首页
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
人工智能
赞助本站
在线教程
高中数学
解析几何
圆
圆与圆的关系
日期:
2023-11-04 07:10
查看:
132
次
编辑
导出
圆与圆的关系
两个圆的位置关系细分成了 5 种, 即外离、外切、相交、内切、内含 (如下图所示), 并且在试验的基础上总结出了根据两个圆的半径 $r_1, r_2$ 以及两个圆的圆心距 $d$ 来判断两个圆位置关系的方法: 两个圆外离 $\Leftrightarrow d>r_1+r_2$; 两个圆外切 $\Leftrightarrow d=r_1+r_2$; 两个圆相交 $\Leftrightarrow\left|r_1-r_2\right|<d<r_1+r_2$; 两个圆内切 $\Leftrightarrow d=\left|r_1-r_2\right|$; 两个圆内含 $\Leftrightarrow d<\left|r_1-r_2\right|$. ![图片](/uploads/2023-11/image_202311046b7d81d.png) 也可以给出验证的数学证明。 **下面给出简单证明:** 给定平面中的 $\odot C_1$ 与 $\odot C_2$, 以 $C_1$ 为原点, $C_1 C_2$ 所在直线为 $x$ 轴, 建立平面直角坐标系, 如图 所示. 此时, 设两圆的圆心距为 $d$, 则 $\odot C_2$ 的圆心坐标为 $(d, 0)$, 设两圆的方程分别为 $x^2$ $+y^2=r_1^2,(x-d)^2+y^2=r_2^2$, 将它们联立, 得方程组 ![图片](/uploads/2023-11/image_20231104e53fded.png) $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=r_1^2, \\ (x-d)^2+y^2=r_2^2, \end{array}\right. $$ 第一式减去第二式, 整理可得 $x=\frac{r_1^2-r_2^2+d^2}{2 d}$, 将 $x$ 的值代人 $x^2+y^2=r_1^2$,可得 $$ \begin{aligned} y^2 & =r_1^2-\frac{\left(r_1^2-r_2^2+d^2\right)^2}{4 d^2} \\ & =\frac{\left(2 d r_1+r_1^2-r_2^2+d^2\right)\left(2 d r_1-r_1^2+r_2^2-d^2\right)}{4 d^2} \\ & =\frac{\left[\left(r_1+d\right)^2-r_2^2\right]\left[r_2^2-\left(r_1-d\right)^2\right]}{4 d^2} \\ & =\frac{\left(r_1+r_2+d\right)\left(r_1-r_2+d\right)\left(r_1+r_2-d\right)\left(r_2-r_1+d\right)}{4 d^2} \end{aligned} $$ $$ =\frac{\left[\left(r_1+r_2\right)^2-d^2\right]\left[d^2-\left(r_1-r_2\right)^2\right]}{4 d^2} . $$ 因此, 当且仅当 $$ \left|r_1-r_2\right|<d<r_1+r_2 $$ 时, 有两个不同的实数 $y$ 满足方程组, 从而 $\odot C_1$ 与 $\odot C_2$ 相交.其他情况可类似得到. **例题**: 判断圆 $C_1: x^2+y^2=4$ 与圆 $C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=1$ 的位置关系, 如果相交, 求出它们交点所在的直线的方程. 解 两圆的圆心距为 $$ \sqrt{(0-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}, $$ 又因为 $2-1<\sqrt{5}<2+1$, 所以 $C_1$ 与 $C_2$ 相交. 解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=4, \\ (x-2)^2+(y-1)^2=1, \end{array}\right. $$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}x=2, \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{6}{5}, \\ y=\frac{8}{5} .\end{array}\right.$ 因此两圆的交点为 $(2,0),\left(\frac{6}{5}, \frac{8}{5}\right)$, 从而可以求得交点所在的直线方程为 $$ 2 x+y-4=0 . $$ 例 中直线的方程也可按如下方法得到: 设 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点为 $A, B$,则 $A, B$ 的坐标都满足方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=4, \\ (x-2)^2+(y-1)^2=1, \end{array}\right. $$ 将方程组的第一式减去第二式, 整理可得 $$ 2 x+y-4=0 . $$ 显然, $A, B$ 的坐标都满足上式, 又因为两点能确定一条直线, 所以上式就是所求直线的方程.
上一篇:
直线与圆的位置
下一篇:
没有了
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记