例 9 判别级数 的敛散性.
解 因为 ,而对于级数 , 由比值审玫定理,
所以级数 收玫,从而原级数亦收敛.
例 10 判别级数 的收敛性.
解 采用比较判别法,由于
所以当 时,原级数收敛;当 时,原级数发散;当 时,比值法 失效,但此时注意到数列 严格单调增加,且 , 于是 ,即 ,故 ,由此得到 ,所以当时原级数 发散.
定理 4 (根值审敛定理) 若 为正项级数,且 ,则当 时, 收敛;当 时, 发散;当 时,无法确定.
证 由 知, , ,当 时,恒有 ,即 ,当 时,取适当的 ,使 ,则得 收玫; 当 时,取适当的 ,使 ,则得 发散.
例 11 讨论下列正项级数的敛散性.
(1) ;
(2) .
解 (1) ,当 时,级数收玫; 当 时,级数发散;当 时, 当 时,该级数收敛, 当 时,该级数发散.
()由于,及,,
故级数收敛.
为了更方便判别正项级数的敛散性,再介绍两个审敛方法.
*定理 5 (积分审敛定理) 若 为非负的不增函数,则 与 同敛散.
例 12 讨论下列正项级数的敛散性.
(1) ;
(2) .
解 (1) 由于
及当 时, ,
当 时, , 因此当 时,级数发散;当 时,级数收敛.
(2) 由于 ,
即,
级数 发散, 故原级数也发散.