最后更新: 2025-03-28 19:01 查看: 1082 次反馈刷题

几类特殊的函数

## 几类特殊的函数
`例` 函数 $y=C$ ，其中 $C$ 为某确定的常数. 它的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ，值域 为 $W=\{C\}$ ，它的图形是一条平行于 $x$ 轴的直线(见图1-30)，这个函数称为常 数函数.

`例` 函数 $y=|x|=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \geq 0 \\ -x, & x<0\end{array}\right.$ 的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ，值域 $W=[0,+\infty)$ ， 它的图形 如图1-31所示，这个函数称为**绝对值函数**.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271214.png)

`例` 函数 $y=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cc}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ 的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ，值域 $W=\{-1,0,1\}$ ， 它的图形如图1-32所示, 这个函数称为**符号函数**.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271212.png)

`例` 设 $x$ 为任一实数，不超过 $x$ 的最大整数称 为 $x$ 的整数部分，记作 $[x]$. 函数 $y=[x]$ 的定义域 为 $D=(-\infty,+\infty)$ ，值域为整数集 $\mathbf{Z}$ ，它的图形如图1-33所示. 可以看出，它的图形在 $x$ 的整数值处出现跳跃，而跃度为 1 ，这个函数称为**取整函数**.
比如， $[0.5]=0 ，[\sqrt{3}]=1 ，[-0.5]=-1$, 一般地，有 $[x]=n$ ，当 $x \in[n, n+1) \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$

> 注意 $[-0.5]=-1$ 为 $-1$, 而不是$0$，也就是向左取整。

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271208.png)

在例２、例３ 等例子中看到， 有时一个函数要用几个式子表示， 这种自变量在不同变化范围中， 对应法则用不同的式子来表示的函数称为**分段函数**.  分段函数在实际问题中经常出现， 我们应重视对它的研究.

`例` 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^3, & x \geq 1, \\ x-1, & x<1\end{array}\right.$ 是一个分段函数, 它的定义域 $D=(-\infty,+\infty)$. 当 $x \in(-\infty, 1)$ 时，对应的函数值 $f(x)=x-1$ ； 当 $x \in[1,+\infty)$ 时，对应的函数值 $f(x)=x^3$. 它的图形如图134所示.
例如 $-1 \in(-\infty, 1)$ ，则 $f(-1)=-1-1=-2 ; 1 \in[1,+\infty)$ 则 $f(1)=1^3=1$.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271239.png)

## 狄利克雷函数

狄利克雷函数（英语：Dirichlet function）是定义在实数集$R$上的有理数集合Q的特征函数，通常记为$D（x）$。

他的定义为：当$x$为有理数，其值为1，当$x$为无理数其值为0.

该函数以德国数学家狄利克雷的名字命名。狄利克雷函数是一个典型的病态函数，提供了许多反例：它是处处不连续、处处极限不存在的可测函数，全体有理数$Q$为其周期。

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