最后更新: 2025-03-02 07:04 查看: 515 次反馈同步训练

范德蒙德行列式与拉格朗日插值

## 范德蒙行列式
形如

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$ 。

的行列式被称呼为 $n$ 阶的范德蒙德 (Vandermonde) 行列式。
他的值为 $n$ 阶范德蒙行列式 $D_n= \prod_{1 \leq j<i \leq n}\left(x_i-x_j\right)$

①这里$\prod$ 是连乘的符号。
②请注意上面的连乘 $1 \leq j<i \leq n$ ,注意后面是$j<i$，不能是 $j \leq i$，否则就变成0了。

**记忆方法**
盯着第二行，后一项减前一项的所有项的乘积。
 ![图片](/uploads/2025-03/938b78.jpg)

#### 当n=3的范德蒙行列式
当 $n=3$ 的情况，
$D_3=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2\end{array}\right|=\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\left(x_3-x_1\right)$

#### 当n=4的范德蒙行列式
当 $n=4$ 的情况
$$
D_4=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & x_4^2 \\
x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & x_4^3
\end{array}\right|=\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_4-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\left(x_4-x_2\right)\left(x_4-x_3\right)
$$

## 例题
`例` 计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
a_1^n & a_1^{n-1} b_1 & a_1^{n-2} b_1^2 & \cdots & a_1 b_1^{n-1} & b_1^n \\
a_2^n & a_2^{n-1} b_2 & a_2^{n-2} b_2^2 & \cdots & a_2 b_2^{n-1} & b_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n+1}^n & a_{n+1}^{n-1} b_{n+1} & a_{n+1}^{n-2} b_{n+1}^2 & \cdots & a_{n+1} b_{n+1}^{n-1} & b_{n+1}^n
\end{array}\right| .
$$

分析 首先认清这是一个 $(n+1)$ 阶的行列式．其次构成本行列式元素的特点是：第 $i$ 行的元素，由 $a_i$ 的降幂及 $b_i$ 的升幂排列．$a_i$ 由 $n$ 次降为零次，$b_i$由零次升为 $n$ 次。根据这一特点，若每一行分别提出公因子 $a_i^n$ 后，就变成 $\left(\frac{b_i}{a_i}\right)$ 的升幂排列：从零次到 $n$ 次——这就是一个 $(n+1)$ 阶的 Vandermonde行列式

解

$$
\begin{aligned}
D_{n+1} & =a_1^n \cdot a_2^n \cdots a_{n+1}^n \cdot\left|\begin{array}{cccc}
1 & \left(\frac{b_1}{a_1}\right) & \left(\frac{b_1}{a_1}\right)^2 & \cdots \\
1 & \left(\frac{b_2}{a_2}\right) & \left(\frac{b_1}{a_1}\right)^n \\
\vdots & \cdots & \vdots & \left(\frac{b_2}{a_2}\right)^n \\
1 & \left(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\right) & \left(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\right)^2 & \cdots \\
& \left(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\right)^n
\end{array}\right| \\
& =a_1^n \cdot a_2^n \cdots a_{n+1}^n V_{n+1}\left(\frac{b_1}{a_1}, \frac{b_2}{a_2}, \cdots, \frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\right) \\
& =a_1^n \cdot a_2^n \cdots a_{n+1}^n \cdot \prod_{1 \leqslant j<i \leqslant n+1}\left(\frac{b_i}{a_i}-\frac{b_j}{a_j}\right) .
\end{aligned}
$$

## 范德蒙行列式的意义
范德蒙行列式主要用在拉格朗日插值上。在多项式理论里，有一个理论：给定$n+1$个点，能够求出一个$n$次多项式出来，例如给定4个点，能够求出一个3次多项式，给定5个点，能求出一个4次多项式。

假设给定5个点，$(-3,-1),(-2,1),(0,-0.5),(1,0),(3,1.5)$ 带入一个四次方程里,
$y=a_0+a_1 x^1+a_2 x^2 +a_3 x^3 +a_4 x^4$
这个方程整理后，就是

$$
\left\{\begin{aligned}
-1 & =a_0+a_1(-3)+a_2(-3)^2+a_3(-3)^3+a_4(-3)^4 \\
1 & =a_0+a_1(-2)+a_2(-2)^2+a_3(-2)^3+a_4(-2)^4 \\
-0.5 & =a_0+a_1(0)+a_2(0)^2+a_3(0)^3+a_4(0)^4 \\
0 & =a_0+a_1(1)+a_2(1)^2+a_3(1)^3+a_4(1)^4 \\
1.5 & =a_0+a_1(3)+a_2(3)^2+a_3(3)^3+a_4(3)^4
\end{aligned}\right.
$$
 五个未知数，五个方程，所以方程有唯一解。 将上面的方程组，写成矩阵乘法的形式，系数矩阵就是范德蒙矩阵
 $$
\begin{aligned}
&\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
-0.5 \\
0 \\
1.5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}
1 & -3 & (-3)^2 & (-3)^3 & (-3)^4 \\
1 & -2 & (-2)^2 & (-2)^3 & (-2)^4 \\
1 & 0 & 0^2 & 0^3 & 0^4 \\
1 & 1 & 1^2 & 1^3 & 1^4 \\
1 & 3 & 3^2 & 3^3 & 3^4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
a_0 \\
a_1 \\
a_2 \\
a_3 \\
a_4
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

### 拉格朗日插值基本思想
我们构造出一个形如下式的多项式

$$
P(x)=\sum_{i=1}^n y_i l_i(x)
$$

什么意思呢？，我们以对 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right),\left(x_3, y_3\right)$ 三个点插值为例。

此时的$P(x)$为
$$
P(x)= y_1 l_1(x)+y_2 l_2(x)+y_3 l_3(x)
$$

出于一种简单的思考，我们想要 $l(x)$ 满足下面的关系：

当我们代入 $x_1$ 得到函数 $P(x)$ 时，$l_1\left(x_1\right)=1, l_2\left(x_1\right)=0, l_3\left(x_1\right)=0$ ，这使得 $P\left(x_1\right)=y_1$ ．
相同的，当我们代入 $x_2$ 到函数 $P(x)$ 时，$l_1\left(x_2\right)=0, l_2\left(x_2\right)=1, l_3\left(x_2\right)=0$ ，这使得 $P\left(x_2\right)$ $=y_2$

当我们代入 $x_3$ 到函数 $P(x)$ 时，$l_1\left(x_3\right)=0, l_2\left(x_3\right)=0, l_3\left(x_3\right)=1$ ，这使得 $P\left(x_3\right)=y_3$ ．

**什么样的 $l(x)$ 满足这样的性质？**

如果对 $l_1(x)$ 来讲，其需

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