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概率论与数理统计
第四篇 随机变量的数字特征
数学期望的性质
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2023-10-01 11:28
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数学期望的性质
定理3 数学期望的性质  例9 某公司生产的机器其无故障工作时间 $X$ (单位: 万小时)的密度函数为 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x^2}, x \geq 2, \\ 0, \text { 其他. } \end{array}\right. $$ 公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用2.2万小时之内出故障，则 应予以更换，这时每台亏损1200元；若在2.2到3万小时之间出故障，则予以维修，由 公司负担维修费 400 元；在使用3万小时后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每 台机器的平均获利。 解 $Y$ 表示每台机器的获利（单位: 百元)，则 $$ Y=\left\{\begin{array}{cc} 16-12, & 2 \leq X<2.2 \\ 16-4, & 2.2 \leq X<3 \\ 16, & X \geq 3 \end{array}\right. $$ $Y$ 是 $X$ 的函数，令 $Y=g(X)$ 由随机变量函数的数学期望公式得平均获利为 $$ \begin{aligned} E(Y) & =\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x=\int_2^{22} 4 \cdot \frac{2}{x^2} d x+\int_{22}^3 12 \cdot \frac{2}{x^2} d x+\int_3^{+\infty} 16 \cdot \frac{2}{x^2} d x \\ & =8 \cdot\left[-\frac{1}{x}\right]_2^{22}+24 \cdot\left[-\frac{1}{x}\right]_{22}^3+32 \cdot\left[-\frac{1}{x}\right]_3^{+\infty}=13 \frac{31}{33} \approx 13.94 \text { (百元) } \end{aligned} $$ 故，该公司售出每台机器的平均获利为 1394 元.
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