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向量组的秩与矩阵的秩的关系
日期:
2023-01-02 16:07
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定理 4 矩阵的行向量组的秩与它的列向量组的秩相等，都等于矩阵的秩. 证明 设 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \mathrm{~L} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \mathrm{~L} & a_{2 n} \\ ...& ... & ... & ... \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \mathrm{~L} & a_{m n}\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, ,..., \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}} \\ ... \\ \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$ 的行向量组是 $\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}}... \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}$ ， 列向量组是 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2... \boldsymbol{\alpha}_n$. 且行向量组的秩记为 $R_{\text {row }}$ ，列向量组的秩记为 $R_{\text {col }}$ ， 我们先证明 $R_{\text {col }}=R(A)$. 设 $R(\boldsymbol{A})=r$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中存在一个 $r$ 阶子式不为零，而所有阶数大于 $r$ 的子式全为零. 不妨设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的前 $r$ 行、 $r$ 列构成的 $r$ 阶子式是非零子式， $$ D_r=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{r 1} & \cdots & a_{r r} \end{array}\right| \neq 0 $$ 下面我们证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的前 $r$ 个列向量就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组的一个极大无关组从而有 $R_{c o l}=R(A)$. $$ \text { 由 }\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{r 1} & \cdots & a_r \end{array}\right| \neq 0 \text { 知齐次线性方程组 } $$ $$ \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{r 1} & \cdots & a_{r r} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_r \end{array}\right)=\mathbf{0} $$ （1）只有零解， 因而向量组 $\boldsymbol{\alpha}_j^{\prime}=\left(\begin{array}{c}a_{1 j} \\ \vdots \\ a_{rj}\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, r)$ 线性无关. 又因为齐次线性方程组 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_r \\ a_{r+1,1} & a_{r+1,2} & \cdots & a_{r+1, r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m r} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \end{array}\right)=\mathbf{0} $$ （2）的解一定是方程组 (1) 的解， 由方程组(1)只有零解可知，齐次线性方程组(2)一定也只有零解， 所以（由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_j^{\prime}=\left(\begin{array}{c}a_{1 j} \\ \vdots \\ a_{r j}\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, r)$ 的每个向量填加若干分量所得的）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 也线性无关. 接下来证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的每一个列向量 $\boldsymbol{\alpha}_k(k=1,2, \cdots, n)$ 均可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示. 当 $1 \leq k \leq r$ 时，显然 $\boldsymbol{\alpha}_k$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示. 当 $r+1 \leq k \leq n$ 时，构作矩阵 $$ \boldsymbol{A}^{\prime}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r, \boldsymbol{\alpha}_k\right)=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1 r} & a_{1 k} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 r} & a_{2 k} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m r} & a_{m k} \end{array}\right) \text {, } $$ $A^{\prime}$ 中的所有子式均是 $A$ 中的子式. 从而 $A^{\prime}$ 中存在一个不为零的 $r$ 阶子式 $D_r$ ，所有 $r+1$ 阶子式均为零，因此 $R\left(A^{\prime}\right)=r$. 考虑齐次线性方程组 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1 r} & a_{1 k} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 r} & a_{2 k} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m r} & a_{m k} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{r+1} \end{array}\right)=\mathbf{0}, $$ 由于系数矩阵的秩 $R\left(A^{\prime}\right)=r$ ，小于末知量的个数 $r+1$ ， 所以该齐次线性方程组一定有非零解， 从而向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \alpha_k$ 线性相关， 因此， $\alpha_k$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha$, 线性表示. 由以上的讨论可知，向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 就是矩阵 $A$ 的列向量组的一个极大无关组， 从而有 $R_{\text {col }}=r=R(A)$. 由于矩阵 $A$ 的行向量组是矩阵 $A^{\mathrm{T}}$ 的列向量组，所以有 $R_{\text {row }}=R\left(A^{\mathrm{T}}\right)=R(A)$.  
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