最后更新: 2025-04-12 09:50 查看: 523 次反馈刷题

排列

> 在排列记法里，人教版新教材多使用字母A(Arrangement缩写)表示，但是过去教材多使用字母P（Permutations缩写）表示，但是在计算机系统里，例如Python又使用Permutations作为排列的函数，但是P在概率里有专门表示概率的意思。对于初学者，只要知道用A和P意思是一样的就可以了。
### 引入
①平面上有 5 个不同的点 $A, B, C, D, E$ ，以其中两个点为端点的有向线段共有多少条？

分析 要解决这个问题，可以分 2 个步骤完成。
第一步，确定有向线段的起点，在 5 个字母中任取 1 个，有 5 种方法；
第二步，确定有向线段的终点，从余下的 4 个字母中任取 1 个，有 4 种方法．
根据分步乘法计数原理，共可得到 $5 \times 4=20$（条）不同的有向线段，如图 4．2－1所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/45bcd2.jpg)

由此可写出所有的有向线段：

$$
\begin{aligned}
& A B, A C, A D, A E ; \\
& B A, B C, B D, B E ; \\
& C A, C B, C D, C E ; \\
& D A, D B, D C, D E ; \\
& E A, E B, E C, E D
\end{aligned}
$$

② 从4名运动员中选出3名参加一项比赛，并排定他们的比赛顺序，有多少种不同的方法？

分析 要解决这个问题，可以分 3 个步骤完成．
第一步，先选定第一名比赛队员，在 4 名运动员中任取 1 名，有 4 种方法；
第二步，选定第二名比赛队员，从余下的 3 名运动员中任取 1 名，有 3 种方法；
第三步，选定第三名比赛队员，从余下的 2 名运动员中任取 1 名，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，共有 $4 \times 3 \times 2=24$（种）不同的排序方法．
若记这 4 名运动员分别为 $a, b, c, d$ ，则 24 种不同的方法如图 4．2－2 所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/2e140e.jpg)
 
 由此可写出所有的排序方式：

$$
\begin{aligned}
& a b c, a b d, a c b, a c d, a d b, a d c ; \\
& b a c, \text { bad, bca, bcd, bda, bdc; } \\
& \text { cab, cad, cba, cbd, cda, cdb; } \\
& \text { dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. }
\end{aligned}
$$

问题 1 与问题 2 的共同特点是什么？你能将其推广到一般情形吗？

## 排列
一般地说，从 $n$ 个不同的元素中任意选取 $m(m \leq n)$ 个元素，按照一定的顺序排成一列, 叫做从 $n$ 个元素中取出 $m$ 个元素的一个排列.

例如：由 $1,2,3$ 三个数字中选取两个数字写成两位数, 那么 $1,2,3$ 都被看作是排列的元素。而 12 与 21 显然都是由 1,2 两个元素得到的不同的排列. 同样, $12,21,13,31,23,32$ 等都被认为是不同的排列. 只有用相同的元素, 又是按相同的顺序排列而成的排列，才叫做相同的排列，例如：123与 123 就是相同的排列。

`例`由数字 $1,2,3,4$ 可以组成多少个没有重复数字的两位数?

解: 要排出两位数, 第一步先要排出十位上的数字 (当然也可以先排个位上的数字)，第二步是确定个位上的数字.

显然, 第一步在十位的位置上, $1,2,3,4$ 都可以放, 故有四种不同的方法.
第二步是放个位上的数字, 由于在第一步结束时, 剩下的只有 3 个数字,因此第二步只能有 3 种不同的选择。因此个位与十位上的数的排列工作都结束后, 这个两位数才算排出来, 所以, 用乘法原理计算得: $4 \times 3=12$. 即以 $1,2,3,4$ 可以排出 12 个不同的两位数.
 ![图片](/uploads/2024-09/439eef.jpg)
 
 
`例` $ a, b, c, d$ 四个元素, 每次取出三个元素的不同排列有多少种, 并写出所有的排列. (在同一排列里, 元素不能重复出现.)

解: 要把取出的三个元素排成一列, 要分三步完成. 第一步先在第一个位置上放一个元素, 应该有四种不同的方法; 第二步要在第二个位置上放一个元素, 由于第一步的工作完成后剩下的是三个元素，从三个元素中选一个放在第二个位置上应有 3 种不同的方法；第三步要在第三个位置上放一个元素，由于前两步工作完成后只剩下两个元素，所以只有两种不同的方法。 三步工作都完成后才完成排列工作, 因此应该用乘法原理计算排列的总数, 所以共有: $4 \times 4 \times 3 \times 2=24$种不同的排列. 即有如下的 24 种不同的排列:

![图片](/uploads/2024-09/52708c.jpg)
 
 一般地说, 从 $n$ 个不同元素中, 任取 $m$ 个 $(m \leq n)$ 元素 (不许重复), 按照一定顺序排成一列的个数, 叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数,用符号表示 $\mathrm{P}_n^m$.

## 排列定理 
从 $n$ 个不同元素中, 任取 $m$ 个 $(m \leq n)$ 没有重复的元素的排列数为

$$
\boxed{
\mathrm{P}_n^m=n(n-1) \cdots(n-m+1)
}
$$

证明: 在取出 $m$ 个元素排成一列时, 首先在第一个位置上可以选 $n$ 个元素中的任何一个, 故有 $n$ 种方法. 在第二个位置上可以选余下的 $n-1$ 个元素中的任一个. 如此类推, 在第 $m$ 个位置上可以选余下的 $(m-1)$ 个元素中的任一个. 根据乘法原理得到总的不同排列数应该是

$$
\mathrm{P}_n^m=m(n-1) \cdots(m-m+1)
$$

这里的 $m$ 是自然数, 并且 $m \leq n$, 这个公式就叫做**排列数公式**.
特别是当 $m=n$ 时有

$$
\mathrm{P}_n^n=n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1
$$

这表示, $n$ 个不同的元素全部取出参加排列的排列数, 叫做 $n$ 个不同元素的**全排列**, 自然数 1 到 $n$ 的连乘积叫做 $n$ 的阶乘, 用 $n!$ 表示, 所以全排列数公式又可以写成

$$
\boxed{
\mathrm{P}_n^n=n!
}
$$

有了阶乘, 排列数公式又可以写成

$$
\boxed{
\mathrm{P}_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}
}
$$

这里, 当 $m=n$ 时, 分母出现 $(n-m)$ ! 就变成 $0!$, 为了使公式仍能成立,

> 我们特别规定 $0!=1$.

例如 $\mathrm{P}_8^5=8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4=6720, \mathrm{P}_5^5=5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$

`例`试证明下列等式成立。
(1) $\mathrm{P}_n^m+m \cdot \mathrm{P}_n^{m-1}=\mathrm{P}_{n+1}^m \quad(m \leq n)$
(2) $\mathrm{P}_{n+1}^{n+1}-\mathrm{P}_n^n=n^2 \cdot \mathrm{P}_{n-1}^{n-1}$

证明：
(1)

$$
\begin{aligned}
\mathrm{P}_n^m+m \cdot \mathrm{P}_n^{m-1} & =\frac{n!}{(n-m)!}+m \cdot \frac{n!}{(n-m+1)!} \\
& =\frac{(n-m+1) \cdot n!+m \cdot n!}{(n-m+1)!}=\frac{(n+1) \cdot n!}{(n-m+1)!} \\
& =\frac{(n+1)!}{[(n+1)-m]!}=\mathrm{P}_{n+1}^m
\end{aligned}
$$

所以原等式成立.

(2)

$$
\begin{aligned}
\mathrm{P}_{n+1}^{n+1}-\mathrm{P}_n^n & =(n+1)!-n!=(n+1) \cdot n!-n! \\
& =n \cdot n!=n^2 \cdot(n-1)! \\
& =n^2 \cdot \mathrm{P}_{n-1}^{n-1}
\end{aligned}
$$

所以原等式成立.

`例`用 0 到 9 十个数字，可以写出多少个没有重复数的三位数? 其中有多少个是偶数?

解:
(1) 第一步, 因为 0 不能放在百位的位置上, 所百位上的数有 9 种不同的选法,第二步是从余下的九个数字中任选两个数字放在十位个位上, 这有 $\mathrm{P}_9^2$ 种方法. 所以

$$
9 \cdot \mathrm{P}_9^2=9 \cdot 9 \cdot 8=648
$$

(2) 要得到三位偶数，必须个位上的数是 $0,2,6$ 或 8 . 但是 0 又不能排在百位上，这说明 0 怎样放在适合的置上是比其他问题要求更高的。所以我们还是把 0 元素的题先解决.

第一类， 0 放在个位上这一选法确定后，其余百位、十位可以从余下的九个数字中任选两个数字放上去，这有 $\mathrm{P}_9^2$ 种方法.

第二类, 个位上可放 $2,4,6,8$ 中的任一个，在这类方法中，第一步在个位上有 4 种选法，第二步，在百位上可以放除 0 以外所余的八个字数的任一个，故有八种选择方法. 第三步, 余下的八个数字均可以放在十位上, 所以

$$
\mathrm{P}_9^2+4 \times 8 \times \mathrm{P}_8^1=72+256=328
$$

答：有 648 个没有重复数字的三位数，其中有 328 个是偶数。

关于上例中的第一个问题, 我们还可以有如下的解法：
从 0 到 9 十个数字中任选三个数字排列总数为 $\mathrm{P}_{10}^3$. 但是其中 0 在百位上的数有 $\mathrm{P}_9^2$ 个. 所以

$$
\mathrm{P}_{10}^3-\mathrm{P}_9^2=10 \cdot 9 \cdot 8-9 \cdot 8=648
$$

`例`（1）有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个安排高二年级的 3 个课外兴趣小组参加，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
（2）有 5 个不同的科研小课题，高二年级的 3 个课外兴趣小组报名参加，每组限报一个，共有多少种不同的报名方法？

解（1）从 5 个不同的课题中选出 3 个，安排课外兴趣小组来参加，对应于从 5 个元素中取出 3 个元素的一个排列。因此，共有

$$
A_5^3=5 \times 4 \times 3=60
$$

种不同的安排方法．
（2）每个小组都可从 5 个不同的课题中选报一个，因此第一小组有 5 个不同的课题可以选择，第二小组也有 5 个不同的课题可以选择，第三小组仍然有 5 个不同的课题可以选择，根据分步乘法计数原理，一共有

$$
5 \times 5 \times 5=125
$$

种不同的报名方法．

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