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自变量趋于有限值时的极限

## 自变量趋于有限值时的极限
一般地，当 $x \rightarrow x_0$ 时， $f(x)$ 无限接近于确定的数值 $A$ ，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 时的极限.
所谓 " $f(x)$ 无限接近于确定的数值"， 实质上等价要求 $|f(x)-A|$ 能任意小，而 这 "任意小" 又可用 $|f(x)-A|<\varepsilon$ (其中 $\varepsilon$ 为任给的正数)来刻画. 又由于这 "任 意小" 是在 $x \rightarrow x_0$ 的过程中实现的，也就是仅要求 $x$ 充分接近 $x_0$ 时， 使 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 就行了.

综上所述，得到 $x \rightarrow x_0$ 时函数极限的定义.
定义2 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$ ，对 于任意给定的正数 $\varepsilon$ (不论它多么小)，总存在正数 $\delta$ ， 使得当 $x$ 满足不等式 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 时函数的极限，记作

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A \text { 或 } f(x) \rightarrow A\left(x \rightarrow x_0\right) \text {. }
$$

定义2 也可简述为
$\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，那么 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$.
注 这里 $\delta$ 与 $\varepsilon 、 x_0$ 有关.

$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=A$ 的几何解释如下.
任意给定一正数 $\varepsilon$ ，作平行于 $x$ 轴的两直线: $y=A+\varepsilon$ 及 $y=A-\varepsilon$. 存在 $\delta>0$ ， 当 $x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)\left(x \neq x_0\right)$ 时，曲线 $f(x)$ 位于两条直线 $y=A+\varepsilon$ 及 $y=A-\varepsilon$ 之间(见 图1-42).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271348.png)

例 2 证明 $\lim _{x \rightarrow x_0} x=x_0$.
证明 $\forall \varepsilon>0$, 要使

$$
|f(x)-A|=\left|x-x_0\right|<\varepsilon ，
$$

只要取 $\delta=\varepsilon$ ，则当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon_{\text {～}}$ ～因此 $\lim _{x \rightarrow x_0} x=x_0$. 这个例子告诉我们， $y=x$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的极限值这一点的函数值 $x_0$. 比如当 $x \rightarrow 2$ 时 $y=x$ 的极限值就是 2 .

例 4 证明 $\lim _{x \rightarrow x_0} \sqrt{x}=\sqrt{x_0}\left(x_0>0\right)$.
$\forall \varepsilon>0$ ， 要使

$$
|f(x)-A|=\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|=\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{x_0}}\left|x-x_0\right|<\varepsilon
$$

即

$$
\left|x-x_0\right|<\sqrt{x_0} \varepsilon,
$$

又要求 $x \geq 0$ ，即 $\left|x-x_0\right| \leq x_0$ ，取 $\delta=\min \left\{x_0, \sqrt{x_0}\right\}$, 则当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有

$$
|f(x)-A|=\left|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right|<\varepsilon .
$$

**单侧极限**
如果 $x$ 仅从 $x_0$ 的右侧趋于 $x_0$ (记作 $x \rightarrow x_0^*$ ) 时， $f(x)$ 趋于 $A$ ，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限，记作

$$
f\left(x_0^{+}\right)=\lim _{\substack{x \rightarrow x_0^{+}}} f(x)=\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\\left(x>x_0\right)}} f(x)=A .
$$

如果 $x$ 仅从 $x_0$ 的左侧趋于 $x_0$ (记作 $x \rightarrow x_0^{-}$) 时， $f(x)$ 趋于 $A$ ，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 时的左极限，记作

$$
f\left(x_0^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\\left(x<x_0\right)}} f(x)=A .
$$

极限存在的充要条件: 左右极限存在且相等

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A \Leftrightarrow f\left(x_0^{+}\right)=f\left(x_0^{-}\right)=A
$$

因此如果 $f\left(x_0^{+}\right) 、 f\left(x_0^{-}\right)$中有一个不存在, 或两个虽存在
但不相等, 则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在.

例如，函数

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
x-1, & x<0 \\
0, & x=0 \\
x+1, & x>0
\end{array}\right.
$$

由于 $f\left(0^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x+1)=1$ ，

$$
f\left(0^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1,
$$

则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在（见图1-43所示)；
再比如， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x}$ 不存在，因为

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{x}=1, \\
& \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x}{x}=-1 .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271350.png)

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