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线性代数
第一篇 行列式
克莱默Cramer法则
最后
更新:
2025-03-02 08:30
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克莱默Cramer法则
## 克莱默法则 设有一个含有 $n$ 个末知数 $x_1, x_2, \cdots, x_n, n$ 个线性方程的方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\ \cdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n, \end{array} \longleftrightarrow \boldsymbol{A X}=\boldsymbol{\beta}\right. $$ 其中 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) $$ ### Cramer (克莱默) 法则 如果线性方程组 $A X=\beta$ 的系数行列式不等于零,即 $|A| \neq 0$ ,则方程组有唯一解: $$ x_1=\frac{D_1}{|\boldsymbol{A}|}, x_2=\frac{D_2}{|\boldsymbol{A}|}, \cdots, x_n=\frac{D_n}{|\boldsymbol{A}|}, $$ 其中 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是把系数行列式的第 $j$ 列元素用 $\beta$ 的元素代替后得到的行列式. 证明 因为 $|A| \neq 0$ ,所以 $A^{-1}$ 存在. 令 $X=A^{-1} \beta$ ,则有 $A X=A\left(A^{-1} \beta\right)=\beta$ ,即 $X=A^{-1} \beta$ 是线性方程组的解. 且由 $A^{-1}$ 的唯一性可知,线性方程组的解是唯一的. 由求逆公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$ 可得 $X=A^{-1} \beta=\frac{1}{|A|} A^* \beta$ , ### 用克莱默法则求解线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} x_1-x_2-x_3 & =-1 \\ -2 x_1+2 x_2+x_3 & =1 \\ 2 x_1-x_2+3 x_3 & =1 \end{aligned}\right. $$ 解: $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right|=1 \neq 0, \quad D_1=\left|\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=-2, $$ $$ D_2=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=-2, \quad D_3=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right|=1, $$ 因此 $\quad x_1=\frac{D_1}{|\boldsymbol{A}|}=-2, \quad x_2=\frac{D_2}{|\boldsymbol{A}|}=-2, \quad x_3=\frac{D_3}{|\boldsymbol{A}|}=1$. ## 克莱姆法则的作用 1750 年, 瑞士的克莱姆发现了用行列式求解线性方程组的克莱姆 (Cramer) 法则。这个法则在表述上简洁自然, 思想深刻, 包含了对多重行列式的计算, 是对行列式与线性方程组之间关系的深刻理解。如果我们不能从几何上解释这个法则, 就难以领会向量、行列式和线性方程组之间的真正关系。 #### 二阶克莱姆法则 对于二阶线性方程组: $\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y=c_1 \\ a_2 x+b_2 y=c_2\end{array}\right.$, 其克莱姆法则的解为 $$ x=\frac{\left|\begin{array}{ll} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array}\right|}, y=\frac{\left|\begin{array}{ll} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\ a_1 & b_2 \end{array}\right|} $$ #### 三阶克莱姆法则 三阶线性方程组如下: $$ \left\{\begin{array}{l} a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \end{array}\right. $$ 其克莱姆法则的解为 $$ x=\frac{\left|\begin{array}{lll} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|}, y=\frac{\left|\begin{array}{lll} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|}, z=\frac{\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|} $$ 克莱姆法则的意义是可以用方程组的系数和常数项的行列式把方程组的解简洁地表达出来。但在实际工程应用中由于计算量较大, 常常采用高斯消元法来解大型的线性方程组。 `例` 求方程$\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3+5 x_4=1 \\ 4 x_1+9 x_2+16 x_3+25 x_4=1 \\ 8 x_1+27 x_2+64 x_3+125 x_4=1 \end{array}\right.$ 解 易知,其系数行列式是一个 4 阶 Vandermonde 行列式. $$ \begin{aligned} D & =\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\ 2^3 & 3^3 & 4^3 & 5^3 \end{array}\right|=(3-2)(4-2)(5-2)(4-3)(5-3)(5-4) \\ & =12 \neq 0 . \end{aligned} $$ 同理 $$ \begin{aligned} D_1 & =\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 1^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\ 1^3 & 3^3 & 4^3 & 5^3 \end{array}\right|=(3-1)(4-1)(5-1)(4-3)(5-3)(5-4) \\ & =48, \\ D_2 & =\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 5 \\ 2^2 & 1^2 & 4^2 & 5^2 \\ 2^3 & 1^3 & 4^3 & 5^3 \end{array}\right|=(1-2)(4-2)(5-2)(4-1)(5-1)(5-4) \\ & =-72, \\ & \\ D_3 & =\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 2^2 & 3^2 & 1^2 & 5^2 \\ 2^3 & 3^3 & 1^3 & 5^3 \end{array}\right|=(3-2)(1-2)(5-2)(1-3)(5-3)(5-1) \\ & =48, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} D_4 & =\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & 1^2 \\ 2^3 & 3^3 & 4^3 & 1^3 \end{array}\right|=(3-2)(4-2)(1-2)(4-3)(1-3)(1-4) \\ & =-12, \end{aligned}\\ &\text { 故 }\\ &x_1=\frac{D_1}{D}=4, x_2=\frac{D_2}{D}=-6, x_3=\frac{D_3}{D}=4, x_4=\frac{D_4}{D}=-1 . \end{aligned} $$
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