最后更新: 2025-04-02 08:01 查看: 651 次反馈刷题

全微分形式的不变性

## 全微分形式的不变性
设函数 $z=f(u, v)$ 可微，
则有 $\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial z}{\partial v} \mathrm{~d} v$ ；
如果 $u=\varphi(x, y) ， v=\psi(x, y)$ 可微，则 $z=f(u(x, y), v(x, y))=f(x, y)$ 也可微，则

$$
\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y \text {, }
$$

$$
\begin{gathered}
\text { 由 }\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}
\end{array}\right. \text { ，知 } \\
\mathrm{d} z=\left(\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) \mathrm{d} y \\
=\frac{\partial z}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} y\right)+\frac{\partial z}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial v}{\partial y} \mathrm{~d} y\right)=\frac{\partial z}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial z}{\partial v} \mathrm{~d} v
\end{gathered}
$$

可以看出，无论 $z$ 是自变量 $u 、 v$ 的函数，还是中间变量 $u 、 v$ 的函数，它 的全微分形式是一样的，这个性质就叫做全微分形式的不变性.

`例`设 $z=(x-y)^{x^2+y^2}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x} ， \frac{\partial z}{\partial y}$.
解 $z=(x-y)^{x^2+y^2}=u^v$ ，

$$
\mathrm{d} z=\mathrm{d} u^v=\frac{\partial}{\partial u}\left(u^v\right) \mathrm{d} u+\frac{\partial}{\partial v}\left(u^v\right) \mathrm{d} v=v u^{v-1} \mathrm{~d} u+u^v \ln u \mathrm{~d} v ，
$$

$$
\mathrm{d} u=\mathrm{d}(x-y)=\mathrm{d} x-\mathrm{d} y, \quad \mathrm{~d} v=\mathrm{d}\left(x^2+y^2\right)=2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y
$$

$$
\mathrm{d} z=v u^{v-1} \mathrm{~d} u+u^v \ln u \mathrm{~d} v ， \quad \mathrm{~d} u=\mathrm{d} x-\mathrm{d} y ， \quad \mathrm{~d} v=2 x \mathrm{~d} x+2 y \mathrm{~d} y ，
$$

代入并归并含 $\mathrm{d} x$ 及 $\mathrm{d} y$ 的项，得

$$
\mathrm{d} u=(x-y)^{x^2+y^2}\left[\left(2 x \ln (x-y)+\frac{x^2+y^2}{x-y}\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \ln (x-y)-\frac{x^2+y^2}{x-y}\right) \mathrm{d} y\right],
$$

故 $\frac{\partial u}{\partial x}=(x-y)^{x^2+y^2}\left(2 x \ln (x-y)+\frac{x^2+y^2}{x-y}\right)$ ，

$$
\frac{\partial u}{\partial y}=(x-y)^{x^2+y^2}\left(2 y \ln (x-y)-\frac{x^2+y^2}{x-y}\right) .

## 通俗举例解释
• **自变量情形**：设 $z = u^{2}+v^{2}$ ，这里 $u$ 和 $v$ 是自变量。
    ◦ 先求偏导数，根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$ ，可得 $\frac{\partial z}{\partial u} = 2u$ ， $\frac{\partial z}{\partial v}=2v$ 。
    ◦ 再根据全微分公式 $dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$ ，则 $dz = 2udu+2vdv$ 。
 • **中间变量情形**：设 $u = x + y$ ， $v=x - y$ ， $z = u^{2}+v^{2}$ ，此时 $u$ 和 $v$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数， $z$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的复合函数。
    ◦ 方法一：先求出 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，再求全微分。
        ▪ 根据复合函数求导法则，$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$ ，因为 $\frac{\partial z}{\partial u} = 2u$ ，$\frac{\partial u}{\partial x}=1$ ，$\frac{\partial z}{\partial v}=2v$ ，$\frac{\partial v}{\partial x}=1$ ，所以 $\frac{\partial z}{\partial x}=2u + 2v=2(x + y)+2(x - y)=4x$ ；同理 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}=2u-2v = 4y$ 。
        ▪ 那么 $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=4xdx + 4ydy$ 。
    ◦ 方法二：利用全微分形式的不变性。
        ▪ 先对 $z = u^{2}+v^{2}$ 求全微分， $dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv=2udu + 2vdv$ 。
        ▪ 再分别求 $u$ 和 $v$ 的全微分， $du=d(x + y)=dx+dy$ ， $dv=d(x - y)=dx - dy$ 。
        ▪ 将 $du$ 和 $dv$ 代入 $dz$ 的表达式中， $dz=2u(dx + dy)+2v(dx - dy)=2udx+2udy+2vdx-2vdy=(2u + 2v)dx+(2u - 2v)dy$ ，把 $u = x + y$ ， $v=x - y$ 代回，同样得到 $dz = 4xdx + 4ydy$ 。

从这个例子可以看出，不管 $u$ 和 $v$ 是自变量还是中间变量，函数 $z$ 的全微分形式 $dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$ 始终不变，这就是全微分形式的不变性。

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