二元函数的最大值与最小值

日期: 2022-12-31 12:46 查看: 81 次

在本章第一节已指出，如果函数 $z=f(x, y)$ 在闭区域上连续，那么他在闭区 域上一定有最大值和最小值. 函数最大值和最小值的求法，与一元函数的解法类 似，可以利用函数的极值来求. 求函数 $f(x, y)$ 的最大值和最小值的一般步骤为:
(1) 求函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内所有驻点处的函数值;
(2) 求 $f(x, y)$ 在 $D$ 的边界上的最大值和最小值;
(3) 将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者 即为最小值.

例 18 求函数 $f(x, y)=x^2-2 x y+2 y$ 在矩形域
$D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 2\}$ 上的最大值和最小值.
解 先求函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内驻点. 由 $f_x=2 x-2 y=0, f_y=-2 x+2=0$ 求得 $f$ 在 $D$ 内部的唯一驻点 $(1,1)$, 且 $f(1,1)=1$. 其次求函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 的边界上的最大值和 最小值.
如图 6-17 所示.区域 $D$ 的边界包含四条直线 段 $L_1, L_2, L_3, L_4$.
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例 18 求函数 $f(x, y)=x^2-2 x y+2 y$ 在矩形域

$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 2\} \text { 上的最大值和最小值. }
$$

在 $L_1$ 上 $y=0, f(x, 0)=x^2, 0 \leq x \leq 3$. 这是 $x$ 的单调增加函数，故在 $L_1$ 上 $f$ 的最大 值为 $f(3,0)=9$, 最小值为 $f(0,0)=0$.
同样在 $L_2$ 和 $L_4$ 上 $f$ 也是单调的一元函数，易得最大值、最小值分别为

$$
f(3,0)=9, f(3,2)=1 \text { (在 } L_2 \text { 上)， } f(0,2)=4, f(0,0)=0 \text { (在 } L_4 \text { 上)， }
$$

而在 $L_3$ 上 $y=2, f(x, 2)=x^2-4 x+4,0 \leq x \leq 3$, 易求出 $f$ 在 $L_3$ 上的最大值 $f(0,2)=4$, 最小值 $f(2,2)=0$.
将 $f$ 在驻点上的值 $f(1,1)$ 与 $L_1, L_2, L_3, L_4$ 上的最大值和最小值比较,最后得到 $f$
在 $D$ 上的最大值 $f(3,0)=9$, 最小值 $f(0,0)=f(2,2)=0$.
在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数 $f(x, y)$ 的 最大值 (最小值) 一定在 $D$ 的内部取得，而函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内只有一个驻点， 则可以肯定该驻点处的函数值就是函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的最大值 (最小值).
例 19 某厂要用铁板做成一个体积为 $2 m^3$ 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.
解 设水箱的长为 $x m$, 宽为 $y m$, 则其高应为 $\frac{2}{x y} m$. 此水箱所用材料的面积

$$
A=2\left(x y+y \cdot \frac{2}{x y}+x \cdot \frac{2}{x y}\right)=2\left(x y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\right)(x>0, y>0) .
$$

此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点 $(x, y)$.

$$
\text { 令 } A_x=2\left(y-\frac{2}{x^2}\right)=0 ， A_y=2\left(x-\frac{2}{y^2}\right)=0 \text {. }
$$

解这方程组，得唯一的驻点 $x=\sqrt[3]{2} ， y=\sqrt[3]{2}$.
根据题意可断定, 该驻点即为所求最小值点.
因此当水箱的长为 $\sqrt[3]{2} m$ 、宽为 $\sqrt[3]{2} m$ 、高为 $\frac{2}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{2} m$ 时，水箱所用的材料最省.
注 体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小.

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