最后更新: 2025-02-07 17:38 查看: 280 次反馈刷题

直线与圆的切线

## 直线与圆的切线
### 点在圆上(向量法)
点在圆上，如下图，此时有一条切线。
 ![图片](/uploads/2025-02/08ec87.jpg){width=300px}

① 如果圆的方程为 $x^2+y^2=r^2$  在则 $p\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为：$x x_0+y y_0=r^2$

②如果圆的方程为 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$  则在 $p\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为：$\left(x-x_0\right)(x-a)+\left(y-y_0\right)(y-b)=r^2$

**证明**：设切线上有一点 $Q(x, y)$ ，圆心为 $O(a, b)$ 则 $\vec{QO}$ 在 $\vec{PO}$上的投影长$PO =r$ ，于是

$\overrightarrow{QO} \cdot \overrightarrow{PQ}=r^2$ 带入向量坐标：

$$
(x-a)\left(x_0-a\right)+(y-b)\left(y_0-b\right)=r^2
$$

> 注意：这里使用了向量的数量积定义，详见[向量数量积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)

`例` 求圆 $(x+1)^2+y^2=4$ 在点 $(0, \sqrt{3})$ 处的切线方程

解：直接使用结论：

$$
(x+1)(0+1)+y \cdot \sqrt{3}=4 \text {, 即 } x+\sqrt{3} y-3=0
$$

`例` 过圆 $x^2+y^2-4 x+m y=0$ 上一点 $P(1,1)$ 的圆的切线方程为
解：因为点 P 在圆上，所以可以据此求出 m 的值： $1^2+1^2-4+m=0$ ，解得 $m=2$然后将圆的方程化为 $(x-2)^2+(y+1)^2=5$于是利用结论，可得切线方程为： $(x-2)(1-2)+(y+1)(1+1)=5$ ，化简即可得 $x-2 y+1=0$

### 点在圆外(向量法)
当点在圆外时，直线与圆相切有两条切线。在考试里，经常要求过切点的直线方程。

![图片](/uploads/2023-10/image_20231026295448d.png){width=200px}

过圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 外一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 做圆的两条切线 $PA , PB$ ，切点为 $A, B$ ，则直线 AB 的方程为：

$$
(x-a)\left(x_0-a\right)+(y-b)\left(y_0-b\right)=r^2
$$

证明： 请参考上面的证明，读者自行完成，具体略。

`例` 过圆 $(x+1)^2+y^2=4$ 外一点 $(2,3)$ 做圆的两条切线，切点为 $A , B$ ，求直线 AB 的方程。
解：直接使用结论：
$$
(x+1)(2+1)+y \cdot 3=4 \text {, 即 } 3 x+3 y-1=0
$$

`例` 已知圆 $C:(x-1)^2+(y-2)^2=2$ ，点 $P$ 的坐标为 $(2,-1)$ ，过点 $P$ 作圆 $C$的切线，切点为 $A , B$ ．
（1）求 $AB$ 所在直线的方程
（2）求 $AB$ 的长度．
解：参考下图
 ![图片](/uploads/2025-02/178f26.jpg){width=200px}
 
（1） $ x-3 y+3=0$ ，直接使用结论：
$(x-1)(2-1)+(y-2)(-1-2)=2$ ，化简即可．
（2）已经有了 AB 直线方程，按照求弦长的方法，先求圆心到直线的距离：

$$
d=\frac{|1-3 \cdot 2+3|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}
$$

于是弦长 $A B=2 \sqrt{2-d^2}=\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

`例` 已知圆 $C: x^2+y^2=1$ ，点 $P$ 为直线 $l: x+y-4=0$ 一动点，过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $PA , PB , A , B$ 为切点，则直线 AB 经过定点
解：先设 $P(a, b)$ ，则 $a+b-4=0$

然后用结论写出 AB 所在直线方程为：
$a x+b y=1$ ，结合 $a+b-4=0$ ，将直线方程化为一个参数：

$$
a x+(4-a) y=1 \text {, 即 } a(x-y)+4 y-1=0
$$

然后令 $x-y=0,4 y-1=0$ ，可解得 $x=y=\frac{1}{4}$ ，因此直线就恒过 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$

## 导数法求圆的切线
在[导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1396) 一节里，提到过导数代表曲线过改点的切线的斜率。
对于形如 $x^2+y^2=r^2$ 的圆，左右两边对$x$求导可得
$2x+2yy'=0$
注:①圆的右侧为$r^2$是常数，其导数为零。②y是x的函数，求导后是y y',其中 y' 就是改点的导数（也就是切线的斜率）
因此，切线斜率为
$$
\boxed{
k=y'=-\dfrac{x}{y}
}
$$

`例` 一直圆$x^2+y^2=2$，求过$A(1,1)$点的切线方程.
解：直接导入上面公式得切线斜率为 $k=-\dfrac{1}{1}=-1$，
已知斜率为-1，又过点(1,1) 可以得到他的切线方程为
$x+y=2$
 ![图片](/uploads/2025-02/380c89.jpg){width=200px}

> 注：此方法属于大学《高等数学》里内容，实际做题不宜在解答题里使用，可用做选择题或者填空题快速答题。

## 传统求切线做法

> 若点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在圆 $C$ 外, 过点 $P$ 的切线有两条. 这时可设切线方程为 $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$, 利用圆心 $C$ 到切线的距离等于半径求 $k$.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式 $\Delta=0$ 求 $k$ 的值.

`例`过点 $A(4,-3)$ 作圆 $C:(x-3)^2+(y-1)^2=1$ 的切线，求此切线的方程.
解析 因为 $(4-3)^2+(-3-1)^2=17>1$ ，所以点 $A$ 在圆外.
若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 $k$ ，
则切线方程为 $y+3=k(x-4)$.
因为圆心 $C(3,1)$ 到切线的距离等于半径，半径为 1 ，
所以 $\frac{|3 k-1-3-4 k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ ，即 $|k+4|=\sqrt{k^2+1}$ ，
所以 $k^2+8 k+16=k^2+1$. 解得 $k=-\frac{15}{8}$.
所以切线方程为 $y+3=-\frac{15}{8}(x-4)$ ，即 $15 x+8 y-36=0$.
若直线斜率不存在，
圆心 $C(3,1)$ 到直线 $x=4$ 的距离也为 1 ，这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是 $x=4$.
综上，所求切线方程为 $15 x+8 y-36=0$ 或 $x=4$.

**注意：** 设直线方程为斜截式时，要注意斜率是否存在，不确定需要分类讨论.

`例`(多选) 已知点 $P$ 在圆 $(x-5)^2+(y-5)^2=16$ 上，点 $A(4,0), B(0,2)$ ，则（）
A. 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离小于 10
B. 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离大于 2
C. 当 $\angle P B A$ 最小时， $|P B|=3 \sqrt{2}$
D. 当 $\angle P B A$ 最大时， $|P B|=3 \sqrt{2}$
解析 $\because A(4,0), B(0,2)$ ，
$\therefore$ 过 $A 、 B$ 的直线方程为 $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$ ，即 $x+2 y-4=0$ ，
圆 $(x-5)^2+(y-5)^2=16$ 的圆心坐标为 $(5,5)$ ，
圆心到直线 $x+2 y-4=0$ 的距离 $d=\frac{|1 \times 5+2 \times 5-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}=\frac{11 \sqrt{5}}{5}>4$ ，
$\therefore$ 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离的范围为 $\left[\frac{11 \sqrt{5}}{5}-4, \frac{11 \sqrt{5}}{5}+4\right]$,
$\because \frac{11 \sqrt{5}}{5}<5, \therefore \frac{11 \sqrt{5}}{5}-4<1 ， \quad \frac{11 \sqrt{5}}{5}+4<10 ，$
$\therefore$ 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离小于 10 ，但不一定大于 2 ，故 $A$ 正确， $B$ 错误；
如图，当过 $B$ 的直线与圆相切时，满足 $\angle P B A$ 最小或最大 ( $P$ 点位于 $P_1$ 时 $\angle P B A$ 最小，位于 $P_2$ 时 $\angle P B A$ 最大)，
此时 $|B C|=\sqrt{(5-0)^2+(5-2)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$ ，
$\therefore|P B|=\sqrt{|B C|^2-4^2}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$, 故 $C D$ 正确.
故选: $A C D$.

![图片](/uploads/2023-10/image_202310268655765.png)

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