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柱面
日期:
2022-12-30 18:50
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平行于定直线并沿定曲线 $C$ 移动的直线 $L$ 形成的轨迹叫做柱面 (见图 5-53). 其中定曲线 $C$ 称为柱面的准线，动直线 $L$ 称为柱面的母线.  例如，在平面解析几何中，方程 $x^2+y^2=R^2$ 表示 $x O y$ 面上圆心在原点 $O$ 半径为 $R$ 的圆. 在 空间直角坐标系中，这方程不含坚坐标 $z$ ，即 无论空间点的坚坐标 $z$ 怎样，只要他的横坐标 $x$ 和纵坐标 $y$ 能满足这方程，那么这些点就在这 曲面上. 因此, 这个曲面可以看成是由平行于 $z$ 轴的直线 $l$ 沿 $x O y$ 面上的圆 $x^2+y^2=R^2$ 移动而 形成的. 所以在空间解析几何中， $x^2+y^2=R^2$ 表示圆柱面 (见图 5-54)，准线为 $x O y$ 平面上 的一个圆，母线是平行于 $z$ 轴的直线.  一般地，设有一柱面，准线是 $x O y$ 面上的曲线 $C$ $$ \left\{\begin{array}{c} F(x, y)=0 \\ z=0 \end{array},\right. $$ 其母线平行于 $z$ 轴. 点 $M(x, y, z)$ 是柱面上任意 一点，过点 $M$ 作平行于 $z$ 轴的直线，交曲线 $C$ 于点 $M_1$. 显然点 $M_1$ 和 $M$ 有相同的横坐标和纵坐标 (见 图 5-53) . 由于点 $M_1(x, y, 0)$ 在曲线上，故它的坐 标满足的方程，即 $$ F(x, y)=0 \text {, } $$  $$ F(x, y)=0 $$ 又 (2) 式与 $z$ 无关，所以 $M(x, y, z)$ 的坐标也满足 (2) 式. 此外，对于不在柱面的点，它在 $x O y$ 面上的垂足不在曲线 $C$ 上，故其坐标 不会满足 (2) 式. 因此 (2) 式就是母线平行于 $z$ 轴，准线为曲线 $C$ 的柱面方程. 类似地，母线平行于 $x$ 轴，准线为 $y O z$ 面上的曲线 (见图 5-55) $$ \left\{\begin{array}{c} G(y, z)=0 \\ x=0 \end{array}\right. $$ 的柱面方程为 $$ G(y, z)=0 . $$ 母线平行于 $y$ 轴，准线为 $z O x$ 面上的曲线 $$ \left\{\begin{array}{c} H(x, z)=0 \\ y=0 \end{array}\right. $$ 的柱面方程为 $H(x, z)=0$.  母线是平行于坐标轴的柱面的特点 方程中一般只出现两个坐标元素，方程 可以表示为 $F(x, y)=0$ 或 $G(y, z)=0$ 或 $H(z, x)=0$. 它们分别表示母线平行 $z$ 轴、 $x$ 轴和 $y$ 轴的柱面，这些方程也称为三元不完全 方程. 例如，方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 表示母线平行于 $z$ 轴，准线为 $x O y$ 面上的椭圆周的椭 圆柱面 (见图 5-56)；方程 $y^2=2 p x$ 表示母线平行于 $z$ 轴，准线为 $x O y$ 面上的抛 物线的抛物柱面（见图 5-57）；  方程 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$ 表示母线平行于 $y$ 轴，准线为 $z O x$ 面上的双曲线的双曲柱 面 (见图 5-58). 
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