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高等数学
第一章 函数、连续与极限
第一重要极限 sinx/x
日期:
2023-10-01 11:28
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第一重要极限 sinx/x
观察正弦函数的图像(见图1-46)，可知当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \rightarrow 0$ ，那么这两个函数 的比值 $\frac{\sin x}{x}$ 的极限是否存在? 结果如何?  **证明 $\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1$** 在同济大学的《高等数学》第七版中，该证明在第一章第六节，书上大概是这么写的，在单位圆上，设圆心角 $\angle BAE=x\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$ 作$BE\perp AD$ ,过 $D$ 做切线与$AB$延长线交于 $F$, 容易知道 $\sin x=CB,\quad x=\overparen{AB}, \quad \tan x= DF$ 画在图上就是  从图中可以看出 $ \triangle AOB的面积 < 扇形AOB的面积 < \triangle AFD的面积 $ 很显然，在 $ x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) $ 时，上述面积关系一直存在 因此，算出面积后，可推出目标不等式： $ \frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2} \tan x \implies \sin x < x < \tan x ,\quad \left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right) $ 将上式除以 $\sin x$ 有 $ 1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x} $ 因为 $x$趋于0时, $ \dfrac{1}{\cos x} $ 趋近于1，根据夹逼定理，可以得到 $ \dfrac{x}{\sin x} =1$ 上式若用 “-x " 代替 “ $x$ "， 则上式形式不变， 表明 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 时， 上式仍成立. 因为 $0<|\cos x-1|=1-\cos x=2 \sin ^2 \frac{x}{2}<2\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{x^2}{2}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{2}=0$ ，由函数夹逼准则得 $\lim _{x \rightarrow 0}(1-\cos x)=0$ ，故 $\lim _{x \rightarrow 0} \cos x=1$. 且当 $0<|x|<\frac{\pi}{2}$ 时， $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$ ，由夹逼定理可得 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$. 注 由以上证明过程可推得结论 $\lim _{x \rightarrow x_0} \cos x=\cos x_0$ ，类似地还可以得到 $$ \lim _{x \rightarrow x_0} \sin x=\sin x_0 . $$ 我们由第一重要极限很容易得到下列结果(可以作为公式使用). (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=1$; (2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}=1 \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\tan x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\tan x}=1$; (3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}$; (4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}=\lim _{u \rightarrow 0} \frac{u}{\sin u}=1$ (当 $u=\arcsin x$ 时 $\left.x=\sin u\right)$; (5) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x}{x}=\lim _{u \rightarrow 0} \frac{u}{\tan u}=1$ (当 $u=\arctan x$ 时 $\left.x=\tan u\right)$ ； 例 4 计算下列极限: (1) $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}$; (2) $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sin \left(x^2-9\right)}{x-3}$; (3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x-\sin 2 x}{x^3}$; (4) $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin x-\sin a}{x-a}$, 解 (1) 令 $t=\frac{1}{x}$ ，当 $x \rightarrow \infty$ 时， $t \rightarrow 0$ ，因此 $$ \lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}=1 $$ 题 (2) $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sin \left(x^2-9\right)}{x-3}$ ； 解 (2 ) $\frac{\sin \left(x^2-9\right)}{x-3}$ 可以先变形为 $\frac{\sin \left(x^2-9\right)}{x^2-9}(x+3)$ ， 再由 $x \rightarrow 3$ 时 $\left(x^2-9\right) \rightarrow 0$ ， 可得 $$ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sin \left(x^2-9\right)}{x-3}=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sin \left(x^2-9\right)}{x^2-9} \lim _{x \rightarrow 3}(x+3)=1 \cdot 6=6 $$ (3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x-\sin 2 x}{x^3}$ 解 (3) 利用二倍角公式 $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$ 可得 $$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x-\sin 2 x}{x^3} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x-2 \sin x \cos x}{x^3} \\ & =2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1-\cos x}{x^2} \\ & =2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=1 \end{aligned} $$ 题 (4) $\quad \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin x-\sin a}{x-a}$ 解 (4) 利用和差化积公式可得 $$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin x-\sin a}{x-a} & =\lim _{x \rightarrow a} \frac{2 \cos \left(\frac{x+a}{2}\right) \sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{x-a} \\ & =\lim _{x \rightarrow a} \cos \left(\frac{x+a}{2}\right) \cdot \frac{\sin \left(\frac{x-a}{2}\right)}{\frac{x-a}{2}}=\cos a \end{aligned} $$ 注 最后一个等号应用了结论 $\lim _{u \rightarrow u_0} \cos u=\cos u_0$.
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