最后更新: 2025-04-14 08:56 查看: 627 次反馈刷题

绝对值

## 绝对值的定义
定义：一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$ (这里的数$a$可以是正数、负数和0).

(1)实数$a$的绝对值永远是非负数，即|a|≥0.
(2)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|−a|=|a|.
(3)若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值，如|x|=3，则x=±3.

## 典型例题

#### 例题1

解不等式 $1 \le |3x-5| \le 2$
解析：对于此类问题，最常用的是数形结合。绝对值的几何意义是数轴上两点的距离。 当然，这里有一个前提，就是$x$的系数必须是1，因此方程两边同除以3可以得到
$\frac{1}{3} \le |x-\frac{5}{3}| \le \frac{2}{3}$
这样，所以的问题就转换为，数组上一点到 $\frac{5}{3}$的距离，大于
$\frac{1}{3}$ 而小于$\frac{2}{3}$,画出图形
 ![图片](/uploads/2024-04/fcbecb.jpg)
 所以距离如上图绿色所示
 所以
 $ 1 \le x \le \frac{4}{3}$ 或
  $ 2 \le x \le \frac{7}{3}$

#### 例题2
若 $a+b+c=0$, 则 $\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|c|}{c}$的值？
解析：此题考察的就是去绝对值，仔细观察所以的值，可以发现
$\frac{|a|}{a}$ 可以知道，他的值要么是$1$要么是$-1$
因此，如果a大于0，又由于  $a+b+c=0$, 所以 $b+c<0$
这样，我们可以知道结果只有2中可能
① $a,b,c$ 要么是2正1负
②$a,b,c$ 要么是2负1正

而不可能3正或者3负，因此
① $a,b,c$ 是两正一负时，结果是 $1+1-1=1$
②$a,b,c$ 是2负1正时，结果是 $-1-1+1=-1$
因此答案是$1$或者$-1$
点评：此题考察的抽象思维，而不是具体计算。

#### 例题3
若$x$为任意数，则$|x-3|+|x+2|$的最小值为多少
解析：我们重新对题目解读后可以理解为，“在数轴上有一点x，求x到3和x到-2的距离之和的最小值”。
接着我们搬出神器数轴，我们设数轴上P=-2，Q=3，则“x到3和x到-2的距离之和”就可以表示为“XP和XQ这两条线段长度之和，即|XP|+|XQ|”，如图：
 ![图片](/uploads/2024-04/ed83f4.jpg)

因此, 当 $X$ 在 $P 、 Q$ 之间时, 即 $-2 \leqslant x \leqslant 3$ 时, $|x-3|+|x+2|$ 的值最小为 5 。

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