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定积分的概念
日期:
2022-12-30 08:27
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本章要介绍的定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题. 古 希腊的阿基米德用“穷竭法”, 我国的刘徽用“割圆术”, 都曾计算过一 些几何体的面积和体积, 这些均为定积分的姿隹形. 直到 17 世纪中叶, 牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念, 并发现了积分与微分之间 的内在联系, 给出了计算定积分的一般方法, 从而使定积分成为解决 有关实际问题的有力工具, 并使各自独立的微分学与积分学联系在一 起, 构成完整的理论体系一微积分学. 在平面几何中, 我们会计算三角形,矩形, 梯形等由直线围成的图形的面积, 以及圆、椭圆、扇形等特殊曲线所围成图形的面积. 现在我们来计算由曲线 $y=x^2, x$ 轴和直线 $x=1$ 所围平 面图形的面积(见图 3-2), 这样 的图形称为曲边梯形.  将区间 $[0,1]$ 作 $n$ 等分, 分点分别为 $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}$, 过这些分点作平行于 $y$ 轴的 直线, 把平面图形分割成 $n$ 个小窄条, 每个小窄条都是小的曲边梯形, 但是我们 仍无法用初等数学的方法求得它们的面积. 现在分别以 $y=x^2$ 分点上的值 $$ 0,\left(\frac{1}{n}\right)^2,\left(\frac{2}{n}\right)^2, \cdots,\left(\frac{2}{n}\right)^2, \cdots,\left(\frac{n-1}{n}\right)^2 $$ 为高, 以 $\frac{1}{n}$ 为底作 $n$ 个小矩形, 则可用每个小矩形的 面积近似替代作为对应的小穴边梯形的面积 $\Delta A_i(i=1,2,3, \cdots, n)$ (见图 3-3), 即 $$ \Delta A_1 \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^2, \Delta A_2 \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2, \ldots, \Delta A_i \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{i}{n}\right)^2, \ldots, \Delta A_n \approx \frac{1}{n} \cdot 1^2 . $$  于是, 整个曲边梯形的面积 $A$ 的近似值为 $$ \begin{aligned} A & =\Delta A_1+\Delta A_2+\cdots+\Delta A_i+\cdots+\Delta A_n \\ & \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{1}{n} \cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{n} \cdot\left(\frac{i}{n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{n} \cdot 1^2 \\ & =\frac{1}{n^3} \cdot \sum_{i=1}^n i^2=\frac{1}{n^3} \cdot \frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) . \end{aligned} $$ 当这些分点无限增加, 即 $n \rightarrow \infty$ 时, 这个近似值的极限就是曲边梯形面积的 精确值 $$ \begin{aligned} A & =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\ & =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} . \end{aligned} $$ 一般地, 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上非负且连续, 由曲线 $y=f(x)$ 及直线 $x=a, x=b$ 和 $y=0$ 四条线围成的平面图形 $A a b B$ 称为曲边梯形 (见图 3-4). 为求其 面积, 可采取以下步骤.  第一步“分割”在区间 $[a, b]$ 上任意揷入 $n-1$ 分点 $x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}$, 将 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $\left[x_0, x_1\right],\left[x_1, x_2\right], \cdots,\left[x_{i-1}, x_i\right]$, 其中 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$, 且每个小区间的长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2, \cdots, n)$; 相应地, 把曲边梯形 $A a b B$ 分为 $n$ 个小曲边梯形. 第二步“以直代曲近似”. 在每个小区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 内任取一点 $\xi_i(i=1,2, \cdots, n)$, 并以 $\Delta x_i$ 为 底边, $f\left(\xi_i\right)$ 为高作小矩形, 其面积用 $\Delta S_i$ 表示, 则有 $\Delta S_i=f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$, 且当 $\Delta x_i$ 很小时, 有 $\Delta S_i \approx \Delta A_i \quad(i=1,2, \cdots, n)$. 第三步“求和”. 设小矩形面积的总和为 $S_n$, 则 $S_n=\sum_{i=1}^n \Delta S_i=\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$, 此为曲边梯形 面积的近似值. 第四步“取极限”. 如果我们用 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta x_i\right\}$ 表示所有小区间中的最大区间长度, 当分点 数 $n$ 无限增大且 $\lambda$ 趋于零时, $S_n$ 便趋近于曲边梯形 $A a b B$ 的面积 $S$, 即 $$ S=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i . $$ 定义 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界, 在区间 $[a, b]$ 上任意揷入 $n-1$ 个点 $$ a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{i-1}<x_i<\cdots<x_n=b, $$ 得到 $n$ 个小区间 $\left[x_0, x_1\right],\left[x_1, x_2\right], \ldots,\left[x_{i-1}, x_i\right], \ldots,\left[x_{n-1}, x_n\right]$, 对应的区间长度分别为 $$ \Delta x_1=x_1-x_0, \Delta x_2=x_2-x_1 \ldots \Delta x_i=x_i-x_{i-1} \ldots . \Delta x_n=x_n-x_{n-1}, $$ 记 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\left|\Delta x_i\right|\right\}$, 在每一个小区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right](i=1,2, \cdots, n)$ 上任取一点 $\xi_i\left(x_{i-1} \leq \xi_i \leq x_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$, 作和 $\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) x_i$, 如果不论区间分法如何, $\xi_i$ 如何选 取, 总有 $$ \lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i=I \text { ( } I \text { 为常数), } $$ 则称 $I$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分(简称积分), 记作 $$ I=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x . $$ 即 $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \lambda x_i . $$ 其中, $x$ 称为积分变量, $[a, b]$ 称为积分区间, $a, b$ 分别称为积分的下限和 上限, $f(x)$ 为被积函数, $f(x) \mathrm{d} x$ 为被积表达式. 对于定积分的定义, 还应注意以下几点: (1)在上述定义中, 分法是任意的, $\xi_i$ 的选取是任意的. (2) 定积分是一种和式的极限, 其值是一个实数, 它的大小仅与被积函数 $f(x)$ 和积分区间 $[a, b]$ 有关, 而与积分变量的写法无关, 即 $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(t) \mathrm{d} t=\int_a^b f(u) \mathrm{d} u . $$ 如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分存在, 则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积. 那么在 什么条件下, $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积呢? 定理 1 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积. (连续 $\Rightarrow$ 可积) 定理 2 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界, 且只有有限个间断点, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积. 注 按定积分定义, 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界.
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