最后更新: 2025-06-27 10:28 查看: 725 次反馈同步训练

导数的定义

## 导数的定义
设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 在 $x_0$ 处增量为 $\Delta x$ $\left(x_0+\Delta x\right.$ 在该邻域内）时，相应地，函数有增量 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

如果

$$
\boxed{
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
}
$$

存在，则称该极限为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为

$$
\left.f^{\prime}\left(x_0\right) , \quad y^{\prime}\right|_{x=x_0},\left.\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0} \text { 或 }\left.\dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_0}
$$

这时也称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导。

如果该极限不存在，称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处不可导.

特别地，如果 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$ 时，也称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数为无穷大.
 
## 导数的几何意义
在高中导数教材里，介绍了导数的两种几何意义：
（1）曲线的切线。
（2）物体的瞬时速度
详细介绍请参考 [高中版导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1396)

> 把曲线的导数理解为速度，在简单的情况下更容易理解。即$f=f(x)$, 一阶导数是速度$v$, $v$的导数是加速度$a$,所以，$f$的二阶导数就是加速度$a$， 后续在学习 [偏导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=381) 例进一步可以看到，所谓对$x,y$ 求偏导，就是求$x,y$ 方向上速度的分量。

### 把实数导数推广到复数导数
下面将从另外一个角度带你理解**实数导数的几何意义**，这个思维基本上所有教材上都不说的。在常规的实数的微积分中，我们有一个很强有力的手段使一个由 $R$ 到 $R$ 的函数 $f$ 的导数 $f^{\prime}$ 可视化，即看作 $y=f(x)$ 的图像的斜率．见图 4－6a．如果我们首先简单地把两个坐标轴拆散，使图 $4－6a$ 变成图 $4-6 b$ 。注意，我们把两个$x,y$轴都画成了水平方向，即 $R$ 都画在水平方向上，预示着它们将仅仅被看作两个复平面的实轴．

![图片](/uploads/2025-06/0f42b6.jpg)

我们看到一阶导数 $ f^{\prime}(x) $ 描述的 $df=f'dx$ 意义是：

> 当 $x$ 点的无穷小向量增加$\Delta{x}$时，$y$的无穷小向量增加$f'(x) \Delta x$, 即像的伸缩倍数是原像的 $f'(x)$ 倍。

用更为代数化的语言来说，$f^{\prime}(x)$ 就是这样一个实数,初始向量一定要乘上它才能得到其象,示意图如下

![图片](/uploads/2025-06/4e6ca8.jpg)
 
即 **$f$ 对 $x$ 处的无穷小向量 $d x$ 的局部效果都是先按因子 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 伸缩，再旋转一个角 $\arg \left[f^{\prime}(x)\right]$** 。

![图片](/uploads/2025-06/12ef85.jpg)
 
如果采用这种思想理解导数，就可以很容易推广到复数的导数，详见 [复数的导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=847)

## 基本例题

`例`  求$y=x^2$, 在点 $x=0$ 处的导数(如下图)
![图片](/uploads/2022-12/image_20221227d3e277d.png){width=300px}
解： 根据导数的定义

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(0+\Delta x)^2-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta x=0 
$$

`例` 已知 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 
解：根据导数的定义进行求导， 因为 $f(0)=0$ ，

$$
f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}(x+1)(x+2)(x+3)=6 .
$$

`例` 根据定义证明 $f(x)=e^x$ 的导数$f'(x)=e^x$。
解： $f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^x\left(e^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}$ ．

$$
\begin{aligned}
& \text{令} t=e^{\Delta x}-1, \Delta x=\ln (1+t) \\
& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{t}{\ln (1+t)}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (1+t)^{\frac{1}{t}}}=\frac{1}{\ln e}=1
\end{aligned}
$$

所以 $f'(x)=e^x$

导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个 更一般性、也更抽象的概念. $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是函数 $y=f(x)$ 在 $\left[x_0, x_0+\Delta x\right]$ 上的平均变化率，而导数 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d}}\right|_{x=x_0}$ 则反映函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的瞬时变化率，它实 际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度" .

## 可导
如果 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的每一点处均可导，则称 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导. 这时 $(a, b)$ 内的每一点都对应一个导数值，由函数的定义就可以得到一个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，记作 $f^{\prime}(x) ， y^{\prime}$ ， $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 或 $\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$ ，
即有 $f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
显然，函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，就是导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\left.f^{\prime}(x)\right|_{x=x_0}$

`例` 求函数 $y=x^3$ 在 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime}(1)$.
解 当 $x$ 由 1 变到 $1+\Delta x$ 时，函数相应的增量为

$$
\begin{aligned}
& \Delta y=(1+\Delta x)^3-1^3=3 \cdot \Delta x+3 \cdot(\Delta x)^2+(\Delta x)^3 \\
& \frac{\Delta y}{\Delta x}=3+3 \Delta x+(\Delta x)^2,
\end{aligned}
$$

所以

$$
f^{\prime}(1)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(3+3 \Delta x+(\Delta x)^2\right)=3
$$

`例` 设 $f^{\prime}(0)$ 存在，试求下列各极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{x}$
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$, 其中 $f(0)=0$
解 (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{x}=\lim _{2 x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{\frac{1}{2} \cdot(2 x-0)}=2 \cdot \lim _{2 x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{2 x-0}=2 f^{\prime}(0)$;
(2) 因为 $f(0)=0$, 于是 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)$.

下面根据导数的定义求一些简单函数的导数.

`例` 求 $f(x)=C(C$ 为常数)的导数.
解

$$
(C)^{\prime}=\lim _{\Delta \mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{C-C}{\Delta x}=0
$$

`例` 求 $f(x)=x^n$ ( $n$ 为正整数)的导数.
解 $\left.\left(x^n\right)^{\prime}\right|_{x=x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0}\left(x^{n-1}+x_0 x^{n-2}+\cdots+x_0^{n-1}\right)=n x_0^{n-1}$ 即 $\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1}$.

一般地，当 $x \neq 0 ， y=x^\mu$ 有定义时，

$$
\left(x^\mu\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^\mu-x^\mu}{\Delta x}=x^\mu \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\mu-1}{\Delta x}=x^\mu \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\mu \frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\mu x^{\mu-1}
$$

当 $x=0$ 时， $y=x^\mu$ 有定义时也有上式成立. 例如，取 $\mu=\frac{1}{2}$ ，则有 $(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ； 取 $\mu=-1$ ，则有 $\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$.

`例` 求 $f(x)=\sin x$ 的导数.
解

$$
(\sin x)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=\cos x
$$

同理 $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$

`例` 求 $f(x)=a^x(a>0, a \neq 1)$ 的导数.
解 $\left(a^x\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x \lim _{\Delta x \righ

其他版本
【数学分析】导数的定义【复变函数与积分变换】复数的导数与微分【数学分析】导数的概念与定义【高中数学】导数的意义-瞬时速度与图像切线【数学分析】微分的几何意义【数学分析】左侧导数与右侧导数

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