最后更新: 2025-05-04 06:22 查看: 511 次反馈刷题

向量、模、单位向量

在常用的数量问题中，我们用数去表达各种量，如重量、长度、面积、体积、密度等等；用加、减、乘、除运算的组合去表达各种量之间的关系（通称代数通性）．在代数中，我们已掌握了数系的基本性质（即交换律、结合律和分配律）．并熟知了代数学的基本精神在于有效地运用数系通性，对于各种类型的代数问题谋求通解（即以通性求通解）．现在我们要着手把几何学的讨论也推进到定量的层面，设法把空间结构有系统地代数化，数量化，这也就是本章所要详加讨论的课题——向量与向量运算．

> 向量在现代数学体系里，越来越重要，从三角函数、复数、立体几何到线性代数里的向量空间、人工智能等，都离不开对向量的研究，可以说，**向量已经成为数学基础中的基础**。

## 向量的基本概念
我们在物理学中已经学过速度的有关知识, 知道表征速度需要两个参数：（1）速度的大小。（2）速度的方向。
 既有大小又有方向的量我们称为**向量** （也称为矢量），与此相对，只有大小没有方向的量叫做“**标量**”。 物理中，速度，力，位移都是向量，而质量，长度，电阻都是标量。
对应向量的大小也称为向量的**模** （也可以叫向量长度）；

> 对于同一个意义的名词，数学和物理有时候会采用不同的叫法。在数学里，把向量叫做向量，但是在物理里，叫做**矢量**，虽然名称不同，但是意义一样。

下图下述了一个简单的向量$\vec{OA}$.
![](/uploads/2022-10/cc4227.svg){width=250px}

我们知道, 位移可以用带箭头的线段 (即有向线段) 来直观地表示. 类似地, 我们也用有向线段来直观地表示向量, 其中有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. 而且, 通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的**始点** (或起点), 带箭头的端点称为向量的**终点**.

### 向量的表示
有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向. 始点为 $A$ 终点为 $B$ 的有向线段表示的向量, 可以用符号简记为 $\overrightarrow{A B}$, 此时向量的模用 $|\overrightarrow{A B}|$ 表示.

除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外, 还可用一个小写字母来表示向量: 在印刷时, 通常用加粗的斜体小写字母如 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 等来表示向量 ; 在书写时, 用带箭头的小写字母如 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 等来表示向量. 此时, 向量 $\boldsymbol{a}$ 的模也用 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\vec{a}|$ 来表示.

### 相反向量
向量$\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B A}$ 虽然长度相等, 但方向相反, 因此 $\overrightarrow{A B} \neq \overrightarrow{B A}$.
类似于相反数的定义，我们把长度相等、方向相反的向量 $a , b$ 称为相反向量,记作 $b =- a$ 。如果 $b =- a$, 则同样也有 $a =- b$.

### 零向量
始点和终点相同的向量称为**零向量**. 零向量在印刷时, 通常用加粗的阿拉伯数字零表示, 即 $\mathbf{0}$ ; 书写时, 通常用带箭头的阿拉伯数字零表示, 即 $\overrightarrow{0}$. 不难看出, 零向量的模为 0 , 即

$$
|\mathbf{0}|=0 .
$$

零向量本质上是一个点, 因此可以认为零向量的方向是不确定的. 模不为 0 的向量通常称为非零向量.

### 单位向量
模等于 1 的向量称为**单位向量**. 这就是说, 如果 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量, 则

$$
|e|=1 ;
$$

反之也成立. 因此, $e$ 是单位向量的充要条件是 $|e|=1$.

与非零向量 $\vec{a}$ 同方向的单位向量叫做向量 $\vec{a}$ 的单位向量, 记作 $\vec{e}$. 根据实数与向量的乘法的定义, 可知 $\vec{a}=|\vec{a}| \vec{e}$, 即

$$
\boxed{
\vec{e}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} .
}
$$
这是一个重要的公式，在《线性代数》里，会用到

`例`三维向量 $a=(1,1,1)$ ，求其单位向量。
解：该其模长为
$D=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

所以，单位化后单位向量为

$\vec{e}= (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

如果我们把向量$\boldsymbol{a}$ 放在三维空间里（参考下图），为了方便理解，这里加了一个立方体，你就可以看到，所谓$\boldsymbol{a}$的模，就是向量$OP$的长度。
自$P$点往$xoy$平面进行投影，投影点为$H$，连接$OH$，所以$\triangle OPH$ 是直角三角形。
在$Rt \triangle OPH$  里，可以得到 $OP$与$xoy$的夹角余弦值，即
$\cos\angle POH= \dfrac{OH}{OP}$ 
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假设$P(x,y,z)$ ，那么 $OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
而$OH$又在$xoy$平面，所以，$OH=\sqrt{x^2+y^2}$
因此，
$$
\boxed{
\cos\angle POH= \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
}
$$

这就是向量和平面的夹角余弦公式，换句话说，人给一个向量$a$,都可以求出他与三个坐标平面的夹角。

而

$$
\boxed{
\cos\angle POX= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
}
$$

则是向量与$x$轴夹角的余弦公式。

## 向量的相等与平行

### 向量相等
把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 相等, 记作

$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} .
$$

### 向量平行
如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个**向量平行**.
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### 零向量
因为零向量的方向不确定, 所以通常规定**零向量与任意向量平行**. 
我们约定，**所有的零向量相等**。

### 向量共线
两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行, 记作 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$. 两个向量平行也称为两个向量共线.

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