最后更新: 2025-05-08 10:28 查看: 2558 次反馈刷题

切线与法线方程

## 平面曲线的切线与法线
### 切线方程
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数在几何意义上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线的斜率，即

$$
k=\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

相应地，切线方程为

$$
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
}
$$

### 法线方程
我们定义与切线垂直的直线称为**法线**，由高中知识知道：当两个直线垂直时，斜率乘积为-1，详见[高中向量]( http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=689)

所以，法线的斜率为$k_n=-\dfrac{1}{f^{\prime}(x_0)}$

由此得法线方程为

$$
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right)\left(f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0\right)
}
$$

### 曲线、切线和法线关系如下图

![图片](/uploads/2025-01/53cfda.jpg){width=300px}
 
 
 
 ##  平面的法向量
由直线上一点和直线的一个方向向量就可以确定一条直线的位置, 这启发我们也希望通过一个点和一个向量来确定一个平面的位置。

动手旋转一个圆盘陀螺 (如图2.4-3), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但始终与圆盘垂直.
 ![图片](/uploads/2024-11/56d64b.jpg)
 
 我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ 来刻画圆盘平面的方向.

如果非零向量 $n$ 所在直线与平面 $\alpha$ 垂直，则称 $n$ 为平面 $\alpha$ 的法向量。
给定一点 $O$ 和一个向量 $n$, 那么, 过点 $O$, 且以向量 $n$ 为法向量的平面是完全确定的.

如何寻找平面的法向量 $n$ ?
由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个向量 $\overrightarrow{O N}$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $l_1, l_2$, 就可以确定 $\overrightarrow{O N}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量, 如图 2.4-4.
 ![图片](/uploads/2024-11/8af841.jpg)
 
一个平面的法向量有无穷多个. 由于垂直于同一平面的直线是平行的, 因而一个平面的所有法向量互相平行.

`例` 如图 2.4-5, 已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中 $A, B, D, A_1$ 的坐标分别为 $A(0,0,0), B(a, 0,0)$, $D(0, a, 0), A_1(0,0, a)$. 求平面 $B D A_1$ 的一个法向量.
![图片](/uploads/2024-11/0a6c14.jpg)
解 设 $n =(x, y, z)$ 是平面 $B D A_1$ 的法向量.
由已知得 $\overrightarrow{B D}=(-a, a, 0), \overrightarrow{B A_1}=(-a, 0, a)$,

根据向量的关系，[两向量垂直时点积为零](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1343)，可得

因而 $\left\{\begin{array}{l}(-a, a, 0) \cdot(x, y, z)=-a x+a y=0, \\ (-a, 0, a) \cdot(x, y, z)=-a x+a z=0 .\end{array}\right.$
取 $x=1$, 得 $y=z=1$,
则 $n =(1,1,1)$ 是平面 $B D A_1$ 的一个法向量.

## 直线的方向向量
直线上两个不同点 $P, Q$ 之间的有向线段的方向就是直线的**方向向量**。

`例`求直线 $y=k x+b$ 的全体方向向量．
解 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. }
$$

方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得：

> **重要结论**：$y=kx+b$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍．

## 直线的法向量
先看一个例子：求直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量．

解：直线上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标满足等式

$$
\begin{gathered}
3 x_0+4 y_0-12=0, ...(1) \\
3 x+4 y-12=0 ...(2).
\end{gathered}
$$

$(2)-(1)$得

$$
3\left(x-x_0\right)+4\left(y-y_0\right)=0 ...(3)
$$

将$(3)$式的左边写成数量积的形式，得

$$
(3,4) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...(4)
$$

上面结果如下图所示。
 ![图片](/uploads/2025-02/f9f8e2.jpg){width=400px}

这说明过定点 $P$ 及任意点 $Q$ 的线段垂直于 $n =\overrightarrow{O N}$ ，动点 $Q$ 组成的图形就是过定点 $P$ 且与 $O N$ 垂直的直线 $l$（参考上图）．
 
  
用向量运算叙述出来就是：

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O N} \cdot \overrightarrow{P Q}=0 & \Leftrightarrow(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 \\
& \Leftrightarrow A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
\end{aligned}  
$$

由此得到直线 $l$ 的方程**点法式方程**：

$$
\boxed{
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
}
$$

> **重要结论**：直线的一般式方程 $A x+B y+C=0$ 的一次项系数组成的向量 $(A, B)$ 是直线的一个法向量。

## 例题

`例` 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出切线及法线方程.

解 $y^{\prime}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$ ，曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率为

$$
k=\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{2}}=-4
$$

因此，切线方程为 $y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $4 x+y-4=0$ ；

法线方程为 $y-2=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $2 x-8 y+15=0$.

现在把二维平面曲线引申为三维空间曲线。以下内容涉及到偏导数，截取 [空间曲线](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393)

## 空间曲线的切线和法平面
假设空间有一条曲线如下图，在曲线上取一点$M_0$,做该点的切线$l$,这被称作**空间曲线的切线** ，再通过该点做一平面$\pi$垂直于切线，则这个平面称作**法平面**
 
 ![图片](/uploads/2025-04/5472b3.jpg){width=600px}
  
上面是几何的解释，下面用数学语言表述：空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \Gamma$ 处的切线是这样定义的. 在曲线 $\Gamma$ 上任取一点 $M\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ ，作割线 $M_0 M$ 则当点 $M$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $M_0$ 时，割线的极限位置 $M_0 T$ 称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线，点 $M_0$ 为切点 (见下图).
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231e16b262.png){width=400px}

过点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 并与空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T$ 垂 直的平面称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的法平面。

## 一般曲线方程及参数方程
由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的**方向向量**. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) .

把给定的方向向量$s$平移到起点在原点的地方，则 $os=(m-0,n-0,p-0)=(m,n,p)$

如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{os}$ ，
根据[平面向量定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=166)，**两直线平行，对应坐标应该成比例**，即有

\frac{x-x_0}{m-0}=\frac{y-y_0}{n-0}=\frac{z-z_0}{p-0}

即：

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ...(2) 
}
$$
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230207e54e.png)

> 注   当 $m, n$ 和 $p$ 中有一个为零，例如 $m=0$ 应理解为分子为零
 
  
`例`假设给定空间一个向量$S(1,2,3)$ ,要求过点 $(4,5,6)$ 且与$S$ 平行的直线方程为

$\frac{x-4}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-6}{3}$

示意图如下，两个向量平行，对应坐标城比例 
 ![图片](/uploads/2025-04/3f1e12.jpg)

向量是有大小和方向的量，向量最大特点可以平移，上图里，为了方便观察，M向量起点没有放到原点。

## 空间曲线的参数表示

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，

上面这个例子告诉我们，通过引入中间参数$t$ 可以把复杂的函数分解为各个分量进行独立处理。 现在度上面公式(2) 做一个物理解释。

在高中物理课的圆周运动里，**物体的速度方向就是曲线的切线方向**。考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是$f$, 对 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'_x, v_x=f'_y, v_x=f'_z$，
质点从 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 经过$\Delta t$ 后运动到了   $M_0\left(x, y, z\right)$ ，相当于
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+v_x \Delta t ① \\
y=y_0+v_y \Delta t ② \\
z=z_0+v_z \Delta t ③ \\
\end{array}
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/4cb98d.jpg){width=300px}
 
 由①②③ 得
 
 $$
\boxed{
\frac{x-x_0}{f'_x}=\frac{y-y_0}{f'_y}=\frac{z-z_0}{f'_z}=\Delta t ...(3) 
}
$$
 
 (3)式就是曲线切线的物理解释。
 
 
 
##  空间曲线由参数方程给出
设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t), \\ z=z(t)\end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.$ ，其中 $x(t), y(t), z(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上可导，且不同时为零.
   现在要求曲线 $\Gamma$ 上一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程和法平面方程.
  
  
  当 $x(t), y(t), z(t)$ 均在 $[\alpha, \beta]$ 上连续时，曲线 $\Gamma$ 是一条连续曲线．设 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right), P_1\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ 为曲线 $\Gamma$ 上对应于参量 $t_0, t_0+\Delta t$ 的两个点，$x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 存在且不同时为零，则曲线上连接 $P_0, P_1$ 的割线方程为

$$
\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z} \text {, 或 } \frac{x-x_0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{y-y_0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}}=\frac{z-z_0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}} \text {. }
$$

当点 $P_1$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $P_0$ 时，即当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，割线的极限位置是曲线在 $P_0$ 处的切线．故当 $x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 不全为零时，由此得到一个重要结论：即：

> **向量 $ T \left(t_0\right)=\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)$是切线的方向向量**，

称为曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切向量，故曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切线方程为

$$
\boxed{
\dfrac{x-x_0}{x^{\prime}\left(t_0\right)}=\dfrac{y-y_0}{y^{\prime}\left(t_0\right)}=\dfrac{z-z_0}{z^{\prime}\left(t_0\right)} .
}
$$

由于曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线与法平面垂直，根据向量知识可以知道，[两个向量垂直其数量积为零](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=392) ，而且根据定义可知法平面的法向量正是切线的方向向量，因此根据平面点法式方程可知法平面方程为（具体推导见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=357)）

$$
\boxed{
x^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)+y^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(y-y_0\right)+z^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(z-z_0\right)=0 .
}
$$

## 例题

`例` 求曲线 $x=t^2+t, y=t^2-t, z=t^2$ 在点 $(6,2,4)$ 处的切线和法平面。

解 因为 $x^{\prime}(t)=2 t+1, y^{\prime}(t)=2 t-1, z^{\prime}(t)=2 t$ ，又由方程知，在点 $(6,2,4)$ 处，对应于 $t=2$ ，所以切线的方向向量为 $T=(5,3,4)$ ．故曲线在 $(6,2,4)$ 处的切线方程为

$$
\frac{x-6}{5}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{4},
$$

法平面方程为

$$
5(x-6)+3(y-2)+4(z-4)=0 \text {, 即 } 5 x+3 y+4 z=52 \text {. }
$$

`例`在曲线 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t \\ y=a \sin t\\ z=b t\end{array}\right.$ 在点 $M_0(a, 0,0)$ 的切线和法平面方程.
 
 
解: 点 $M_0(a, 0,0)$ 对应的参数为 $t=0$ ，由于

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=-\left.a \sin t\right|_{t=0}=0 \\
& \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=\left.a \cos t\right|_{t=0}=a \\
& \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=b ;
\end{aligned}
$$

所以，曲线在点 $M_0(a, 0,0)$ 处的切线方程为 $\frac{x-a}{0}=\frac{y}{a}=\frac{z}{b}$ ，
即 $\left\{\begin{array}{c}x-a=0, \\ \frac{y}{a}=\frac{z}{b} .\end{array}\right.$
法平面方程为 $a y+b z=0$.

`例`解 $\tau=\left.(a \sin 2 t, b \cos 2 t,-c \sin 2 t) ， \tau\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(a, 0,-c)$ ， $t=\frac{\pi}{4}$ 对应点为 $\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)$ ， 因此所求切线方程为 $\frac{x-\frac{a}{2}}{a}=\frac{y-\frac{b}{2}}{0}=\frac{z-\frac{c}{2}}{-c}$ ； 法平面方程为 $a\left(x-\frac{a}{2}\right)+0\left(y-\frac{b}{2}\right)-c\left(z-\frac{c}{2}\right)=0$ ，即 $a x-c z-\frac{a^2-c^2}{2}=0$.

`例`在曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t^2 \\ z=t^3\end{array}\right.$ 上求出一点，使此点的切线平行于平面 $x+2 y+z-4=0$
解 曲线的切向量为 $\tau=\left(x_t, y_t, z_t\right)=\left(1,2 t, 3 t^2\right)$ ，已知平面的法向量为 $n=(1,2,1)$ ， 由 $\tau \perp n$ ，即 $\tau \cdot n=1+4 t+3 t^2=0$ ，得 $t_1=-\frac{1}{3} ， t_2=-1$ ，因此所求点为 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}\right)$ 和 $(-1,1,-1)$.

## 空间曲线是两个柱面的交线
空间曲线 $\Gamma$ : $\left\{\begin{array}{l}y=\psi(x), \\ z=\omega(x)\end{array}\right.$ 的切线和法平面
若空间曲线 $\Gamma$ (是以两个柱面的交线) 的形式给出，比如 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}y=\psi(x), \\ z=\omega(x),\end{array}\right.$ 则
可取 $x$ 为参数，则有 $\left\{\begin{array}{l}x=x, \\ y=\psi(x),  \\ z=\omega(x),\end{array}\right.$

其任一点处的切向量为  $ \tau=\left(1, \psi^{\prime}(x), \omega^{\prime}(x)\right)  $ , 因此，空间曲线在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程为

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(x_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}\left(x_0\right)}
}
$$

法平面方程为
$$
\boxed{
\quad\left(x-x_0\right)+\psi^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(y-y_0\right)+\omega^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(z-z_0\right)=0
}
$$

`例` 求曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}y=2 x^3, \\ z=x+3\end{array}\right.$ 在点 $M(1,2,4)$ 处的切线及法平面方程.
解 $\tau=\left.\left(1,6 x^2, 1\right) ， \tau\right|_{x=1}=(1,6,1)$ ，
因此所求切线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-4}{1}$ ；
法平面方程为 $(x-1)+6(y-2)+(z-4)=0$ ，
即 $x+6 y+z-17=0$.

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