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正项级数及其审敛性

## 正项级数及其审敛性
研究级数时，重要的是讨论其收敛性.按照定义，级数的收剑性归结为它的部分和数列的收敛性.
对于一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ ， 我们主要关心以下两个问题:
(1) 它是否收敛?
(2) 当级数收敛时，如何求它的和?

如果能直接由定义判断级数收敛，那是最理想的. 因为这样不仅判断出级数的收敛性，并且还能求出级数的和. 但是，这在大部分情况下很难做到. 然而**我们感兴趣的往往是判断级数是否收敛而不是求出级数的和**.一般情况下，利用定义和性质来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢? 我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.
## 正项级数
**定义**：常数项级数的每一项都是常数项级数，当各项都是大于或等于零的常数时，称为**正项级数**. 正项级数是一类非常重要的级数，在研究其他级数的收敛性的问题时，常常转化为研究正项级数的收敛性.
正项级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots
$$

的每一项都是非负的，即 $u_n \geq 0$. 则有

$$
\begin{aligned}
& s_1=u_1 \geq 0 ; \quad s_2=u_1+u_2 \geq u_1=s_1 ; \cdots \\
& s_{n+1}=u_1+u_2+\cdots+u_n+u_{n+1} \geq u_1+u_2+\cdots+u_n=s_n ; \cdots
\end{aligned}
$$

故得到一个单调递增的数列 $\left\{S_n\right\}$ ，若这个数列有上界，即存在 $M>0$ ，使得 $s_n \leq M$ ，则数列 $\left\{S_n\right\}$ 必有极限，故对应的级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；反之，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=s$ ，从而 $\left\{S_n\right\}$ 必为有界数列.
故此我们可以得到以下定理.

##  定理 1 (基本定理)
正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的充分必要条件是它的部分和数 列 $\left\{S_n\right\}$ 有界.

`例`证明正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的.
证 对任意的 $x \leq n$ ，有 $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{x^2}$ ， 即有 $\frac{1}{n^2} \leq \int_{n-1}^n \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$.
从而该级数的前 $n$ 项和

$$
s_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} \leq 1+\int_1^n \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=2-\frac{1}{n}<2
$$

即正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界. 由基本定理知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛.

**我们可以用同样的方法证明: 对任意的 $p>1$ ，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 都是收敛的.**

`例` 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，下列级数一定收敛的是（ ）．
（A）$\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$
（B）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n$
（C）$\sum_{n=1}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$
（D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+u_{n+1}\right)$
解 令 $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$ ，因为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty}=0$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$ 存在，设 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=S$ ．
对 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+u_{n+1}\right)$ ，部分和 $S_n^{\prime}=\left(u_1+u_2\right)+\left(u_2+u_3\right)+\cdots+\left(u_n+u_{n+1}\right)=2 S_n-u_1+u_{n+1}$ ，因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n^{\prime}=2 S-u_1$ ，所以 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+u_{n+1}\right)$ 收敛，应选（D）．

## 定理 2 (比较审敛定理)

> 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 是两个正项级数，且 $u_n \leq v_n(n=1,2, \cdots)$ ，
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛；
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散.

证 我们仅证第一个结论.
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和为 $s_n$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 的部分和为 $\sigma_n$.
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收玫，则有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_n=\sigma$. 又 $\left\{\sigma_n\right\}$ 是单调增加函数， 故 $\sigma_n \leq \sigma$. 又 $u_n \leq v_n$ ，有

$$
s_n=\sum_{k=1}^n u_k \leq \sum_{k=1}^n v_k=\sigma_k \leq \sigma .
$$

故数列 $\left\{s_n\right\}$ 有上界，由基本定理知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛.
注 比较审敛法也可写成: 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n 、 \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 为正项级数，且存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时， $u_n \leq C v_n$ ，其中 $C$ 为正常数，则当 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收 敛；当 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散.

`例`判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3+1}$ 的敛散性.
解 正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3+1}$ 的一般项 $\frac{n}{n^3+1} \leq \frac{1}{n^2}$.
而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，故由比较审敛定理可知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3+1}$ 是收敛的.

`例`证明正项级

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