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无偏性
日期:
2023-01-03 14:29
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定义1 如果末知参数 $\theta$ 的估计量 $\hat{\theta}\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 满足 $E_\theta\left[\hat{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]=\theta$ 则称 $\hat{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的一个无偏估计量. 如果 $\lim _{n \rightarrow+\infty} E_\theta\left[\hat{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]=\theta$ 则称 $\hat{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的渐近无偏估计量.    例 2 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自该总体的一个样本, 已求得:当 $\mu$ 已知时, $\sigma^2$ 的矩估计量 $\hat{\sigma}_1^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu^2$ ; 当 $\mu_{\text {末知时, }} \sigma^2$ 的矩估计量 $\hat{\sigma}_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-(\bar{X})^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2=S_n^2$. 分别讨论是 $\hat{\sigma}_1^2 、 \hat{\sigma}_2^2$ 的无偏性. $$ \text { 解 } \begin{aligned} E\left(\hat{\sigma}_1^2\right) & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i-\mu\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X-\mu)^2 \\ & =E(X-\mu)^2=E(X-E(X))^2=D(X)=\sigma^2 \end{aligned} $$ 故 $\hat{\sigma}_1^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计. $$ E\left(\hat{\sigma}_2^2\right)=E\left(S_n^2\right)=\frac{n-1}{n} \sigma^2 \neq \sigma^2, n>2 $$ 故 $\hat{\sigma}_2^2=S_n^2$ 不是 $\sigma^2$ 的无偏估计. 将 $S_n^2$ 修正为 $S^2$ ,满足 $E\left(S^2\right)=\sigma^2$ ,则 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量. 定理 1 若总体 $X$ 的均值 $E(X)=\mu$ ,方差 $D(X)=\sigma^2$ ,样本为 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ , 则有 (1) $E(\bar{X})=\mu$, (2) $E\left(S^2\right)=\sigma^2, E\left(S_n^2\right)=\frac{n-1}{n} \sigma^2, n \geq 2$ 因此,样本均值是总体均值的无偏估计,样本方差是总体方差的无偏估计,而样本的二 阶中心矩是总体方差的渐䜣无偏估计。
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2023-01-03 14:29
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