空间曲线的参数方程

日期: 2022-12-30 18:59 查看: 74 次

如果说曲线作为两曲面的交线而形成一般方程，那么空间曲线也可以将其看 作空间点移动的轨迹而形成曲线的参数方程. 即有

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t), \\
z=\omega(t),
\end{array}\right.
$$

其中 $\varphi(t) ， \psi(t) ， \omega(t)$ 是连续的.
显然，随着 $t$ 的变化， $\varphi(t) ， \psi(t) ， \omega(t)$ 也在变化，而 $(x, y, z)$ 对应的点 $M$ 的 轨迹就形成曲线.
例 9 若空间一点 $M$ 在圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 上以角 速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转，同时又以线速度 $v$ 沿平行于 $z$ 轴 的正方向上升（其中 $\omega 、 v$ 是常数)，则点 $M$ 构成的图 形叫做螺旋线 (见图 5-68）. 试建立其参数方程.
解 取时间 $t$ 为参数，动点从 $A$ 点出发 经过 $t$ 时间运动到 $M$ 点.
$M$ 在 $x O y$ 面的投影 $N(x, y, 0)$,

$$
\left\{\begin{array}{c}
x=a \cos \omega t \\
y=a \sin \omega t \\
z=v t
\end{array}\right.
$$

螺旋线的参数方程还可以写成

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos \theta \\
y=a \sin \theta, \\
z=b \theta
\end{array} \quad\left(\theta=\omega t, b=\frac{v}{\omega}\right)\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos \omega t \\
y=a \sin \omega t \\
z=v t
\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230574282c.png)
螺旋线具有重要性质，即上升的高度与转过的角度成正比. 从而当 $\theta$ 从 $\theta_0$ 变化到 $\theta_0+\alpha$ 时，有 $z$ 的值由 $b \theta_0$ 变化到 $b \theta_0+b \alpha$ ，故当点 $M$ 转过角 $\alpha$ 时，点 $M$ 沿螺旋线上升了高 度 $b \alpha$. 特别当 $\alpha=2 \pi$, 点 $M$ 的高度 $h=2 b \pi$ ，称为螺距.
设空间曲线 $C$ 方程为 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right.$
消去 $z$ 可得方程 $H(x, y)=0$ ，
如果点 $M(x, y, z)$ 满足 (4)，则其中的 $x ， y$ 就必定满足 (5)，而 (5) 表示 一个母线平行于 $z$ 轴的柱面，因此曲线 $C$ 在柱面 (5) 上.
以曲线 $C$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴 (即垂直于 $x O y$ 面) 的柱面叫做曲线 $C$ 关 于 $x O y$ 面的投影柱面，而该投影柱面与 $x O y$ 面的交线叫做空间曲线 $C$ 在 (坐标面) $x O y$ 面上的投影曲线. (简称投影) . 因此曲线 $C$ 在 $x O y$ 面上的投影曲线为

$$
\left\{\begin{array}{c}
H(x, y)=0, \\
z=0 .
\end{array}\right.
$$

同理，在 (4) 式中消去 $x$ 或 $y$ ，可得平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的投影柱面 $R(y, z)=0$ 或 $T(y, z)=0$ ，
就得到相应的投影曲线为 $\left\{\begin{array}{c}R(y, z)=0, \\ x=0,\end{array}\right.$ 或投影曲线为 $\left\{\begin{array}{c}T(x, z)=0, \\ y=0 .\end{array}\right.$

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