日期: 2023-10-01 11:28 查看: 281 次编辑导出

夹逼准则

这一节介绍两个重要极限的计算方法. 在正式介绍极限之前，我们需 要回忆一下三角函数的相关公式及二项式定理.
倍角公式： $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$

$$
\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x=1-2 \sin ^2 x=2 \cos ^2 x-1
$$

半角公式: $\sin x=2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

$$
\cos x=\cos ^2 \frac{x}{2}-\sin ^2 \frac{x}{2}=1-2 \sin ^2 \frac{x}{2}=2 \cos ^2 \frac{x}{2}-1
$$

和差化积公式： $\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

$$
\begin{aligned}
& \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \\
& \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\
& \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}
\end{aligned}
$$

二项式定理： $\quad(a+b)^n=C_n^0 a^n b^0+C_n^1 a^{n-1} b^1+C_n^2 a^{n-2} b^2+\cdots+C_n^k a^{n-k} b^k+\cdots+C_n^n a^0 b^n$

$$
=a^n b^0+\frac{n}{1 !} a^{n-1} b^1+\frac{n(n-1)}{2 !} d^{n^{n-2}} b^2+\cdots+\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !} a^{n-k} b^k+\cdots+a^0 b^n
$$

在介绍两个重要极限之前，需要先介绍两个推导重要极限的夹逼准 则和单调有界收敛准则.

准则 1 如果数列 $\left\{x_n\right\} 、\left\{y_n\right\}$ 及 $\left\{z_n\right\}$ 满足
(1) $\exists N_0 \in \mathbf{N}$ ，当 $n>N_0$ 时， $y_n \leq x_n \leq z_n$ ；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a ， \lim _{n \rightarrow \infty} z_n=a$ ，
那么数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
证明 $\forall \varepsilon>0$ ，
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a$ 可知， $\exists N_1>0$ ， 当 $n>N_1$ 时，恒有 $\left|y_n-a\right|<\varepsilon$ ， 即

$$
a-\varepsilon<y_n<a+\varepsilon \text {. }
$$

又由 $\lim _{n \rightarrow \infty} z_n=a ， \exists N_2>0$ ，当 $n>N_2$ 时，恒有 $\left|z_n-a\right|<\varepsilon$ ， 即

$$
a-\varepsilon<z_n<a+\varepsilon
$$

因此， $\forall \varepsilon>0$ ， 取 $N=\max \left\{N_0, N_1, N_2\right\}$ ，当 $n>N$ 时，有

$$
a-\varepsilon<y_n \leq x_n \leq z_n<a+\varepsilon
$$

即 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 故 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$.

利用数列收敛的夹逼准则，可以计算某些数列的极限.
例1 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right]$
解 设 $x_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}$ ， 则可知 $x_n$ 为 $n+1$ 项之和. 我们需要先对数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项进行适当的 “放缩" .
即有

$$
\frac{n+1}{4 n^2}=\frac{n+1}{(n+n)^2}<\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}<\frac{n+1}{n^2}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}
$$

因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{4 n^2}=0 ， \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right]=0$, 由夹逼准则得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right]=0
$$

准则 1 可以推广到函数的极限.
准则 1' 如果函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足:
（1）当 $x \in \stackrel{\circ}{U}\left(x_0, r\right)$ (或 $\left.|x|>X_0\right)$ 时， $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ；
(2) $\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\(x \rightarrow \infty)}} g(x)=A, \lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\(x \rightarrow \infty)}} h(x)=A$, (见图1-45)
则 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\(x \rightarrow \infty)}} f(x)$ 存在，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\(x \rightarrow \infty)}} f(x)=A$.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271421.png)

例2 已知 $\lim _{x \rightarrow x_0}|f(x)|=0$ ，证明 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0$.
解 由于 $-|f(x)| \leq f(x) \leq|f(x)|$ ，且

$$
\lim _{x \rightarrow x_0}|f(x)|=0, \quad \lim _{x \rightarrow x_0}[-|f(x)|]=-\lim _{x \rightarrow x_0}|f(x)|=0 \text { ， }
$$

由准则1'可得 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0$

例 3 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]$.
解 当 $x \neq 0$ 时, $\frac{1}{x}-1<\left[\frac{1}{x}\right] \leq \frac{1}{x}$ ，
因此，当 $x>0$ 时, $1-x<x\left[\frac{1}{x}\right] \leq 1$ ，由夹逼定理可得 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$ ， 当 $x<0$ 时，有 ${ }_{1-x>x}\left[\frac{1}{x}\right] \geq 1$ ， 由夹逼定理可得 $\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]=1 ，$. 从而

$$
\lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]=1 .

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