最后更新: 2025-05-21 20:28 查看: 1051 次反馈同步训练

向量加法、减法与平行四边形和三角形法则

## 向量的加法

向量的加法最初来源于物理学中的 “速度" 或者 "力" 的合成。 如下图 $\overrightarrow{v_1}$ 和 $\overrightarrow{v_2}$ 最终合成了 $\overrightarrow{v_{合}}$ ， 即: $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{合}}$ ， 这种计算方法也被叫做**平行四边形法则**。
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另外一种是**三角形法则**，如下图，小明从 $A$ 点走到 $B$ 点，然后转弯走到 $C$ 点 则，小明最终走的距离是 $A C$ ，因此

$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
$$

![](/uploads/2022-10/8f0d5a.jpg){width=250px}

事实上，平行四边形法则和三角形法则并没有本质的区别，在上一节已经说过，两个向量只要大小相等，方向相同就是相同的向量，参考上图，在三角形法则里，把 $\overrightarrow{B C}$ 向左平移，让 $B$ 点和 $A$ 点重合，你就会发现三角形法则其实就是平行四边形法则。

在使用向量平行四边形法则时，一个常见的问题是为什么定义 $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{合}}$ 而不是直接相加，我们认为不管是向量的平行四边形法则还是后面介绍的向量点乘都是来自生活实践的抽象，他不是来自数学严格的推导证明，比如两个力$F_1=3N$和$F_2=5N$,生活实践告诉我们，如果他们之间有夹角，不能认为合力为$F=3+5=8N$，因此两个向量相加不能采用向量模相加模式。

向量加法满足交换律和结合律，即：

(1) 数乘 $x(y\boldsymbol{a})=xy\boldsymbol{a}$ (后述)
(1) 加法交换律: $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$ 对任意两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 成立.
(2) 加法结合律: $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ 对任意三个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 成立.

## 向量的减法
在数学里，我们知道减去一个数其实等于加上这个数的相反数。同样，在向量里，规定与 $\boldsymbol{a}$ 大小相等，方向相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，因此

$$
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})
$$

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## 向量加减的区别
在使用三角形法则时，容易搞混向量是加法还是减法，这里给出一个小技巧。当给你一个向量三角形时，如何迅速判断他是向量加法还是减法呢？请看下面介绍。

#### 向量加法
下图 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ 里，三个向量以a的起点为起点，以b的终点为终点，最终是由a指向 $\mathrm{b}$ 。
记忆方法：小明从家到北京，再从北京到上海，那么最终小明走的结果就是从家到上海（也就是从起点指向终点，与中间环节无关）。
 ![图片](/uploads/2024-12/bc3e8f.jpg)

#### 向量减法
下图 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$ 里，理解为以 ${b}$ 的终点为始点，以 ${a}$ 的终点为终点的向量，方向由b指向 $\mathrm{a}$
 ![图片](/uploads/2024-12/9160f7.jpg)

### 记忆技巧
海曼 • 格拉斯曼是德国的几何学家，他 1844 年发表的《延拓论》创立了现今的 $n$ 维几何学。格拉斯曼在构建 $n$ 维几何代数理论时是以一个非常简单的公式 $A B+B C=A C$ (见图 2-15（a））作为研究起点的。他发现，上面介绍的三角形法则，如果不考虑线段点 $A 、 B 、 C$ 的顺序, 只要不把 $A B$ 、 $B C$ 这样的因子仅仅理解为长度, 并且赋予它们 "方向" (例如 $B A=-A B$ ), 公式依然正确。举个例子: 如果 $C$ 位于 $A$ 和 $B$ 之间（见图 2-15 (b)），那么 $A B=A C+C B$ ，但是由于 $C B=-B C$ ，我们将发现 $A B=A C-B C$ 。此时只要在这个公式两边简单地加上 $B C$ 就能得到最初的公式 $A B+B C=A C$ 。
 ![图片](/uploads/2024-12/d09f3b.jpg)

也就是说图 2-15 的两个图例都有 $A B+B C=A C$ 成立。
把图 2-15 的两根直线中间的 $B$ 点和 $C$ 点各自向上**拉伸**一些距离, 等式 $A B+B C=A C$ 依然成立 (见图 2-16), 我们刚刚知道这就是向量的三角形加法法则。
 ![图片](/uploads/2024-12/0d9f48.jpg)

继续向空间中拉伸就是三维向量乃至 $n$ 维向量的加法了, 等式同样成立。
这是一个非常有价值的发现。但格拉斯曼对向量的延伸和拓展更加让人吃惊, 他拓展到向量的外积运算。比如, 如图 2-17 所示的正方形或平行四边形 $A B C D$, 如果正方形或平行四边形的面积 $S_{A B C D}=A B \cdot A D$, 那么就有 $A B \cdot D A=-S_{A B C D}$ 成立。这正是后面将要介绍的向量的外积（叉积）运算及其几何意义。格拉斯曼由此最终发明了一种全新的被称之为外积代数的几何理论。
 ![图片](/uploads/2024-12/1a0915.jpg)

因此，对于向量减法的三角形法则，可以考虑特殊情况：即 $a,b$ 共线的情况：如下图 黑色$a$减去红色$b$，等于黄色 $a-b$ ,箭头指向$a$的方向

![图片](/uploads/2023-01/631f83.jpg){width=200px}

## 向量的数乘
一般地, 给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个向量 $a$, 规定它们的乘积是一个向量, 记作 $\lambda a$, 其中:
(1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$, 而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向如下:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\text { 当 } \lambda>0 \text { 时, 与 } a \text { 同向, } \\
\text { 当 } \lambda<0 \text { 时, 与 } a \text { 反向; }
\end{array}\right.
$$

(2) 当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$.
上述实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘的运算简称为数乘向量. 由定义不难看出, 数乘向量的结果是一个向量, 而且这个向量与原来的向量共线 (平行), 即 $\lambda a / /$ $a$; 数乘向量的几何意义是, 把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 特别地, 一个向量的相反向量可以看成 -1 与这个向量的乘积, 即 $-\boldsymbol{a}=(-1) \boldsymbol{a}$.

当 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是实数, 且 $a$ 是向量时: $\mu a$ 是向量, $\lambda(\mu a)$ 也是向量; $\lambda \mu$是实数, 但 $(\lambda \mu) a$ 是向量. 可以看出

$$
\lambda(\mu a)=(\lambda \mu) a
$$

另外，也可以证明

$$
(\lambda+\mu) a= \lambda  a + \mu a
$$
和 
$$
\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$
$$

我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为**向量的线性运算**。

## 例题
向量的加法、减法和数乘满足交换律与结合律。

`例` 已知 $\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$, 求证: $M$ 为线段 $A B

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