最后更新: 2025-03-29 08:34 查看: 708 次反馈刷题

无穷小与无穷大

## 无穷小
如果 $\lim f(x)=A$, 那么 $\lim (f(x)-A)=0$, 即任何一个极限存在的函数都可以转化为极限为零的函数. 这一类极限为零的函数具有非常重要的性质，所以我们需要把它们单独拿出来进行讨论.

在讨论数列和函数的极限时， 经常遇到以零为极限的变量. 例如， 变量 $\frac{1}{n}$ ， 当 $n \rightarrow \infty$ 时，其极限为 0 ；函数 $\frac{1}{x^2} $， 当$ x \rightarrow \infty$ 时，其极限为 0 ，函数 $x-1$ 当 $x \rightarrow 1$ 时，其极限为 $0 \ldots \ldots$ 这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统 称为无穷小量(简称为**无穷小**).

### 定义
设 $f(x)$ 在 $\stackrel{0}{U\left(x_0\right)}$ 内有定义，若 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ，则称函数 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_0$ 时 的无穷小.

注
(1) 无穷小与一个很小的确定的常数(如 $(\frac{1}{10^8})$ 不能混为一谈. 这是因为无穷小是个变量(函数). 自变量在某一变化过程中，其绝对值能小于任意给定的正数 $\varepsilon$. 但是 $\frac{1}{10^8}$ 做不到这一点.
(2) 讨论无穷小的时候， 要注意自变量的变化过程. 例如 $f(x)=\frac{1}{x}$ ，当 $x \rightarrow \infty$ 时是无穷小，而当 $x \rightarrow 1$ 时极限却是一个常数.
(3) 零是无穷小中唯一的常数.
由数列和函数四则运算性质可知， 在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小 的和，差，积都是无穷小，下面我们给出无穷小的另一个重要性质:

####  无穷小运算性质
在自变量的同一变化过程中， 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

`例` 求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}$.
 解 由于 $x \rightarrow \infty$ 时 $\frac{1}{x}$ 的极限为0， 故 $\frac{1}{x}$ 是当 $x \rightarrow \infty$ 时的无穷小. 而 $|\sin x| \leq 1$ 是有界函数，因此由无穷小运 算性质可知， $\frac{\sin x}{x}$ 是当 $x \rightarrow \infty$ 时的无穷小(见图1-49)， 即
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0$
![图片](/uploads/2022-12/image_202212271436.png)

> 注意：极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ , 而  $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0$ 别搞混淆了。

## 无穷大
我们仅就 $x \rightarrow x_0$ 的情形来定义无穷大.
设 $f(x)$ 在 $\stackrel{\circ}{U\left(x_0\right)}$ 内有定义，如果当 $x \rightarrow x_0$ 时，对应的函数的绝对值 $|f(x)|$ 无限增大， 就说 $f(x)$ 是当 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷大量.
精确地说， 有下述定义.
定义 如果
$\forall M>0 \quad \exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)|>M$ ，
则称函数 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷大量，简称无穷大，记作 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$.

若将上述 “ $|f(x)|>M$ "改成 $f(x)>M$ 或 $(x)<-M$ ，则有 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=+\infty$ ，称 $f(x)$ 为当 $x \rightarrow x_0$ 时的正无穷大， $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty$ ，称 $f(x)$ 为当 $x \rightarrow x_0$ 时的负无穷大.
注 这里 $\lim _{x \rightarrow \infty \infty} f(x)=\infty$ 只是借用了极限的符号，并不意味着函数 $f(x)$ 存在极限， 因为无穷大 $\infty$ 不是数，不可与绝对值很大的常数混淆，无穷大是绝对值无限 增大的变量.

`例` 证明 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}=\infty$.
证明 $\forall M>0$ ，要使 $\left|\frac{1}{x-1}\right|>M$ ，即 $|x-1|<\frac{1}{M}$ ，取 $\delta=\frac{1}{M}$ ，则当 $0<|x-1|<\delta$ 时，恒 有 $\left|\frac{1}{x-1}\right|>M$ ，因此 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}=\infty$.
直线 $x=1$ 是函数 $y=f(x)$ 图形的铅直渐近线 (见图1-50).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271438.png)

注 若 $\lim _{x \rightarrow i} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow 6} f(x)=\infty$ ，则直线 $x=x_0$ 称为函数 $y=f(x)$ 图形的铅直渐近线.

`例` 求曲线 $y=\frac{4 x-1}{(x-1)^2}$ 的渐近线方程.
解 因为 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{4 x-1}{(x-1)^2}=\infty$ ，所以 $x=1$ 是曲线的铅直渐近线；
因为 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x-1}{(x-1)^2}=0$ ， 所以 $y=0$ 是曲线的水平渐近线.
*注 若 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\(x \rightarrow \infty)}} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$ 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\(x \rightarrow \infty)}}[f(x)-a x]=b$ ，则直线 $y=a x+b$ 是函数 $y=f(x)$ 图形的
斜渐近线.

## 常见等价无穷小
$$
\begin{aligned}
&\sin x \sim x \\
&1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2 \\
&\tan x \sim x \\
&\arctan x \sim x \\
&\arcsin \mathrm{x} \sim \mathrm{x} \\
&\mathrm{a}^{\mathrm{x}}-1 \sim x \ln a \\
&\ln (1+x) \sim x \\
&(1+\beta x)^\alpha-1 \sim a \beta x \\
&\log _a(1+\mathrm{x}) \sim \frac{x}{\ln a} \\
&x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}  \\
&a^x-1 \sim x \ln a \\
&\arcsin (a) x \sim \sin (a) x \sim(a) x \\
&\arctan (a) x \sim \tan (a) x \sim(a) x \\
&\ln (1+x) \sim x \\
&\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \sim x \\
&(1+a x)^b-1 \sim a b x \\
&\sqrt[b]{1+a x}-1 \sim \frac{a}{b} x \\
&1-\cos x \sim \frac{x^2}{2} \\
&x-\ln (1+x) \sim \frac{x^2}{2} \\
&\tan x-\sin x \sim \frac{x^3}{2} \\
&\tan x-x \sim \frac{x^3}{3}  \\

&x-\arctan x \sim \frac{x^3}{3} \\
&x-\sin x \sim \frac{x^3}{6} \\
&\arcsin x-x \sim \frac{x^3}{6}
\end{aligned} 
$$

> 完整的等价无穷小见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274)

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