=r$ 或$ \vec{CP}\cdot \vec{CP}=r^2$. 用坐标表示,可写为 \begin{equation}\label{circle1} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{equation} 这就是说,以$C$为圆心,$r$为半径的圆上的任一点$P$, 它的 坐标都满足方程 ; 反过来,一个点的坐标如果满足方 程 , 那么它必在以$C$为圆心$r$为半径的圆上,方程 叫做以$C$为圆心,$r$为半径的圆的方程,如果圆心在原 点(图3.38),那么圆的方程为 $$ x^2+y^2=r^2 $$ ![图片](/uploads/2024-05/d39d59.jpg) 把他展开得 $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0 $ 由此可见,任一圆的方程都可写为下面的形式 $$ x^2+y^2+2Dx+2Ey+F=0. $$ 由于$\lambda(x^2+y^2+2Dx+2Ey+F)=0$和表示了同一 个圆,于是圆的方程是一般二次方程 $Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0 $ 的一种特殊形式,它具有两个特点: $x^2$与$y^2$项的系数相同且不等于0; 不含$xy$项. 现在要问,是否任一个形如上面的方程的图象都是一个圆 呢? 将 左边配方,得 $$ (x+D)^2+(y+E)^2=D^2+E^2-F $$ 当$D^2+E^2-F>0$时,方程表示以$(-D,-E)$为圆心,以$\sqrt{D^2+E^2-F}$为半径的圆; 当$D^2+E^2-F=0$时,方程的图象只有一 个点$(-D,-E)$; 当$D^2+E^2-F<0$时,没有实数偶$(x,y)$满足方 程, 因此方程 没有图象. 为统一叙述,我们常把情况2的轨迹叫做 点圆 , 情况3 的轨迹叫做**虚圆**. **定理** 二元二次方程 $Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$ 表示圆(包括点圆虚圆)的充要条件是 $A=C\ne 0,\qquad B=0 $ #### 例1 已知$C(3,4)$, 求以$C$为圆心,半径等于5的圆 的方程. 解: 设$P(x,y)$在以$C$为圆心,半径等于5的圆上, 则以$C$为圆心,半径等于5的圆的方程为 $(x-3)^2+(y-4)^2=5^2 $ 即 $x^2+y^2-6x-8y=0 $ #### 例2 求圆$x^2+y^2-6x+2y+6=0$的圆心和半径. 解: 将原方程配方得 $(x-3)^2+(y+1)^2=4 $ 所以所求圆的圆心的坐标是$(3,-1)$, 半径是2. #### 例3 已知$A(9,-3)$, $B(3,-1)$, 求以$\overline{AB}$为直径 圆的方程(图5.39). 解1:设$\overline{AB}$的中点为$C$, 则$C$点的坐标 $x=\frac{9+3}{2}=6,\qquad y=\frac{-3-1}{2}=-2 $ 依题意$C(6,-2)$为所求 圆的圆心,由距离公式得 $r^2=(9-6)^2+(-3+2)^2=10 $ 因此,所求圆的方程为 $(x-6)^2+(y+2)^2=10 $ 或 $x^2+y^2-12x+4y+30=0 $ ![图片](/uploads/2024-05/4cde82.jpg) 解2:设$P(x,y)$为所求圆上任一点,依平面几何 定理可知,$P$点在以$\overline{AB}$为直径的圆上的充要条件是 $\angle APB=\frac{\pi}{2}$, 或 $ \vec{AP}\cdot \vec{BP}=0$. 用坐标表达,则为 $(x-9)(x-3)+(y+3)(y+1)=0 $ 展开整理得 $x^2+y^2-12x+4y+30=0 $ 这就是所求圆的方程, #### 例4 已知$A(2,2)$, $B(5,3)$, $C(3,-1)$, 求通过$A$、$B$、$C$三点圆的方程. 解:设所求圆的方程为 $x^2+y^2+2Dx+2Ey+F=0 $ 因为$A$、$B$、$C$ 三点都在圆上,所以它们的坐标都满足方 程,故得 $$ \begin{cases} 4D+4E+F+8=0\\ 10D+6E+F+34=0\\ 6D-2E+F+10=0 \end{cases} $$ 解这个方程组,得 $D=-4,\qquad E=-1,\qquad F=12 $ 于是所求圆的方程为 $x^2+y^2-8x-2y+12=0 $ #### 例5 求与$X$轴相交于$A(1,0)$, $B(5,0)$两点且半径为 $\sqrt{5}$的圆的方程. 设所求圆的方程为 $x^2+y^2+2Dx+2Ey+F=0 $ 因$A$、$B$两点在圆上,所以$A$、$B$的坐标满足所设方程. 即 $$ \begin{cases} 1+2D+F=0\\ 25+10D+F=0 \end{cases} $$ 解之得:$D=-3,\quad F=5$. 但因为 $r^2=D^2+E^2-F $ 所以: $5=(-3)^2+E^2-5 $ 即:$E=\pm 1$, 因此所求圆的方程有两个 $x^2+y^2-6x+2y+5=0 $ 或 $x^2+y^2-6x-2y+5=0 $ #### 例题6 求到两定点$A$和$B$的距离之比等于常数$k\; (k\ne 1)$ 的点的轨迹. 解: ![图片](/uploads/2024-05/58ca52.jpg) 建立坐标系,取$A$为坐标原点,取射线$AB$为$X$轴 的正半轴,设点$B$的坐标是$(a,0)$, 点$P(x,y)$是一动 点, 依题意可知点$P(x,y)$是轨迹上的点的充分必要条件 是 $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}=k $ 或 $\frac{{x^2+y^2}}{{(x-a)^2+y^2}}=k^2 $ 经过变形、配方,这方程可化为 $\left(x-\frac{ak^2}{k^2-1}\right)^2+y^2=\left(\frac{ak}{k^2-1}\right)^2 $ 因此,所求轨迹是一个圆心在$\left(\frac{ak^2}{k^2-1},0\right)$, 半径为$\frac{ak}{|k^2-1|}$ 的圆. ### 例题8 求通过圆$C_1:\; x^2+y^2-4x-1=0$和圆$C_2:\; x^2+ y^2-8x+11=0$的交点和点$(-2,2)$的圆的方程. 类似于用直线束的解题方法,我们考虑圆族 $ \lambda_1(x^2+y^2-4x-1)+\lambda_2(x^2+y^2-8x+11)=0 $ 当$\lambda_1,\lambda_2$不同时为零,方程(\ref{circles1})表示的圆都通过两圆$C_1$, $C_2$的两个交点,如果方程(\ref{circles1})是所求圆的方程,那么点$(-2,2)$的坐标应满足方程(\ref{circles1}), 由此,我们可定$\lambda_1:\lambda_2$, 把 $x=-2$, $y=2$代入 得 $\lambda_1[(-2)^2+2^2-4(-2)-1]+\lambda_2[(-2)^2+2^2-8(-2)+11]=0 $ 由此,得 $\lambda_1=-\frac{3}{7}\lambda_2 $ 所以,所求圆的方程为 $-7\lambda_2(x^2+y^2-4x-1)+3\lambda_2(x^2+y^2-8x+11)=0 $ 消去$\lambda_2$, 整理最后得所求圆的方程为 $x^2+y^2-x-10=0 $ ## 圆的切线方程 已知直线$\ell$与圆:$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相切于 点$P_0(x_0,y_0)$, 我们来求 切线$\ell$的方程(图5.41). ![图片](/uploads/2024-05/382bff.jpg) 设$P(x,y)$是一动点, 则$P(x,y)$在切线$\ell$上的充要 条件是 $ \vec{CP_0}\cdot \vec{P_0P}=0 $ 用坐标表示,即为 $$ (x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0 $$ 方程就是所求切线$\ell$的方程.特别当圆心在坐标原 点,切线方程变为 $x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)=0 $ $$ x_0x+y_0y=r^2 $$ #### 例1 已知圆:$x^2+y^2+6x-4y-13=0$, 求与该圆相 切于点$A(2,3)$的切线方程. 已知圆的方程可化为 $(x+3)^2+(y-2)^2=26 $ 所以圆心$C(-3,2)$, $ \vec{CA}=(5,1)$. 由圆的切线方程,可得 所求切线为 $ 5\cdot (x-2)+1\cdot (y-3)=0 $ 整理得 $ 5x+y=13 $ #### 例题2 求证直线$\ell:\; y=kx+b$, 与已知圆$x^2+y^2=r^2$ 相切的充要条件是$r=\pm\frac{b}{\sqrt{1+k^2}}$ 证明:把$y=kx+b$代入$x^2+y^2=r^2$, 得 $(kx+b)^2+x^2=r^2 $ 展开整理得 $(1+k^2)x^2+2kbx+b^2-r^2=0 $ 由圆的切线定义可知:已知直线与圆相切的充要条件是上面 方程有重根,即它的判别式 $\Delta=\sqrt{(2kb)^2-4(1+k^2)(b^2-r^2)}=0 $ 化简就可得到直线$\ell$与已知圆相切的条件是 $$ b^2=r^2(1+k^2)\quad \Rightarrow\quad r=\pm\frac{b}{\sqrt{1+k^2}} $$ 在例 5.55 的条件中,右边正好是圆心到直线 ℓ 的距离,所以上述条件的几 何意义是:直线和圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径,这是我们 在平面几何中已熟知的结论,这里用解析方法再次得到证明,当然我们也可由 这个几何定理直接证明例 5.55. #### 例题3 已知$P_0(x_0,y_0)$是已知圆$x^2+y^2=r^2$外任一点, $PT$, $PV$与此已知圆相切于$T(x_1,y_1)$, $V(x_2,y_2)$两点, 求直线$TV$的方程. 在点$T(x_1,y_1)$, $V(x_2,y_2)$处的切线方程分别为 $$ \begin{align} x_1x+y_1y=r^2\\ x_2x+y_2y=r^2 \end{align} $$ 因为切线(5.35), (5.36)都通过$A$点,所以 \begin{align} x_1x_0+y_1y_0=r^2\\ x_2x_0+y_2y_0=r^2 \end{align} 由(5.37), (5.38)可看出,点$T(x_1,y_1)$, $V(x_2,y_2)$都满 足方程 $$ \begin{equation} x_0x+y_0y=r^2 \end{equation} $$ 由于两点定一直线,所以方程(5.39)就是直线$TV$的方程.
子目录
1. 圆的方程
2. 直线与圆的弦长
3. 直线与圆的切线
4. 直线与圆的位置
5. 圆与圆的关系
上一篇:
两点之间的距离
下一篇:
椭圆
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记