最后更新: 2025-03-29 08:55 查看: 695 次反馈刷题

无穷小与无穷大比较与等价无穷小

## 无穷小和无穷大之间存在密切的关系
定理：
$(1)$ 如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；
$(2)$ 如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x) \neq 0$ ，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大.

证明略。

通过$y=\dfrac{1}{x}$ 可以很容易理解，当$x \to 0$ 其值无穷大，当 $x \to \infty$,其值为0.
 ![图片](/uploads/2024-10/b97532.jpg){width=300px}

`例` 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x+5}{3 x^2-2 x-1}$.
解 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x^2-2 x-1}{2 x+5}=\frac{3 \cdot 1^2-2 \cdot 1-1}{2 \cdot 1+5}=0$.
由无穷小与于穷大的关系，有

$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x+5}{3 x^2-2 x-1}=\infty .
$$

## 无穷小的比较
一般情况下，两个无穷小的商的极限由于不遵循极限的运算法则，且不能 立刻判断其极限是否存在， 因此， 这类极限通常称为末定式极限. 末定式极限各不相同，反映了作为分子、分母的两个无穷小于零的 “快慢” 程 度不同.

当 $x \rightarrow 0$ 时， $x^2$ 趋于零的速度比 $x$ "快" ， $x$ 趋于零的速度比 $x^2$ "慢" ，而 $\sin x$ 与 $x$ 趋于零的速度 “差不多" .

如果用精确的数学语言来描述这 “快” 与 “慢” 的程度，则有

### 定义  
设 $\alpha 、 \beta$ 为自变量的同一变化过程中的无穷小，且 $\alpha \neq 0$. 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ ，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ **高阶的无穷小**，记作 $\beta=o(\alpha)$ ；

若 $\lim \frac{\alpha}{\alpha}=\infty ，$ 则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ **低阶的无穷小**；

若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=C \neq 0$ ， 则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的**同阶无穷小**；

特别当 $C=1$ 时，则称 $\beta$ 和 $\alpha$ 是**等价无穷小**，记作 $\alpha \sim \beta$;

若 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=C \neq 0(k>0)$ ，则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小.

### 常见无穷小比较
由此定义可以得到一些常见的无穷小比较的例子.
例如，由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{3 x}=0$ 知，当 $x \rightarrow 0$ 时， $x^2$ 是比 $3 x$ 高阶的无穷小，记作 $x^2=o(3 x)(x \rightarrow 0)$ ；

由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ 知，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小，记作 $\sin x \sim x(x \rightarrow 0)$ ；

由 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=2$ 知，当 $x \rightarrow 1$ 时， $x^2-1$ 是 $x-1$ 的同阶无穷小；

由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ 知，当 $x \rightarrow 0$ 时， $1-\cos x$ 是关于 $x$ 的二阶无穷小，也称 $1-\cos x$ 和 $x^2$ 是同阶无穷小.

`例` 证明: 当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sqrt{x+1}-1 \sim \frac{1}{2} x$.
证明
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\frac{1}{2} x} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2[(1+x)-1]}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sqrt{1+x}+1}=1
\end{aligned}
$$

我们还可以得到一个更一般的结论:

$$
x \rightarrow 0 \text { 时， }(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x \quad(\alpha \in \mathrm{R}, \alpha \neq 0) \text {. }
$$

## 等价无穷小应用

`例` $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^2+2 x}$
解   当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \sim x$ ， 所以

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^2+2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2+2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(x+2)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x+2}=\frac{1}{2} ;
$$

`例`) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln ^2(1+x)}{1-\cos x}$
解  当 $x \rightarrow 0$ 时， $\ln (1+x) \sim x ， 1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2$ ，所以

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln ^2(1+x)}{1-\cos x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}}=2
$$

`例` $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\arctan x}$

题 当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sqrt{1+x} \sim \frac{1}{2} x ， \arctan x \sim x$ ，所以

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\arctan x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x}{\frac{2}{x}}=\frac{1}{2}
$$

`例`求 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^a}{x-a}$.
解 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^a}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^a\left(\mathrm{e}^{x-a}-1\right)}{x-a}=\mathrm{e}^a \lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^{x-a}-1}{x-a}=\mathrm{e}^a \cdot 1=\mathrm{e}^a$ 其中 $\mathrm{e}^{x-a}-1 \sim x-a \quad(x \rightarrow a)$.

`例` 当 $x \rightarrow 0$ 时， $\left(1+\alpha x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 为等价无穷小，求常数 $\alpha$ 的值.
解 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\alpha x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1}{\cos x-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} \alpha x^2}{-\frac{1}{2} x^2}=-\frac{2}{3} \alpha=1$ ，
得 $\alpha=-\frac{3}{2}$.

>注意：等价无穷小只能用于乘除，不能用于加减

## 常见等价无穷小列表
http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：无穷小与无穷大

下一篇： 0/0 与 ∞/∞ 未定型求法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)