直线与圆的切线

日期: 2023-11-04 07:14 查看: 27 次更新导出Word

直线与圆相切分为两种情况：

（1）点在圆外，如下图，此时有两条切线。

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（2）点在圆上，如下图，此时有一条切线。

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**例1**：过点 $A(4,-3)$ 作圆 $C:(x-3)^2+(y-1)^2=1$ 的切线，求此切线的方程.
解析 因为 $(4-3)^2+(-3-1)^2=17>1$ ，所以点 $A$ 在圆外.
若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 $k$ ，
则切线方程为 $y+3=k(x-4)$.
因为圆心 $C(3,1)$ 到切线的距离等于半径，半径为 1 ，
所以 $\frac{|3 k-1-3-4 k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ ，即 $|k+4|=\sqrt{k^2+1}$ ，
所以 $k^2+8 k+16=k^2+1$. 解得 $k=-\frac{15}{8}$.
所以切线方程为 $y+3=-\frac{15}{8}(x-4)$ ，即 $15 x+8 y-36=0$.
若直线斜率不存在，
圆心 $C(3,1)$ 到直线 $x=4$ 的距离也为 1 ，这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是 $x=4$.
综上，所求切线方程为 $15 x+8 y-36=0$ 或 $x=4$.

**注意：** 设直线方程为斜截式时，要注意斜率是否存在，不确定需要分类讨论.

**例2**. (多选) 已知点 $P$ 在圆 $(x-5)^2+(y-5)^2=16$ 上，点 $A(4,0), B(0,2)$ ，则（）
A. 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离小于 10
B. 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离大于 2
C. 当 $\angle P B A$ 最小时， $|P B|=3 \sqrt{2}$
D. 当 $\angle P B A$ 最大时， $|P B|=3 \sqrt{2}$
解析 $\because A(4,0), B(0,2)$ ，
$\therefore$ 过 $A 、 B$ 的直线方程为 $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$ ，即 $x+2 y-4=0$ ，
圆 $(x-5)^2+(y-5)^2=16$ 的圆心坐标为 $(5,5)$ ，
圆心到直线 $x+2 y-4=0$ 的距离 $d=\frac{|1 \times 5+2 \times 5-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}=\frac{11 \sqrt{5}}{5}>4$ ，
$\therefore$ 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离的范围为 $\left[\frac{11 \sqrt{5}}{5}-4, \frac{11 \sqrt{5}}{5}+4\right]$,
$\because \frac{11 \sqrt{5}}{5}<5, \therefore \frac{11 \sqrt{5}}{5}-4<1 ， \quad \frac{11 \sqrt{5}}{5}+4<10 ，$
$\therefore$ 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离小于 10 ，但不一定大于 2 ，故 $A$ 正确， $B$ 错误；
如图，当过 $B$ 的直线与圆相切时，满足 $\angle P B A$ 最小或最大 ( $P$ 点位于 $P_1$ 时 $\angle P B A$ 最小，位于 $P_2$ 时 $\angle P B A$ 最大)，
此时 $|B C|=\sqrt{(5-0)^2+(5-2)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$ ，
$\therefore|P B|=\sqrt{|B C|^2-4^2}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$, 故 $C D$ 正确.
故选: $A C D$.

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## 总结

求圆的切线方程的常用方法
(1) 若点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在圆 $C$ 外, 过点 $P$ 的切线有两条. 这时可设切线方程为 $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$, 利用圆心 $C$ 到切线的距离等于半径求 $k$.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式 $\Delta=0$ 求 $k$ 的值.
(2) 若点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在圆 $C$ 上, 过点 $P$ 的切线只有一条. 利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切 $=-\frac{1}{k_{C P}}$,代入点斜式方程可得.

也可以利用结论: (1) 若点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在圆 $x^2+y^2=r^2$ 上, 则过该点的切线方程是 $x_0 x+y_0 y=r^2$. (2) 若点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上,则过该点的切线方程是 $\left(x_0-a\right)(x-a)+\left(y_0-b\right)(y-b)=r^2$.

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