椭球面

日期: 2022-12-30 18:52 查看: 75 次

由方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
确定的曲面称为椭球面. 当 $a=b=c$ 时即为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$. 当 $a, b ， c$ 中有两个相等时，其图形为旋转椭球面. 由此可知，旋转椭圆球面是椭球面的特 殊情形. 而球面则是椭球面的特殊情形.
（3）式容易看到，椭球面关于坐标面，坐标轴，原点都对称，且

$$
\frac{x^2}{a^2} \leq 1, \frac{y^2}{b^2} \leq 1, \frac{z^2}{c^2} \leq 1,
$$

即 $|x| \leq a,|y| \leq b,|z| \leq c$,
这说明椭球面完全包含在三对平行平面 $x=\pm a, y=\pm b, z=\pm c$ 所围成的长方体 中， $a, b, c$ 称为椭球面的半轴，原点称为椭圆的中心.

下面我们来讨论椭球面的形状.
首先，考察三个坐标面与椭球面的交线. 交线的方程分别为

$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \\
z=0
\end{array}, \quad\left\{\begin{array}{c}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \\
y=0
\end{array}, \quad\left\{\begin{array}{c}
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, \\
x=0
\end{array},\right.\right.\right.
$$

它们分别是三个坐标面上的椭圆.
其次，考察平行于坐标面的平面与椭球面的 交线. 用平行于 $x O y$ 面的平面 $z=h(|h| \leq c)$ 去截 椭球面（见图 5-59），
交线为 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2} \\ z=h\end{array}\right.$ ，

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230ca190d4.png)

它是在平面 $z=h$ 上的一个椭圆. 当 $|h|$ 由 0 逐渐增大到 $c$ 时，椭圆逐渐由大变 小，最后缩成一个点. 这些椭圆就形成了椭球面.
用平行于 $y O z$ 面的平面或平行于 $x O z$ 面的平面分别去截椭球面时，也有以上 类似的结果 (见图 5-60). 椭球面的形状如图 5-61 所示.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212300b26c31.png)
这种方法叫截痕法

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