单调有界收敛准则

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 53 次更新导出Word

如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件

$$
x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq x_{n+1} \leq \cdots,
$$

则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是单调增加的；
如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件

$$
x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq x_{n+1} \geq \cdots ，
$$

则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是单调减少的；
单调增加或单调减少的数列简称单调数列.
在讨论数列极限的性质时曾指出，收敛数列必有界， 但有界数列末必收敛， 有界是数列收敛的必要条件，但如果是单调有界数列呢? 这就得到了单调有界 收敛准则.

准则 2 单调有界数列必有极限.
如果详细地说, 则有下列性质.
(1) 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加且有上界， 即存在数 $M$ ，使得 $x_n \leq M \quad(n=1,2,3, \cdots) \quad$ ，
那么 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 必存在(且极限 $\leq M$ ).
(2) 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调减少且有下界，即存在数 $m$ ，使得 $x_n \geq m \quad(n=1,2,3, \cdots) \quad$ ，
那么 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 必存在(且极限 $\geq m$ ).

对准则 2 我们不予证明，仅给出其几何解释.
在数轴上看(见图1-48)，
![图片](/uploads/2022-12/image_202212271428.png)
由于数列 $\left\{x_n\right\}$ 为单调的，故对应数列的点 $x_n$ 只可能向一个方向移动 (单调增 加数列只向右方移动， 单调减少数列只向左方移动)，所以只有两种可能: 点 $x_n$ 或移向无穷远处，或趋于某个确定的值. 但又由于数列有界， 因此数列不能趋于 无穷，这样，只能使数列 $\left\{x_n\right\}$ 趋于某个确定的值，也就是数列的极限.

例5 设 $x_n=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\cdots+\sqrt{3}}}}\left(n\right.$ 根式)，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，并求出极限. 证明 由 $x_n$ 的表达式可知 $x_{n+1}=\sqrt{3+x_n}$ 且 $x_{n+1}=\sqrt{3+x_n}>\sqrt{3+x_{n-1}}=x_n$, 即 $x_{n+1}>x_n$ ，因此可知 $\left\{x_n\right\}$ 是单调递增的.
因为 $x_1=\sqrt{3}<3$ ，假定 $x_k<3$ ， 则 $x_{k+1}=\sqrt{3+x_k}<\sqrt{3+3}<3$ ， 所以 $\left\{x_n\right\}$ 是有界的. 从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=A$.
由递推关系 $x_{n+1}=\sqrt{3+x_n}$, 得 $x_{n+1}^2=3+x_n$. 等式两边取极限，故 即 $A^2=3+A$ ，

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+1}^2=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(3+x_n\right) \text {, }
$$

解得 $A=\frac{1+\sqrt{13}}{2} A=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ (舍)
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$.

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