最后更新: 2025-03-29 07:19 查看: 649 次反馈刷题

数列极限的计算

## 数列极限的计算
极限的定义只能用来验证极限，而不能计算数列的极限，所以下面给出数 列极限的运算法则.

**定理(数列极限的运算法则)** 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a ， \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=b$ ，则

(1) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n \pm y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n \pm \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a \pm b$ ； (加减法则)

(2) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n \cdot y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a \cdot b \quad$ ； (乘法法则)

(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{x_n}=\sqrt{\lim _{n \rightarrow \infty} x_n}=\sqrt{a}\left(x_n \geq 0, a \geq 0\right)  $ (交换法则)

(4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} x_n}{\lim _{n \rightarrow \infty} y_n}=\frac{a}{b}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=b \neq 0\right)$; (除法法则)

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4-7 n^2}{n^2+3}$
解 (1) 将分子、分母同时除以 $n^2$ ， 则有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4-7 n^2}{n^2+3}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(\frac{4}{n^2}\right)-7}{1+\left(\frac{3}{n^2}\right)}=\frac{0-7}{1+0}=-7
$$

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{n^2}$
解 利用等差数列求和公式， 可得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{n^2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2 n^2}=\frac{1}{2}
$$

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}}$
解  利用数列的交换法则，可得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}}=\sqrt{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\sqrt{1+0}=1
$$

`例`$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-1) \cdot n}\right)$
解  由 $\frac{1}{(n-1)^n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ ，可知

$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-1) \cdot n}\right) & =\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\right] \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\right] \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1
\end{aligned}
$$

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
解   先将分子有理化，再利用数列极限的运算法则，可得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0
$$

`例`$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^{n-1}}\right)$
解  利用等比数列求和公式， 可得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^{n-1}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)=\frac{3}{2}
$$

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