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方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
日期:
2023-01-02 18:33
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**定义** 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量使关系式 $$ A \alpha=\lambda \alpha $$ 成立，那么数 $\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的特征值，非零向量 $\alpha$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量. 例如，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right) \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ ，则有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ 所以数 3 是矩阵 $A$ 的特征值， $\alpha$ 是 $A$ 的对应于特征值 3 的特征向量. 一个任意给定的 $n$ 阶矩阵 $A$ 会有多少个特征值? 对应的特征向量又该如何求呢? 假设矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\alpha$, 则有 $A \alpha=\lambda \alpha$ 将 $A \alpha=\lambda \alpha$ 改写成 $$ (A-\lambda E) \alpha=\mathbf{0}, $$ 可见， $\alpha$ 是 $n$ 个末知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组 $(A-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的非零解. 而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即 $$ |A-\lambda \boldsymbol{E}|=0 $$ 记 $$ f(\lambda)=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{n n}-\lambda \end{array}\right|, $$ 则 $f(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的 n次多项式，称为矩阵 $A$ 的特征多项式. 从而公式 $|A-\lambda E|=0$ 可以写 成 $f(\lambda)=0$ 这是以 $\lambda$ 为未知数的一元 $n$ 次方程，称为 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程，而 $\boldsymbol{A}$ 的特征值就 是特征方程的根. 我们知道，一元 $n$ 次方程在复数范围内恒有 $n$ 个根 (重根按重数计算). 因 此， $n$ 阶矩阵 $A$ 在复数范围内有 $n$ 个特征值，通过解矩阵 $A$ 的特征方程就可以得到这 $n$ 个特征值. 设 $\lambda=\lambda_i$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则由方程 $\left(\boldsymbol{A}-\lambda_i \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 可求得非零解 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}_{i^{\prime}}$ 那么 $\alpha_i$ 便是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量. (若 $\lambda_i$ 为实数，则 $\alpha$ 可取实向量； 若 $\lambda_i$ 为复数，则 $\alpha_i$ 可取复向量.) 例1 $$ \text { 求矩阵 } A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \text { 的特征值和特征向量. } $$ 矩阵 $A$ 的特征多项式为 $$ |\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda), $$ 所以 $A$ 的全部特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2 ， \lambda_3=3$. 由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.      
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