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正交向量组
日期:
2023-01-02 17:12
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定义 4 由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组. 例如， 向量组 $$ \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \text { 与向量组 }\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right) $$ 都是正交向量组. 定理 1 若 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一个正交向量组，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关. 设有常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ ，使 $$ \lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}, $$ 以 $\boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}}(i=1,2, \cdots, m)$ 左乘上式两端，当 $j \neq i$ 时， $\alpha_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=0$ ，从而有 $\lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i=0(i=1,2, \cdots, m)$, 因 $\boldsymbol{\alpha}_i \neq \mathbf{0}(i=1,2, \cdots, m)$ ，故 $\alpha_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_i \neq 0$ ， 于是必有 $\lambda_i=0(i=1,2, \cdots, m)$ ，所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关.  定义 5 设 $n$ 维向量组 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是向量空间 $V\left(V \subseteq \mathbf{R}^n\right)$ 的一个基，如果 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 两两正交， 且都是单位向量， 则称 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是 $v$ 的一个规范正交基. 例如， $n$ 维单位坐标向量 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 就是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基. 向量组 $$ \xi_1=\left(\begin{array}{l} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{c} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right) $$ 就是 $\mathbf{R}^3$ 的一个规范正交基. 若 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 是 $V$ 的一个规范正交基， 那么 $V$ 中任一向量 $\beta$ 都能由 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 线性表示， 设表示式为 $$ \boldsymbol{\beta}=\lambda \xi_1+\lambda_2 \xi_2+\cdots+\lambda_r \xi_r, $$ 用 $\xi_i^{\mathrm{T}}(i=1, \cdots, r)$ 左乘上式，有 $\xi_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\lambda_i \xi_i^{\mathrm{T}} \xi_i=\lambda_i(i=1, \cdots, r)$, 即 $\lambda_i=\xi_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\left[\xi_i, \boldsymbol{\beta}\right](i=1, \cdots, r)$.
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2023-01-02 17:12
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