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正交矩阵
日期:
2023-01-02 17:15
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定义 6 如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{\mathrm{T}} A=E \quad\left(\right.$ 即 $\left.A^{-1}=A^{\mathrm{T}}\right)$, 那么称 $A$ 为正交矩阵,简称正交阵. 定理 2 设矩阵 $A$ 是 $n$ 阶方阵,则下列结论等价: (1) $A$ 是 $n$ 阶正交阵; (2) $A$ 的列向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基; $3 A$ 的行向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基. 证明 (1) $\Leftrightarrow(2)$ : 将矩阵 $A$ 按列分块 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶正交阵, 则公式 $A^T A=E$ 可表示为 $\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^2 \\ \vdots \\ a_n^2\end{array}\right)\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right)$, 亦即 $\quad \boldsymbol{\alpha}_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { 当 } i=j, \\ 0, & \text { 当 } i \neq j\end{array}(i, j=1,2, \cdots, n)\right.$, 这说明 $A$ 的列向量都是 $n$ 维单位向量,且两两正交,从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基. $$ \text { (1) } \Leftrightarrow(3) \text { : 因为 } A^T A=E \text { 与 } A A^T=E \text { 等价,所以将矩阵 } A \text { 按行分块 } A=\left(\begin{array}{c} \beta^T \\ \beta_2^{\top} \\ \vdots \\ \beta_n^{\top} \end{array}\right) \text {, } $$ 于是公式 $A A^T=E$ 可表示为 $$ A A^{\top}=\left(\begin{array}{c} \beta^{\top} \\ \beta_2^{\top} \\ \vdots \\ \beta_n^{\top} \end{array}\right)\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right), $$ 所以 $$ \boldsymbol{\beta}_i^T \boldsymbol{\beta}_j=\boldsymbol{\delta}_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { 当 } i=j, \\ 0, & \text { 当 } i \neq j \end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right. $$ 即: $A$ 的行向量也都是 $n$ 维单位向量,且两两正交,从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基. 
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2023-01-02 17:15
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