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最后更新: 2023-10-01 11:28    查看: 291 次    高考专区    考研专区    公式专区    刷题专区    词条搜索       

正项级数审敛性举例

例 9 判别级数 n=1n2(2+1n)n 的敛散性.
解 因为 n2(2+1n)n<n22n ,而对于级数 n=1n22n , 由比值审玫定理,

limnun+1un=limn(n+1)22n+12nn2=limn12(1+1n)2=12<1,

所以级数 n=1n22n 收玫,从而原级数亦收敛.

例 10 判别级数 n=1n!annn(a>0) 的收敛性.
解 采用比较判别法,由于

limnun+1un=limnan+1(n+1)!(n+1)n+1nnann!=limna(1+1/n)n=ae,

所以当 0<a<e 时,原级数收敛;当 a>e 时,原级数发散;当 a=e 时,比值法 失效,但此时注意到数列 xn=(1+1n)n 严格单调增加,且 (1+1n)n<e , 于是 un+1un=exn>1 ,即 un+1>un ,故 un>u1=e ,由此得到 limnun0 ,所以当时原级数 发散.
定理 4 (根值审敛定理) 若 n=1un 为正项级数,且 limnunn=l ,则当 0l<1 时, n=1un 收敛;当 l>1 时, n=1un 发散;当 l=1 时,无法确定.
证 由 limnunn=l 知, ε>0N>0 ,当 n>N 时,恒有 |unnl|<ε ,即 lε<unn<l+ε ,当 0l<1 时,取适当的 ε>0 ,使 l+ε=q<1 ,则得 n=1un 收玫; 当 l>1 时,取适当的 ε>0 ,使 lε>1 ,则得 n=1un 发散.
例 11 讨论下列正项级数的敛散性.
(1) n=1αnns(s>0,α>0);
(2) n=13+(1)n3n.
解 (1) limnunn=limnαnnsn=limnα(nn)s=α ,当 0<α<1 时,级数收玫; 当 α>1 时,级数发散;当 α=1 时, n=11ns0<s1 时,该级数收敛, 当 s>1 时,该级数发散.

 (2)由于 2n3<3+(1)n3nn<4n3 及 limn2n=limn4n=1 , limnunn=limn3+(1)n3nn=13<1

故级数收敛.
为了更方便判别正项级数的敛散性,再介绍两个审敛方法.
*定理 5 (积分审敛定理) 若 f(x)(x>0) 为非负的不增函数,则 n=1f(n)1+f(x)dx 同敛散.
例 12 讨论下列正项级数的敛散性.
(1) n=21nlnpn(p0);
(2) n=21lnn!.
解 (1) 由于

I=2+dxxlnpx={[lnlnx]2+=+,p=1,[11p(lnx)1p]2+,p1;

及当 p>1 时, I=1p1(ln2)1p
0p<1 时, I=+ , 因此当 0p<1 时,级数发散;当 p>1 时,级数收敛.
(2) 由于 lnn!=ln1+ln2+ln3++lnn<nlnn

 即 1lnn!>1nlnn , 

级数 n=21nlnn 发散, 故原级数也发散.


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