正交矩阵

日期: 2023-01-02 17:15 查看: 85 次

定义 6 如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{\mathrm{T}} A=E \quad\left(\right.$ 即 $\left.A^{-1}=A^{\mathrm{T}}\right)$, 那么称 $A$ 为正交矩阵，简称正交阵.
定理 2 设矩阵 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则下列结论等价:
(1) $A$ 是 $n$ 阶正交阵；
(2) $A$ 的列向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基;
$3 A$ 的行向量组是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.
证明 (1) $\Leftrightarrow(2)$ ： 将矩阵 $A$ 按列分块 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶正交阵，
则公式 $A^T A=E$ 可表示为 $\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^2 \\ \vdots \\ a_n^2\end{array}\right)\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right)$,
亦即 $\quad \boldsymbol{\alpha}_i^{\top} \boldsymbol{\alpha}_j=\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { 当 } i=j, \\ 0, & \text { 当 } i \neq j\end{array}(i, j=1,2, \cdots, n)\right.$,
这说明 $A$ 的列向量都是 $n$ 维单位向量，且两两正交，从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.

$$
\text { (1) } \Leftrightarrow(3) \text { : 因为 } A^T A=E \text { 与 } A A^T=E \text { 等价，所以将矩阵 } A \text { 按行分块 } A=\left(\begin{array}{c}
\beta^T \\
\beta_2^{\top} \\
\vdots \\
\beta_n^{\top}
\end{array}\right) \text {, }
$$

于是公式 $A A^T=E$ 可表示为

$$
A A^{\top}=\left(\begin{array}{c}
\beta^{\top} \\
\beta_2^{\top} \\
\vdots \\
\beta_n^{\top}
\end{array}\right)\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$

所以

$$
\boldsymbol{\beta}_i^T \boldsymbol{\beta}_j=\boldsymbol{\delta}_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { 当 } i=j, \\
0, & \text { 当 } i \neq j
\end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right.
$$

即: $A$ 的行向量也都是 $n$ 维单位向量，且两两正交，从而是 $\mathbf{R}^n$ 的一个规范正交基.

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