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高等数学
第八章 无穷级数
正项级数审敛性举例
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更新:
2025-04-22 22:02
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正项级数审敛性举例
`例` 判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^n}$ 的敛散性. 解 因为 $\frac{n^2}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{n^2}{2^n}$ ,而对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ , 由比值审玫定理, $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2=\frac{1}{2}<1, $$ 所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 收玫,从而原级数亦收敛. `例` 判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n ! a^n}{n^n}(a>0)$ 的收敛性. 解 采用比较判别法,由于 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n+1}(n+1) !}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{a^n \cdot n !}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{(1+1 / n)^n}=\frac{a}{\mathrm{e}}, $$ 所以当 $0<a<\mathrm{e}$ 时,原级数收敛;当 $a>\mathrm{e}$ 时,原级数发散;当 $a=\mathrm{e}$ 时,比值法 失效,但此时注意到数列 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 严格单调增加,且 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\mathrm{e}$ , 于是 $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\mathrm{e}}{x_n}>1$ ,即 $u_{n+1}>u_n$ ,故 $u_n>u_1=\mathrm{e}$ ,由此得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n \neq 0$ ,所以当时原级数 发散. 定理 4 (根值审敛定理) 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数,且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l$ ,则当 $0 \leq l<1$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛;当 $l>1$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散;当 $l=1$ 时,无法确定. 证 由 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l$ 知, $\forall \varepsilon>0 , \exists N>0$ ,当 $n>N$ 时,恒有 $\left|\sqrt[n]{u_n}-l\right|<\varepsilon$ ,即 $l-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<l+\varepsilon$ ,当 $0 \leq l<1$ 时,取适当的 $\varepsilon>0$ ,使 $l+\varepsilon=q<1$ ,则得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收玫; 当 $l>1$ 时,取适当的 $\varepsilon>0$ ,使 $l-\varepsilon>1$ ,则得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散. `例`讨论下列正项级数的敛散性. (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n}{n^s}(s>0, \alpha>0)$; (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(
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