二元函数的概念

日期: 2022-12-31 07:59 查看: 109 次

和一元函数一样，二元函数也是从实际问题中抽象出来的一个数学概念，例 如，圆柱体的体积 $V$ 和它的高 $h$ 及底面半径 $r$ 之间有如下的关系:

$$
V=\pi r^2 h \text { ， }
$$

当 $r, h$ 在集合 $\{(r, h) \mid r>0, h>0\}$ 内取值时，则有唯一的 $V=\pi r^2 h$ 与之对应.
又例如，二定量的理想气体的压强 $P$ ，体积 $V$ 和温度 $T$ 之间有如下的关系:

$$
P=\frac{R T}{V} \text {, }
$$

$P=\frac{R T}{V}$ 与之对应.
上面的两个实际问题说明，在一定的条件下，当两个变量在允许的范围内取 值时，另一个变量通过对应的法则有唯一的值与之对应. 由此我们得到了以下的 二元函数的定义.
定义 1 设 $D$ 是平面上的一个非空点集，如果对于 $D$ 内的任一点 $(x, y)$ ， 按 照某种法则 $f$ ，都有唯一确定的实数 $z$ 与之对应，则称 $f$ 是 $D$ 上的二元函数，
它在 $(x, y)$ 处的函数值记为 $f(x, y)$ ，即 $z=f(x, y)$ ，其中 $x, y$ 称为自变量， $z$ 称 为因变量.
点集 $D$ 称为该函数的定义域，数集 $\{z \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\}$ 称为该函数的值域.
按照定义，
在关系式 $V=\pi r^2 h$ 中， $V$ 是 $h, r$ 的二元函数，集合 $\{(r, h) \mid r>0, h>0\}$ 称为该 二元函数的定义域；
在关系式 $P=\frac{R T}{V}$ 中， $P$ 是 $T, V$ 的二元函数，集合 $\left\{(T, V) \mid T>T_0, V>0\right\}$ 称为 该二元函数的定义域.
与一元函数一样，二元函数的定义域也可作以下约定: 在一般的讨论用算式 表达的多元函数，就是使这个算式有意义的自变量的变化范围.
如二元函数 $z=f(x, y)$ ，就是使这个算式 $f(x, y)$ 有确定值 $z$ 的自变量 $x 、 y$ 的变化范围所确定的点集.
比如，函数 $z=\ln (x+y)$ 的定义域是满足不等式 $x+y>0$ 的点的全体，它是 一个点集: $D=\{(x, y) \mid x+y>0\}$ ；
函数 $z=\arcsin \left(x^2+y^2\right)$ 的定义域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ ；
例 1 求二元函数 $f(x, y)=\sqrt{3-x^2-y^2}$ 的定义域.
解 根据二次根式的定义， $x, y$ 必须满足不等式 $3-x^2-y^2 \geq 0$ ， 即

$$
x^2+y^2 \leq 3 \text {. }
$$

所求的函数 $f(x, y)=\sqrt{3-x^2-y^2}$ 的定义域为平面点集

$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 3\right\} .
$$

这是平面上圆心在原点，半径为 $\sqrt{3}$ 的圆.
例 2 求函数 $z=\ln \left(x^2+y^2-2 x\right)+\ln \left(4-x^2-y^2\right)$ 的定义域
解 由对数的定义域可知， $x, y$ 必须同时满足 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2 x>0, \\ 4-x^2-y^2>0,\end{array}\right.$ 解这个方程组 即得
$2 x<x^2+y^2<4$ ，从而函数的定义域为 $D=\left\{(x, y) \mid 2 x<x^2+y^2<4\right\}$.
例 3 已知函数 $f(x+y, x-y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ ，求 $f(x, y)$ 的表达式，并求 $f(2,1)$ 的值
解 设 $u=x+y ， v=x-y$ ， 则
故得

$$
x=\frac{u+v}{2}, y=\frac{u-v}{2} \text { ， }
$$

$$
f(u, v)=\frac{\left(\frac{u+v}{2}\right)^2-\left(\frac{u-v}{2}\right)^2}{\left(\frac{u+v}{2}\right)^2+\left(\frac{u-v}{2}\right)^2}=\frac{2 u v}{u^2+v^2},
$$

即有

$$
\begin{aligned}
& f(x, y)=\frac{2 x y}{x^2+y^2}, \\
& f(2,1)=\frac{4}{5} .
\end{aligned}
$$

$$
\text { 从而 } \quad f(2,1)=\frac{4}{5} \text {. }
$$

设函数 $z=f(x, y)$ 的定义域为 $D$ ，
对于任意取定的 $P(x, y) \in D$ ，对应的函数值为 $z=f(x, y)$ ，
这样，以 $x$ 为横坐标、 $y$ 为纵坐标、 $z$ 为坚坐标在空间就确定一点 $M(x, y, z)$ ，
当 $x$ 取遍 $D$ 上一切点时，得一个空间点集 $\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\}$ ，这 个点集称为二元函数的图形.
二元函数的图形是一张曲面，
例如
$z=3 x^2+4 y^2$ 就是一个椭圆抛物面
$z=x^2+y^2$ 的图形为旋转抛物面，
$z=\sqrt{a-x^2-y^2}$ 的图形为上半球面等.
类似地，可定义三元及三元以上函数. 当 $n \geq 2$ 时， $n$ 元函数统称为多元函数.

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