最后更新: 2025-05-24 06:21 查看: 615 次反馈同步训练

排列

> 在排列记法里，人教版新教材多使用字母$A$ (Arrangement缩写)表示排列，但是过去教材多使用字母$P$（Permutations缩写）表示排列 $ \mathrm{P}_n^m=\mathrm{A}_n^m=n(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} $

### 引入
①平面上有 5 个不同的点 $A, B, C, D, E$ ，以其中两个点为端点的有向线段共有多少条？

分析 要解决这个问题，可以分 2 个步骤完成。
第一步，确定有向线段的起点，在 5 个字母中任取 1 个，有 5 种方法；
第二步，确定有向线段的终点，从余下的 4 个字母中任取 1 个，有 4 种方法．
根据分步乘法计数原理，共可得到 $5 \times 4=20$（条）不同的有向线段，如图所示．

![图片](/uploads/2025-05/4a9304.jpg)

由此可写出所有的有向线段：

$$
\begin{aligned}
& A B, A C, A D, A E ; \\
& B A, B C, B D, B E ; \\
& C A, C B, C D, C E ; \\
& D A, D B, D C, D E ; \\
& E A, E B, E C, E D
\end{aligned}
$$

② 从4名运动员中选出3名参加一项比赛，并排定他们的比赛顺序，有多少种不同的方法？

分析 要解决这个问题，可以分 3 个步骤完成．
第一步，先选定第一名比赛队员，在 4 名运动员中任取 1 名，有 4 种方法；
第二步，选定第二名比赛队员，从余下的 3 名运动员中任取 1 名，有 3 种方法；
第三步，选定第三名比赛队员，从余下的 2 名运动员中任取 1 名，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，共有 $4 \times 3 \times 2=24$（种）不同的排序方法．
若记这 4 名运动员分别为 $a, b, c, d$ ，则 24 种不同的方法如图 4．2－2 所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/2e140e.jpg)
 
 由此可写出所有的排序方式：

$$
\begin{aligned}
& a b c, a b d, a c b, a c d, a d b, a d c ; \\
& b a c,  bad, bca, bcd, bda, bdc;   \\
&   cab, cad, cba, cbd, cda, cdb;   \\
&   dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.  
\end{aligned}
$$

问题 1 与问题 2 的共同特点是什么？你能将其推广到一般情形吗？

## 排列

一般地说, 从 $n$ 个不同元素中, 任取 $m$ 个 $(m \leq n)$ 元素 (不许重复), 按照一定顺序排成一列的个数, 叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数,用符号表示 $\mathrm{P}_n^m$ 或  $\mathrm{A}_n^m$

例如：由 $1,2,3$ 三个数字中选取两个数字写成两位数, 那么 $1,2,3$ 都被看作是排列的元素。而 12 与 21 显然都是由 1,2 两个元素得到的不同的排列. 同样, $12,21,13,31,23,32$ 等都被认为是不同的排列. 只有用相同的元素, 又是按相同的顺序排列而成的排列，才叫做相同的排列，例如：123与 123 就是相同的排列。

`例`由数字 $1,2,3,4$ 可以组成多少个没有重复数字的两位数?

解: 要排出两位数, 第一步先要排出十位上的数字 (当然也可以先排个位上的数字)，第二步是确定个位上的数字.

显然, 第一步在十位的位置上, $1,2,3,4$ 都可以放, 故有四种不同的方法.
第二步是放个位上的数字, 由于在第一步结束时, 剩下的只有 3 个数字,因此第二步只能有 3 种不同的选择。因此个位与十位上的数的排列工作都结束后, 这个两位数才算排出来, 所以, 用乘法原理计算得: $4 \times 3=12$. 即以 $1,2,3,4$ 可以排出 12 个不同的两位数.
 ![图片](/uploads/2024-09/439eef.jpg)
 
 
`例` $ a, b, c, d$ 四个元素, 每次取出三个元素的不同排列有多少种, 并写出所有的排列. (在同一排列里, 元素不能重复出现.)

解: 要把取出的三个元素排成一列, 要分三步完成. 第一步先在第一个位置上放一个元素, 应该有四种不同的方法; 第二步要在第二个位置上放一个元素, 由于第一步的工作完成后剩下的是三个元素，从三个元素中选一个放在第二个位置上应有 3 种不同的方法；第三步要在第三个位置上放一个元素，由于前两步工作完成后只剩下两个元素，所以只有两种不同的方法。 三步工作都完成后才完成排列工作, 因此应该用乘法原理计算排列的总数, 所以共有: $4 \times 4 \times 3 \times 2=24$种不同的排列. 即有如下的 24 种不同的排列:

![图片](/uploads/2024-09/52708c.jpg)

## 排列定理 
从 $n$ 个不同元素中, 任取 $m$ 个 $(m \leq n)$ 没有重复的元素的排列数为 
$\mathrm{P}_n^m=n(n-1)(n-2) \cdots(n-(m-1)$
即 
$$
\boxed{
\mathrm{P}_n^m=n(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)
}
$$

证明: 在取出 $m$ 个元素排成一列时, 首先在第一个位置上可以选 $n$ 个元素中的任何一个, 故有 $n$ 种方法. 在第二个位置上可以选余下的 $n-1$ 个元素中的任一个. 如此类推, 在第 $m$ 个位置上可以选余下的 $(m-1)$ 个元素中的任一个. 根据乘法原理得到总的不同排列数应该是

$$
\mathrm{P}_n^m=n(n-1) \cdots(n-m+1)
$$

这里的 $m$ 是自然数, 并且 $m \leq n$, 这个公式就叫做**排列数公式**.
特别是当 $m=n$ 时有

$$
\mathrm{P}_n^n=n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1
$$

这表示,

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【高中数学】环形排列、重复排列和重复组合

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