最后更新: 2025-03-30 10:35 查看: 571 次反馈刷题

导数的定义

## 导数的定义
设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 在 $x_0$ 处增量为 $\Delta x$ $\left(x_0+\Delta x\right.$ 在该邻域内）时，相应地，函数有增量 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

如果

$$
\boxed{
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
}
$$

存在，则称该极限为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为

$$
\left.f^{\prime}\left(x_0\right) , \quad y^{\prime}\right|_{x=x_0},\left.\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0} \text { 或 }\left.\dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_0}
$$

这时也称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导。

如果该极限不存在，称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处不可导.

特别地，如果 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$ 时，也称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数为无穷大.

>注意：此处导数为大学版，要参考高中版导数的定义请参考[高中版导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1396)

## 基本例题

`例`  求$y=x^2$, 在点 $x=0$ 处的导数(如下图)
![图片](/uploads/2022-12/image_20221227d3e277d.png){width=300px}
解： 根据导数的定义

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(0+\Delta x)^2-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta x=0 
$$

`例` 已知 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 
解：根据导数的定义进行求导， 因为 $f(0)=0$ ，

$$
f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}(x+1)(x+2)(x+3)=6 .
$$

`例` 根据定义证明 $f(x)=e^x$ 的导数$f'(x)=e^x$。
解： $f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^x\left(e^{\Delta x}-1\right)}{\Delta x}$ ．

$$
\begin{aligned}
& \text{令} t=e^{\Delta x}-1, \Delta x=\ln (1+t) \\
& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{t}{\ln (1+t)}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{\ln (1+t)^{\frac{1}{t}}}=\frac{1}{\ln e}=1
\end{aligned}
$$

所以 $f'(x)=e^x$

导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个 更一般性、也更抽象的概念. $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是函数 $y=f(x)$ 在 $\left[x_0, x_0+\Delta x\right]$ 上的平均变化率，而导数 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d}}\right|_{x=x_0}$ 则反映函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的瞬时变化率，它实 际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度" .

## 可导
如果 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的每一点处均可导，则称 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导. 这时 $(a, b)$ 内的每一点都对应一个导数值，由函数的定义就可以得到一个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，记作 $f^{\prime}(x) ， y^{\prime}$ ， $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 或 $\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$ ，
即有 $f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
显然，函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，就是导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\left.f^{\prime}(x)\right|_{x=x_0}$

`例` 求函数 $y=x^3$ 在 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime}(1)$.
解 当 $x$ 由 1 变到 $1+\Delta x$ 时，函数相应的增量为

$$
\begin{aligned}
& \Delta y=(1+\Delta x)^3-1^3=3 \cdot \Delta x+3 \cdot(\Delta x)^2+(\Delta x)^3 \\
& \frac{\Delta y}{\Delta x}=3+3 \Delta x+(\Delta x)^2,
\end{aligned}
$$

所以

$$
f^{\prime}(1)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(3+3 \Delta x+(\Delta x)^2\right)=3
$$

`例` 设 $f^{\prime}(0)$ 存在，试求下列各极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{x}$
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$, 其中 $f(0)=0$
解 (1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{x}=\lim _{2 x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{\frac{1}{2} \cdot(2 x-0)}=2 \cdot \lim _{2 x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(0)}{2 x-0}=2 f^{\prime}(0)$;
(2) 因为 $f(0)=0$, 于是 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)$.

下面根据导数的定义求一些简单函数的导数.

`例` 求 $f(x)=C(C$ 为常数)的导数.
解

$$
(C)^{\prime}=\lim _{\Delta \mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{C-C}{\Delta x}=0
$$

`例` 求 $f(x)=x^n$ ( $n$ 为正整数)的导数.
解 $\left.\left(x^n\right)^{\prime}\right|_{x=x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0}\left(x^{n-1}+x_0 x^{n-2}+\cdots+x_0^{n-1}\right)=n x_0^{n-1}$ 即 $\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1}$.

一般地，当 $x \neq 0 ， y=x^\mu$ 有定义时，

$$
\left(x^\mu\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^\mu-x^\mu}{\Delta x}=x^\mu \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\mu-1}{\Delta x}=x^\mu \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\mu \frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\mu x^{\mu-1}
$$

当 $x=0$ 时， $y=x^\mu$ 有定义时也有上式成立. 例如，取 $\mu=\frac{1}{2}$ ，则有 $(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ； 取 $\mu=-1$ ，则有 $\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$.

`例` 求 $f(x)=\sin x$ 的导数.
解

$$
(\sin x)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=\cos x
$$

同理 $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$

`例` 求 $f(x)=a^x(a>0, a \neq 1)$ 的导数.
解 $\left(a^x\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a$
特别地，当 $a=\mathrm{e}$ 时， $\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x \ln \mathrm{e}=\mathrm{e}^x$ ， 即以 $\mathrm{e}$ 为底的指数函数的导数就是它本身.

`例` 求 $f(x)=\log _a x(a>0, a \neq 1)$ 的导数.
解

$$
\left(\log _a x\right)^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\log _a(x+\Delta x)-\log _a x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\log _a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{\Delta x}{x}}{\Delta x \cdot \ln a}=\frac{1}{x \ln a}
$$

特别地， $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$

## 导数与连续的关系
 函数连续可导的关系是：函数连续不一定可导，但是可导一定连续。
 一个比较经典的函数是$y=|x|$
 
 `例` 求 $y=|x|$ 在 $x=0$ 的导数
 解：对于函数 $y=|x|$, 在点 $x=0$ 处（见图2-8)，其图像如下：
 ![图片](/uploads/2022-12/image_2022122766cccdd.png){width=300px}
 
 根据导数的定义：
 $f'(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$ ，
 
可以看到，当$x$从右侧趋近于零时，其值为1
当当$x$从左侧趋近于零时，其值为-1, 这表示当$x$趋近于零，其值不是唯一的（也就是不存在），所以，$y=|x|$ 在$x=0$处不可导（但是从图上看，他是连续的）。

## 导数的记法
牛顿Newton最先在字母头上写一个点来表示求导
$\dot{y}$ 和 $\ddot{y}$
而拉格朗日Lagrange则倾向于使用敉

$$
\left(f^{\prime}\right)^{\prime}=f^{\prime \prime}
$$

对于求导，还有其他的标记方式，如莱布尼兹Leibniz喜欢用

$$
\frac{d y}{d x}, \frac{d^n y}{d x^n}
$$

或其他形式来表示导数。牛顿的导数记法在振动力学中经常用来表示对时间t的求导，而拉格朗日的记法一般用来表示对坐标x求导。

还有欧拉对导数的记法也有不同。这几位大咖要么是微积分的发明人，要么是在数学和力学领域及其重要的先驱，因此他们的记法有些一直沿用至今。

## 考研练习
导数的定义是
 ![图片](/uploads/2025-03/4725df.jpg)
 
 注意：
（1）导数定义的分子是函数 $f(x)$ 在某固定点 $x_0$ 的增量；框内的部分不管表达式多么复杂必须是完全一样的无穷小量；＂$-f\left(x_0\right)$＂是常数即不能有任何变量．
（2）极限过程 $\Delta x$（或 $x-x_0$ ）必须是从＂ 0 ＂点的左右两边都趋于＂ 0 ＂，这样才是导数的定义．

`例` 例 1 设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导的充要条件是 $( B )$ ．
（A） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在
（B） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1- e ^h\right)$ 存在
（C） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在
（D） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h)-f(h)}{h}$ 存在
解（A）$h \rightarrow 0$ 时， $1-\cos h \rightarrow 0^{+}$，由导数定义即知（A）错误。
（C） 原极限 $=\lim _{\substack{h \rightarrow 0 \\ h-\sin h \rightarrow 0}} \frac{f(0+h-\sin h)-f(0)}{h-\sin h} \cdot \frac{h-\sin h}{h^2}$ ，而 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h-\sin h}{h^2}=0$ ，因有界函数与无穷小的乘积是无穷小．记住 $\frac{|\square|}{\square}$ 是有界函数（取值为 $\pm 1$ ，其绝对值 $\leqslant 1$ ），但是当 $\square \rightarrow 0$ 时极限不存在．此题可取 $f(x)=|x|$ ，知（C）错误．
（D）的错误推导：

$$
\begin{aligned}
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h)-f(h)}{h} & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+2 h)-f(0)-[f(0+h)-f(0)]}{h} \\
& \not \approx 2 \lim _{2 h \rightarrow 0} \frac{f(0+2 h)-f(0)}{2 h}-\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f^{\prime}(0) .
\end{aligned}
$$

因为不知道 $f^{\prime}(0)$ 是否存在．
反 例：令 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ，显然 $f^{\prime}(0)$ 不存在，但由（D）有 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h)-f(h)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{h}=0$ ，矛盾．

事实上， $2 \lim _{2 h \rightarrow 0} \frac{f(0+2 h)-f(0)}{2 h}$ 和 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ ，这两个极限都不存在（为 $\infty$ ），故（D）错误。

`例`设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导,则 $f(|x|)$ 在点 $x=0$ 处可导的充分必要条件是
A. $f(0)=0$
B. $f^{\prime}(0)=0$
C.  $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=0$
D.  $f(0)=0$ 或 $f^{\prime}(0)=0$
解： 因为 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime}(0)$, 所以

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(|x|)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime}(0), \\
& \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(|x|)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(-x)-f(0)}{x}=-f^{\prime}(0),
\end{aligned}
$$

于是 $f(|x|)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件为 $f^{\prime}(0)=-f^{\prime}(0)$, 即 $f^{\prime}(0)=0$.

`例`设函数 $f(x)$ 连续, 给出下列四个条件
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在;
(3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在;
其中能得到 " $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导"的条件个数是( )
A.1 
B.2 
C.3 
D.4
【参考解答】: (1) 设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}=A$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0}[|f(x)|-f(0)]=0$ ，由 $f(x)$连续，可得 $\lim _{x \rightarrow 0}|f(x)|=|f(0)|=f(0)$ ，即 $f(0)=0$ 或 $f(0)>0$. 若 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}=A$. 于是可得

$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|f(x)|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left|\frac{f(x)}{x}\right|=A, \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|f(x)|}{x}=-\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left|\frac{f(x)}{x}\right|=A
$$

故 $A=0$. 如果 $f(0)>0$ ，则存在 $U_0(0)$ ，使得 $f(x)>0$ ，故

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=A
$$

即 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 故(1)正确. 由此也可以推知(3)正确.
(2) 设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}=A$ ，类似可得 $f(0)=0$ 或 $f(0)>0$ ，即

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A=f^{\prime}(0) \text { ，或 } \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=A=f^{\prime}(0)
$$

即 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，故(2)正确.
(4) 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在，可知 $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可

导，故(4)正确.
综上可知四个选项都正确，故正确选项为【D】.

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