最后更新: 2025-04-02 06:54 查看: 884 次反馈刷题

全微分的计算

## 全微分的计算
习惯上，常将自变量的增量 $\Delta x ， \Delta y$ 分别记为 $\mathrm{d} x$ ， $\mathrm{d} y$ ，并分别称为自变量的微分. 这样，函数 $z=f(x, y)$ 的全微分就表为

$$
\boxed {
\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y .
}
$$

上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三 元及三元以上的多元函数中去. 例如，三元函数 $u=f(x, y, z)$ 的全微分可表为

$$
\boxed{
\mathrm{d} u=\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial u}{\partial z} \mathrm{~d} z
}
$$

**有时，为表达简便起见，引人以下记号**：
$$
f_1^{\prime}(u, v)=f_u(u, v), \quad f_2^{\prime}(u, v)=f_v(u, v), \quad f_{12}^{\prime \prime}(u, v)=f_{u v}(u, v),
$$

>这里，下标 1 表示对第一个变量 $u$ 求偏导数，下标 2 表示对第二个变量 $v$ 求偏导数．同理有 $f_{11}^{\prime \prime} $ 表示 $f_{uu}^{\prime \prime} $, $f_{22}^{\prime \prime}$ 表示$f_{vv}^{\prime \prime}$ 等 等

`例` 求函数 $z=4 x y^3+5 x^2 y^6$ 的全微分.
解:**计算全微分时，当求$x$偏导数时，把$y$看成常量**，所以
$\frac{\partial z}{\partial x}=4 y^3+10 x y^6 $

**当求$y$偏导数时，把$x$看成常量**，所以
$$
\frac{\partial z}{\partial y}=12 x y^2+30 x^2 y^5 ，
$$

然后带入**全微分公式**

$\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y .$

所以，**最终结果为**：
$$
\mathrm{d} z=\left(4 y^3+10 x y^6\right) \mathrm{d} x+\left(12 x y^2+30 x^2 y^5\right) \mathrm{d} y .
$$

`例`计算函数 $z=x^y$ 在点 $(2,1)$ 处的全微分.
解 因为 $f_x(x, y)=y x^{y-1} ， f_y(x, y)=x^y \ln x$ ， 所以

$$
f_x(2,1)=1 ， \quad f_y(2,1)=2 \ln 2 ，
$$

从而所求全微分

$$
\mathrm{d} z=\mathrm{d} x+2 \ln 2 \mathrm{~d} y .
$$

`例` 求函数 $u=x+\sin \frac{y}{2}+\mathrm{e}^{y z}$ 的全微分.
解 由于

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}=1, \\
& \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2} \cos \frac{y}{2}+z \mathrm{e}^{y z}, \\
& \frac{\partial u}{\partial z}=y \mathrm{e}^{y z},
\end{aligned}
$$

三个偏导数均连续，故所求全微分为

$$
\mathrm{d} u=\mathrm{d} x+\left(\frac{1}{2} \cos \frac{y}{2}+z \mathrm{e}^{y z}\right) \mathrm{d} y+y \mathrm{e}^{y z} \mathrm{~d} z
$$

`例` 求函数 $u=x^{y^z}$ 的偏导数和全微分.
解
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}=y^z \cdot x^{y^z-1}=\frac{y^z}{x} \cdot x^{y^z} \\
& \frac{\partial u}{\partial y}=x^{y^z} \cdot z \cdot y^{z-1} \cdot \ln x=\frac{z \cdot y^z \ln x}{y} \cdot x^{y^z} \\
& \frac{\partial u}{\partial z}=x^{y^z} \cdot \ln x \cdot y^z \ln y=x^{y^z} \cdot y^z \cdot \ln x \cdot \ln y \\
& \mathrm{~d} u=\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial u}{\partial z} \mathrm{~d} z=x^{y^z}\left(\frac{y^z}{x} \mathrm{~d} x+z \cdot \frac{y^z \ln x}{y} \mathrm{~d} y+y^z \cdot \ln x \ln y \mathrm{~d} z\right) .
\end{aligned}
$$

## 全微分的应用
设二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 的两个偏导数 $f_x(x, y), f_y(x, y)$ 连续，且 $|\Delta x|,|\Delta y|$ 都较小时，则根据全微分定义，有

$$
\Delta z \approx \mathrm{d} z \text {, }
$$

即

$$
\Delta z \approx f_x(x, y) \Delta x+f_y(x, y) \Delta y .
$$

由 $\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$ ， 即可得到二元函数的全微分近似计算公 式

$$
\boxed{
f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x, y)+f_x(x, y) \Delta x+f_y(x, y) \Delta y .
}
$$

`例`计算 $(1.04)^{2.02}$ 的近似值.
解 设函数 $f(x, y)=x^y$ ,其中 $x=1, y=2, \Delta x=0.04, \Delta y=0.02$.

$$
f(1,2)=1, f_x(x, y)=y x^{y-1}, f_y(x, y)=x^y \ln x, f_x(1,2)=2, f_y(1,2)=0 \text { ， }
$$

由二元函数全微分近似计算公式得

$(1.04)^{2.02} \approx 1+2 \times 0.04+0 \times 0.02=1.08$.

`例`当 $x 、 y$ 的绝对值很小时，推出函数 $(1+x)^m(1+y)^n$ 的近似公式
解 取 $f(x, y)=x^m y^n ，\left(x_0, y_0\right)=(1,1)$ ，则由近似公式

$$
f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right) \approx f\left(x_0, y_0\right)+f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right) \Delta y
$$

得 $\quad(1+\Delta x)^m(1+\Delta y)^n \approx 1+m \Delta x+n \Delta y$ ，
因此当 $x 、 y$ 的绝对值很小时，

$$
(1+x)^m(1+y)^n \approx 1+m x+n y .
$$

`例`测得矩形盒的边长为 $75 \mathrm{~cm} 、 60 \mathrm{~cm}$ 以及 $40 \mathrm{~cm}$ ，且可能的最大测量 误差为 $0.2 \mathrm{~cm}$. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最 大误差.
解: 以 $x, y, z$ 为边长的矩形盒的体积为 $V=x y z$ ，
所以 $\mathrm{d} V=\frac{\partial V}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial V}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial V}{\partial z} \mathrm{~d} z=y z \mathrm{~d} x+x z \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z$.
由于已知 $|\Delta x| \leq 0.2 ，|\Delta y| \leq 0.2 ，|\Delta z| \leq 0.2$ ，为了求体积的最大误差，取 $\mathrm{d} x=\mathrm{d} y=\mathrm{d} z=0.2$ ， 再结合 $x=75, \underline{y}=\underline{60}, z=40$, 得
$\Delta V \approx \mathrm{d} V=60 \times 40 \times 0.2+75 \times 40 \times 0.2+75 \times 60 \times 0.2=1980$ ，
即每边仅 $0.2 \mathrm{~cm}$ 的误差可以导致体积的计算误差达到 $1980 \mathrm{~cm}^3$.

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