最后更新: 2025-04-02 06:54 查看: 1053 次反馈同步训练

全微分的计算

## 全微分的计算
习惯上，常将自变量的增量 $\Delta x ， \Delta y$ 分别记为 $\mathrm{d} x$ ， $\mathrm{d} y$ ，并分别称为自变量的微分. 这样，函数 $z=f(x, y)$ 的全微分就表为

$$
\boxed {
\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y .
}
$$

上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三 元及三元以上的多元函数中去. 例如，三元函数 $u=f(x, y, z)$ 的全微分可表为

$$
\boxed{
\mathrm{d} u=\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial u}{\partial z} \mathrm{~d} z
}
$$

**有时，为表达简便起见，引人以下记号**：
$$
f_1^{\prime}(u, v)=f_u(u, v), \quad f_2^{\prime}(u, v)=f_v(u, v), \quad f_{12}^{\prime \prime}(u, v)=f_{u v}(u, v),
$$

>这里，下标 1 表示对第一个变量 $u$ 求偏导数，下标 2 表示对第二个变量 $v$ 求偏导数．同理有 $f_{11}^{\prime \prime} $ 表示 $f_{uu}^{\prime \prime} $, $f_{22}^{\prime \prime}$ 表示$f_{vv}^{\prime \prime}$ 等 等

`例` 求函数 $z=4 x y^3+5 x^2 y^6$ 的全微分.
解:**计算全微分时，当求$x$偏导数时，把$y$看成常量**，所以
$\frac{\partial z}{\partial x}=4 y^3+10 x y^6 $

**当求$y$偏导数时，把$x$看成常量**，所以
$$
\frac{\partial z}{\partial y}=12 x y^2+30 x^2 y^5 ，
$$

然后带入**全微分公式**

$\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y .$

所以，**最终结果为**：
$$
\mathrm{d} z=\left(4 y^3+10 x y^6\right) \mathrm{d} x+\left(12 x y^2+30 x^2 y^5\right) \mathrm{d} y .
$$

`例`计算函数 $z=x^y$ 在点 $(2,1)$ 处的全微分.
解 因为 $f_x(x, y)=y x^{y-1} ， f_y(x, y)=x^y \ln x$ ， 所以

$$
f_x(2,1)=1 ， \quad f_y(2,1)=2 \ln 2 ，
$$

从而所求全微分

$$
\mathrm{d} z=\mathrm{d} x+2 \ln 2 \mathrm{~d} y .
$$

`例` 求函数 $u=x+\sin \frac{y}{2}+\mathrm{e}^{y z}$ 的全微分.
解 由于

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}=1, \\
& \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2} \cos \frac{y}{2}+z \mathrm{e}^{y z}, \\
& \frac{\partial u}{\partial z}=y \mathrm{e}^{y z},
\end{aligned}
$$

三个偏导数均连续，故所求全微分为

$$
\mathrm{d} u=\mathrm{d} x+\left(\frac{1}{2} \cos \frac{y}{2}+z \mathrm{e}^{y z}\right) \mathrm{d} y+y \mathrm{e}^{y z} \mathrm{~d} z
$$

`例` 求函数 $u=x^{y^z}$ 的偏导数和全微分.
解
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}=y^z \cdot x^{y^z-1}=\frac{y^z}{x} \cdot x^{y^z} \\
& \frac{\partial u}{\partial y}=x^{y^z} \cdot z \cdot y^{z-1} \cdot \ln x=\frac{z \cdot y^z \ln x}{y} \cdot x^{y^z} \\
& \frac{\partial u}{\partial z}=x^{y^z} \cdot \ln x \cdot y^z \ln y=x^{y^z} \cdot y^z \cdot \ln x \cdot \ln y \\
& \mathrm{~d} u=\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial u}{\partial z} \mathr

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