正项级数审敛性举例

例 9 判别级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2}{{(2+\frac{1}{n})}^n}$ 的敛散性.
解 因为 $\frac{n^2}{{(2+\frac{1}{n})}^n}<\frac{n^2}{2^n}$ ，而对于级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2}{2^n}$ ， 由比值审玫定理，

所以级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2}{2^n}$ 收玫，从而原级数亦收敛.

例 10 判别级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!a^n}{n^n}(a>0)$ 的收敛性.
解 采用比较判别法，由于

所以当 $0<a<\mathrm{e}$ 时，原级数收敛；当 $a>\mathrm{e}$ 时，原级数发散；当 $a=\mathrm{e}$ 时，比值法 失效，但此时注意到数列 $x_n={(1+\frac{1}{n})}^n$ 严格单调增加，且 ${(1+\frac{1}{n})}^n<\mathrm{e}$ ， 于是 $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\mathrm{e}}{x_n}>1$ ，即 $u_{n+1}>u_n$ ，故 $u_n>u_1=\mathrm{e}$ ，由此得到 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n\ne 0$ ，所以当时原级数 发散.
定理 4 (根值审敛定理) 若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 为正项级数，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}=l$ ，则当 $0\le l<1$ 时， $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛；当 $l>1$ 时， $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 发散；当 $l=1$ 时，无法确定.
证 由 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}=l$ 知， $\mathrm{\forall }\epsilon >0，\mathrm{\exists }N>0$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $|\sqrt[n]{u_n}-l|<\epsilon$ ，即 $l-\epsilon <\sqrt[n]{u_n}<l+\epsilon$ ，当 $0\le l<1$ 时，取适当的 $\epsilon >0$ ，使 $l+\epsilon =q<1$ ，则得 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收玫； 当 $l>1$ 时，取适当的 $\epsilon >0$ ，使 $l-\epsilon >1$ ，则得 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 发散.
例 11 讨论下列正项级数的敛散性.
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\alpha }^n}{n^s}(s>0,\alpha >0)$;
(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3+(-1{)}^n}{3^n}$.
解 （1） $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{{\alpha }^n}{n^s}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\alpha }{(\sqrt[n]{n}{)}^s}=\alpha$ ，当 $0<\alpha <1$ 时，级数收玫； 当 $\alpha >1$ 时，级数发散；当 $\alpha =1$ 时， $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$ 当 $0<s\le 1$ 时，该级数收敛， 当 $s>1$ 时，该级数发散.

故级数收敛.
为了更方便判别正项级数的敛散性，再介绍两个审敛方法.
*定理 5 (积分审敛定理) 若 $f(x)(x>0)$ 为非负的不增函数，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ 与 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 同敛散.
例 12 讨论下列正项级数的敛散性.
(1) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{\ln }^{p}n}(p\ge 0)$;
(2) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\ln n!}$.
解 (1) 由于

及当 $p>1$ 时， $I=\frac{1}{p-1}(\ln 2{)}^{1-p}$ ，
当 $0\le p<1$ 时， $I=+\mathrm{\infty }$ ， 因此当 $0\le p<1$ 时，级数发散；当 $p>1$ 时，级数收敛.
(2) 由于 $\ln n!=\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln n<n\ln n$ ，

级数 $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ 发散， 故原级数也发散.