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切线与法线方程

## 平面曲线的切线与法线
### 切线方程
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数在几何意义上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线的斜率，即

$$
k=\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

已知一条直线过M点，并且知道他的斜率，很容易写出他的切线方程为 
$$
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
}
$$

### 法线方程
我们定义与切线垂直的直线称为**法线**，由高中知识知道：当两个直线垂直时，斜率乘积为-1，详见[高中向量]( http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=689)

所以，法线的斜率为$k_n=-\dfrac{1}{f^{\prime}(x_0)}$

由此得法线方程为

$$
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right)\left(f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0\right)
}
$$

### 曲线、切线和法线关系如下图

![图片](/uploads/2025-01/53cfda.jpg){width=300px}
 
 没有理解上面概念的可以参考下面例题理解。

## 例题 
`例` 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出切线及法线方程.

解： $y^{\prime}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$ ，曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率为

$$
k=\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{2}}=-4
$$

因此，切线方程为 $y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $4 x+y-4=0$ ；

法线方程为 $y-2=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $2 x-8 y+15=0$.

为了把二维空间曲线的切线推广到三维例的空间曲线，下面先介绍一些预备知识，完整介绍见 [空间曲线](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393)

##  平面的法向量
由直线上一点和直线的一个方向向量就可以确定一条直线的位置, 这启发我们也希望通过一个点和一个向量来确定一个平面的位置。

动手旋转一个圆盘陀螺 (如下图), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但**陀螺轴始终与圆盘垂直**.

![图片](/uploads/2025-06/7fd852.jpg){width=200px}
 
我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ 来刻画圆盘平面的方向.

如果非零向量 $n$ 所在直线与平面 $\alpha$ 垂直，则称 $n$ 为平面 $\alpha$ 的**法向量**。

给定一点 $O$ 和一个向量 $n$, 那么, 过点 $O$, 且以向量 $n$ 为法向量的平面是完全确定的.

如何寻找平面的法向量 $n$ ?
由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个向量 $\overrightarrow{O N}$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $l_1, l_2$, 就可以确定 $\overrightarrow{O N}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量, 如图

![图片](/uploads/2025-06/c76a05.jpg){width=300px}
 
 
一个平面的法向量有无穷多个. 由于垂直于同一平面的直线是平行的, 因而一个平面的所有法向量互相平行.

`例` 如图, 已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中 $A, B, D, A_1$ 的坐标分别为 $A(0,0,0), B(a, 0,0)$, $D(0, a, 0), A_1(0,0, a)$. 求平面 $B D A_1$ 的一个法向量.

![图片](/uploads/2025-06/3d6676.jpg){width=300px}
 
解：设 $n =(x, y, z)$ 是平面 $B D A_1$ 的法向量.
由已知得 $\overrightarrow{B D}=(-a, a, 0), \overrightarrow{}=(-a, 0, a)$,

根据向量的关系，[两向量垂直时点积为零](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1343)，$n$与$B D, B A_1$ 分别垂直，因此可得2个方程组：

因而 $\left\{\begin{array}{l}(-a, a, 0) \cdot(x, y, z)=-a x+a y=0, \\ (-a, 0, a) \cdot(x, y, z)=-a x+a z=0 .\end{array}\right.$
取 $x=1$, 得 $y=z=1$,
则 $n =(1,1,1)$ 是平面 $B D A_1$ 的**一个**法向量.

## 直线的方向向量
直线上两个不同点 $P, Q$ 之间的有向线段的方向就是直线的**方向向量**。

`例`求直线 $y=k x+b$ 的全体方向向量．
解 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. }
$$

方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得：

> **结论**：$y=kx+b$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍．

## 直线的法向量
先看一个例子：求直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量．

解：直线上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标满足等式

$$
\begin{gathered}
3 x_0+4 y_0-12=0, ...(1) \\
3 x+4 y-12=0 ...(2).
\end{gathered}
$$

$(2)-(1)$得

$$
3\left(x-x_0\right)+4\left(y-y_0\right)=0 ...(3)
$$

将$(3)$式的左边写成数量积的形式，得

$$
(3,4) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...(4)
$$

上面结果如下图所示。
 ![图片](/uploads/2025-02/f9f8e2.jpg){width=400px}

这说明过定点 $P$ 及任意点 $Q$ 的线段垂直于 $n =\overrightarrow{O N}$ ，动点 $Q$ 组成的图形就是过定点 $P$ 且与 $O N$ 垂直的直线 $l$（参考上图）．
 
  
用向量运算叙述出来就是：

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O N} \cdot \overrightarrow{P Q}=0 & \Leftrightarrow(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 \\
& \Leftrightarrow A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
\end{aligned}  
$$

由此得到直线 $l$ 的方程**点法式方程**：

$$
\boxed{
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
}
$$

> **结论**：直线的一般式方程 $A x+B y+C=0$ 的一次项系数组成的向量 $(A, B)$ 是直线的一个法向量。

## 空间曲线的切线和法平面
假设空间有一条曲线$\Gamma$如下图，在曲线上取一点$M_0$,做该点的切线为$l$,这被称作**空间曲线的切线** ，再通过该点做一平面$\pi$垂直于切线，则这个平面称作**法平面** (小提示：法平面 $\pi$ 的$\pi$大家都这么叫，他仅是一个符号，和圆周率$\pi$没有任何关系)
 
 ![图片](/uploads/2025-04/5472b3.jpg){width=600px}
  
上面是几何的解释，下面用数学语言表述：空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \Gamma$ 处的切线是这样定义的. 在曲线 $\Gamma$ 上任取一点 $M\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ ，作割线 $M_0 M$ 则当点 $M$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $M_0$ 时，割线的极限位置 $M_0 T$ 称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线，点 $M_0$ 为切点 (见下图).
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231e16b262.png){width=400px}

过点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 并与空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T$ 垂 直的平面称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的法平面。

## 一般曲线方程及参数方程
由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的**方向向量**. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) .

把给定的方向向量$s$平移到起点在原点的地方，则 $os=(m-0,n-0,p-0)=(m,n,p)$

如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{os}$ ，
根据[平面向量定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=166)，**两直线平行，对应坐标应该成比例**，即有

\frac{x-x_0}{m-0}=\frac{y-y_0}{n-0}=\frac{z-z_0}{p-0}

即：

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ...(2) 
}
$$

上述就是空间曲线**过点的切线方程**。

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230207e54e.png)

注意：当 $m, n$ 和 $p$ 中有一个为零，应理解为分子为零，所以，在很多教材里会出现分母为零的情况，不是教程印错了，而是大家约定成俗的写法
$$
\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{n}
$$
  
`例`假设给定空间一个向量$S(1,2,3)$ ,要求过点 $(4,5,6)$ 且与$S$ 平行的直线方程为

$\frac{x-4}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-6}{3}$

示意图如下，两个向量平行，对应坐标城比例 
 ![图片](/uploads/2025-04/3f1e12.jpg)

向量是有大小和方向的量，向量最大特点可以平移，上图里，为了方便观察，M向量起点没有放到原点。

## 空间曲线的参数表示

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，

上面这个例子告诉我们，通过引入中间参数$t$ 可以把复杂的函数分解为各个分量进行独立处理。 现在对上面公式(2) 做一个物理解释。

在高中物理课的圆周运动里，**物体的速度方向就是曲线的切线方向**。考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是$f$, 对 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'_x, v_x=f'_y,

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