最后更新: 2025-04-02 15:39 查看: 479 次反馈刷题

复合求导链式法则 Part2

## 复合函数的中间变量为多元函数的情形
在学习本节前需要了解多元函数复合求导链式法则预备知识。

**定理2** 设 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处都具有偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$ ， 函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial v} ，$
则复合函数 $z=f[u(x, y), v(x, y)]$ 在 $(x, y)$ 处的两个偏导数存在，并有如下求导公式

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} ...(2) 
$$
和

\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} ...(3)

定理证明从略。

利用上节介绍的“树图”，可以画出定理2中的复合函数的函数的结构图：

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231c2c1f85.png){width=300px}

我们可以借助函数结构图，利用前面分析的方法与结论，能够直接写出公式
(2) 和公式 (3) 的求导公式.

> **对于上面公式，我们不需要记，在拿到多元复合函数时，我们都是通过画树图解题。考生必须首先正确画出他的“树图”来，利用树图解题**

`例` 设 $z=\mathrm{e}^u \sin v$, 而 $u=x y, v=x+y$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$.

解  首先画出数图，如下

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231c2c1f85.png){width=300px}

①**从图中可以看到从$z$到$x$ 有两条路**，即

![图片](/uploads/2025-04/89f81a.jpg)
$\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

所以，
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} & =\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}=\mathrm{e}^u \sin v \cdot y+\mathrm{e}^u \cos v \cdot 1 \\
& =\mathrm{e}^u(y \sin v+\cos v)=\mathrm{e}^{x y}[y \sin (x+y)+\cos (x+y)] 
\end{aligned}
$$

②**从图中可以看到从$z$到$y$ 有两条路**，即 
 ![图片](/uploads/2025-04/1b441f.jpg)

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial y} & =\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}
\end{aligned}
$$

所以，
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial y} & =\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}=\mathrm{e}^u \sin v \cdot x+\mathrm{e}^u \cos v \cdot 1 \\
& =\mathrm{e}^u(x \sin v+\cos v)=\mathrm{e}^{\mathrm{xy}}[x \sin (x+y)+\cos (x+y)]
\end{aligned}
$$

`例` 求 $z=\left(3 x^2+y^2\right)^{4 x+2 y}$ 的偏导数.

解 设 $u=3 x^2+y^2 ， v=4 x+2 y$ ，则 $z=u^v$.

然后画出树图

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231c2c1f85.png){width=300px}

于是 $\frac{\partial z}{\partial u}=v \cdot u^{v-1}, \frac{\partial z}{\partial v}=u^v \cdot \ln u, \frac{\partial u}{\partial x}=6 x ， \frac{\partial u}{\partial y}=2 y ， \frac{\partial v}{\partial x}=4 ， \frac{\partial v}{\partial y}=2$.
则

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v} \dfrac{\partial v}{\partial x}=v \cdot u^{v-1} \cdot 6 x+u^v \cdot \ln u \cdot 4$

$$
=6 x(4 x+2 y)\left(3 x^2+y^2\right)^{4 x+2 y-1}+4\left(3 x^2+y^2\right)^{4 x+2 y} \ln \left(3 x^2+y^2\right) .
$$
,

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}=v \cdot u^{v-1} \cdot 2 y+u^v \cdot \ln u \cdot 2 \\
& =2 y(4 x+2 y)\left(3 x^2+y^2\right)^{4 x+2 y-1}+2\left(3 x^2+y^2\right)^{4 x+2 y} \ln \left(3 x^2+y^2\right)
\end{aligned}
$$

这种类型的题目也可以用全微分的方法来解决，感兴趣的读者可以试一下.

## 复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形 
这种情形比较复杂，我们仅以一种情况为例，其他的类似可得.
定理 3 如果函数 $u=u(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $v=v(y)$ 在点 $y$ 可导，函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，则复合函 数 $z=f[u(x, y), v(y)]$ 在对应点 $(x, y)$ 的两个偏导数存在，且有
定理证明从略. 该复合函数的结构图为

$$ 
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} 
$$

和

$$ 
 \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{d v}{d y}
 $$
 
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231dec92fc.png)

`例` 设函数 $z=\mathrm{e}^{u^2+v^2}$ ，而 $u=x^2 \sin y, v=\cos y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
解：先画出树图

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231dec92fc.png)

**①从图中可以看到，$z$到$x$有一条路**，即
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u} \cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}$

所以
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial x}=\mathrm{e}^{u^2+v^2} \cdot 2 u \cdot 2 x \sin y=4 x^3 \sin ^2 y \mathrm{e}^{x^4 \sin ^2 y+\cos ^2 y} 
\end{aligned}
$$

**②从图中可以看到从$z$到$y$有两条路**，即

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial v} \cdot \dfrac{ d u}{dy}$

所以
$$
\begin{aligned}
 & \frac{\partial z}{\partial y}=\mathrm{e}^{u^2+v^2} \cdot 2 u \cdot x^2 \cos y+\mathrm{e}^{u^2+v^2} \cdot 2 v \cdot(-\sin y)=\mathrm{e}^{x^4 \sin ^2 y+\cos ^2 y}\left(x^4-1\right) \sin 2 y
\end{aligned}
$$

> 注意：在上面求$v$到$y$,通常使用$\dfrac{dv}{dy}$ 而不是 $\dfrac{\partial v}{\partial y}$

`例` 设 $z=f(x, y, u)=(x-y)^u, u=x y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x} ， \frac{\partial z}{\partial y}$.

解 这里 $x, y$ 既是复合函数的中间变量，又是自变量，**我们人为的给$x$,$y$  增加一个 “自己到自己的映射”**，所以最后画出的函数的结构图为

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231ec8f3c9.png)
. 则

**①这样$z$到$x$有两条路**,即

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} x}+\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}
$$

所以
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} x}+\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} \\
&=u(x-y)^{u-1} \cdot 1+(x-y)^u \ln (x-y) \cdot y \\
&=x y(x-y)^{x y-1} \cdot 1+y(x-y)^{x y} \ln (x-y)
\end{aligned}
$$

**② 从$z$到$y$ 也是两条路**，所以
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}$

即
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} \\
&=u(x-y)^{u-1} \cdot(-1) \cdot 1+(x-y)^u \ln (x-y) \cdot x=-x y(x-y)^{x y-1}+x(x-y)^{x y} \ln (x-y) .
\end{aligned}
$$

> 注 等号两边都有 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ，但这两个符号的含义是不一样的，左边的是二元函数 $z=(x-y)^{xy}$ 对 $x$ 的偏导数，右边的是三元函数 $z=f(x, y, u)=(x-y)^u$ 对 $x$ 的偏导数. 为了表示区别, 等号右边的 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 常写作 $\frac{\partial f}{\partial x}$. 同理, 等号两边的 $\frac{{\partial z}}{\partial y}$ 的含义也是不一样 的，等号右边的 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 也常写作 $\frac{\partial f}{\partial y}$.

注意：同济七版《高等数学下 P81》 $ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y}$ 解释是：这里 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 不同。 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 是将复合函数中 $z=f[\phi(x, y), x, y]$ 中的 $y$ 看作不变而对 $x$ 的偏导数， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 则是把 $f(u, x, y)$ 中的 $u, y$ 看作不变而对 $x$ 的偏导数。 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 与 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 也是如此区别。 这里或许有些难以理解，但是这种解释方法还是不错的。 主要是想不到更好的解释方法了.

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